《点集拓扑学》第7章 §7.5 度量空间中的紧致性.doc

7.5度量空间中的紧致性本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间本节研究这个问题并给出肯定的回答定义7.5.1设A是度量空间（X，）中的一个非空子集集合A的直径diam（A）定义为diam(A)=sup(x,y)|x,yA若A是有界的 diam(A)= 若A是无界的定义7.5.2设（X，）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖实数0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A），则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中Lebesgue数不一定存在例如考虑实数空间R的开覆盖 (-,1)(n-1/n,n+1+1/n) |nZ+则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数（请读者自补证明）定理7.5.1Lebesgue数定理序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何iZ+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中在每一个之中任意选取一个点,由于X是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列由于A是X的一个开覆盖，故存在AA使得yA，并且存在实数0使得球形邻域B（y，）A由于，所以存在整数M0使得当iM时令k为任意一个整数，使得kM+2/,则对于任何有（x，y）（x，） （，y）这证明 A与的选取矛盾定理7.5.2每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖根据定理7.5.1，X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为0令B=B(x,/3)它是X的一个开覆盖我们先来证明B有一个有限子覆盖假设B没有有限子覆盖任意选取一点X对于i1，假定点已经取定，由于不是X的覆盖,选取按照归纳原则，序列已经取定易见对于任何i,jZ+,ij，有()/3序列没有任何收敛的子序列（因为任何yX的球形邻域B(y,/6)中最多只能包含这个序列中的一个点）这与X是序列紧致空间相矛盾现在设是开覆盖B的一个有限子覆盖由于其中每一个元素的直径都小于，所以对于每一个i=1,2,n存在使得B(,/3)于是是A的一个子覆盖因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：定理7.5.3设X是一个度量空间则下列条件等价：（1）X是一个紧致空间；（2）X是一个列紧空间；（3）X是一个序列紧致空间；（4）X是一个可数紧致空间我们将定理7.5.3的结论列为图表7.3以示强调作业:P2051本章总结：（1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系（2）度量