2010年数学二轮复习立体几何中探索性问题的向量解法 案例分析.doc

2010年数学二轮复习立体几何中探索性问题的向量解法 案例分析单位：蕲春四中 撰稿人：高三数学组高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势. 本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。一、存在判断型例一：已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=，b=，是否存在存在实数k，使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。解ka+b=k（0，1，0）+（-1，0，1）（-1，k，1），ka-2b=（2，k，-2），且(ka+b)（ka-2b），（-1，k，1）（2，k，-2）=k2 -4=0.则k=-2或k=2.点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2= k2 -4=0，解得k=-2或k=2.例二： 如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.解：以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设|AD|=2a，|AB|=2b，PDA=.则A(0，0，0)、B(0，2b，0)、C(2a，2b，0)、D(2a，0，0)、P(0，0，2atan)、M(0，b，0)、N(a，b，atan).=(0，2b，0)，=(2a，2b，-2atan)，=(a，0，atan).=(0，2b，0)(a，0，atan)=0，.即ABMN.若MNPC，则=(a，0，atan)(2a，2b，-2atan)=2a2-2a2tan2=0.tan2=1，而是锐角.tan=1，45.即当=45时，直线MN是直线AB与PC的公垂线.【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.二、位置探究型PDABCE例三：如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，与夹角的余弦值为。（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。（2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF平面PCB？解析：以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0,0,2m）.则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)，从而=(-1,1,m),=(0,0,2m).PDACEB=，得m=1.所以E点的坐标为（1,1,1）.（2）由于点F在平面PAD内，故可设F()，由平面PCB得：且，B即。所以点F的坐标为（1,0,0）,即点F是DA的中点时，可使EF平面PCB.【方法归纳】点F在平面PAD上一般可设、计算出后，D点是已知的，即可求出F点。例四：在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BECF（1）当E、F在何位置时，B1FD1E；（2）是否存在点E、F，使A1C面C1EF？（3）当E、F在何位置时三棱锥C1CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1EFC的大小解：（1）以A为原点，以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BE=x，则有因此，无论E、F在何位置均有（2）若A1C面C1EF，则得矛盾，故不存在点E、F，使A1C面C1EF（3）当时，三棱锥C1CEF的体积最大，这时，E、F分别为BC、CD的中点。连接AC交EF于G，则ACEF，由三垂线定理知：C1GEF，【方法归纳】 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.三、巩固提高例五：在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45？解：以A点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系Axyz.因为所有棱长都等于2，所以A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0），B1(，1，2)，M(，0).点N在侧棱CC1上，可设N（0，2，m）（0m2），则=(，1，2)，=(，m)，于是|=2，|=，=2m-1.如果异面直线AB1和MN所成的角等于45，那么向量和的夹角 是45或135，而cos=，所以=.解得m=-，这与0m2矛盾.即在侧棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45.例六：(湖南高考理）如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，