线性代数总复习及典型例题.ppt

线性代数总复习 第一章行列式 二阶行列式的计算方法 第一节n阶行列式的定义 三阶行列式的计算方法 沙路法 一些常用的行列式结果 1 2 3 4 kk k k mm m m b b b b a a a a D L M M L L M M L L M M L 1 1 11 1 1 11 0 行列式与它的转置行列式相等 行列式的某一行 列 中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面 式为零 行列式的某一行 列 中的所有元素都 乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 如果行列式中有一行 列 为零 那么行列 第二节行列式的性质 对换行列式的两行 列 行列式变号 则此行列式为零 如果行列式有两行 列 完全相同 比例 那么行列式为零 如果行列式中有两行 列 对应成 如果行列式的某一行 列 的元素都是 则D等于下列两个行列式之和 例如第i行的元素都是两数之和 两数之和 同一数然后加到另一行 列 对应的元素上去 行列 把行列式的某一行 列 的各元素乘以 式不变 倍加运算 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 第三节行列式按行 列 展开 数余子式的乘积 即 一个n阶行列式 如果第i行所有元素除 外都为零 式某行 列 元素与另一行 列 对应元素的代数余子 行列式的某行 列 的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于该行列式的值 式乘积之和等于零 行列 行列式按行 列 展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 第二章矩阵及其运算 由个数 称为m行n列矩阵 简称矩阵 排成的m行n列的数表 其中个数称为矩阵A的元素 数 称为矩阵 A的第i行第j列的元素 1 矩阵的基本概念 加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘方阵的幂转置矩阵对称及反对陈矩阵方阵的行列式 1 矩阵的基本运算 2 矩阵的运算规律 加法 数乘 其中为数 乘法 方阵的幂运算 2 注意 转置运算 由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 称为方阵A的行列式 记作 的行列式 3 方阵的行列式及其性质 方阵的行列式满足下列规律 2 3 设A B为n阶方阵 为数 1 1 基本概念 对于n阶方阵A 如果存在一个n阶方阵B 使得 则称B是A的逆矩阵 并称矩阵A是可逆矩阵或满秩 矩阵 或非奇异矩阵 记为 说明若A是可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 注意 各元素aij的代数余子式Aij构成如下n阶方阵 称为矩阵A的伴随矩阵 设有n阶方阵 由行列式中 设A为n阶方阵 A 为其伴随矩阵 则 2 基本定理 设A为n阶方阵 则 A可逆 设A B都是n阶方阵 3 可逆矩阵的性质 利用定义 一般适用于证明题 3 待定系数法 4 初等变换法 步骤如下 4 逆矩阵的计算方法 设方阵 分块对角矩阵的性质 则 1 2 是可逆矩阵 且 矩阵的初等变换包括3种 对换变换 数乘变换 和倍加变换 这三种初等变换的过程都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 1 初等变换与初等矩阵 设A是一个非零矩阵 那么A一定 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最 简形 再进行初等列变换化为如下标准形 其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数 注意 初等变换不改变矩阵的可逆性 对于任何一个非零矩阵 都可以先进行初等行变换化 为行阶梯形及行最简形 再进行初等列变换化为标准形 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 设A是一个矩阵 对A施行一次 初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶 初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在 n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限 个初等矩阵 求矩阵秩的方法 1 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数 2 初等变换法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 对于n阶方阵A 如果A的秩等于n 则称A 为满秩矩阵 否则称为降秩矩阵 A为可逆矩阵 对于n阶方阵A 下列命题等价 1 A为满秩矩阵 2 3 4 第三章线性方程组 非齐次线性方程组 1 无解 2 并且通解中有n r个自由未知量 其中 有解 非齐次线性方程组 的具体解法 1 对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵 比较以及n之间的大小关系 从而判断方程组解的情况 无解 唯一解 无穷解 2 在判断有解的情况下 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换 将其化为行最简形 并写出最简形对应的线性方程组进行求解 如果方程组有无穷多个解 需写出通解形式 当m n时 n元非齐次线性方程组 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式 齐次线性方程组一定有解 1 2 并且通解中有n r个自由未知量 只有零解 有非零解 齐次线性方程组 的具体解法 1 对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵 比较与n之间的大小关系 从而判断方程组解的情况 唯一解 零解 无穷解 非零解 2 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换 将其化为行最简形 并写出最简形对应的线性方程组进行求解 如果方程组有无穷多个解 需写出通解形式 当m n时 1 齐次线性方程组 3 2 只有零解 2 齐次线性方程组 3 2 有非零解 当m n时 即方程个数小于未知量个数时 齐次线性方程组 3 2 必有非零解 第四章向量组的线性相关性 设n维向量 如果存在一组数 使得 则称向量 是向量组 的线性组合或称向 第二节向量组的线性相关性 一 线性表示 于矩阵 的秩 即 说明 判断某个向量是否可由某向量组线性表示 可归结为非齐次线性方程组是否有解 从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等 所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决 对于n维向量组 如果存在一组 不全为零的数 则称向量组 线性相关 如果上式只有当 时才成立 则称向量组 线性无关 二 线性相关与线性无关 于是判断某向量组的线性相关性 可归结为齐次线性方程组是否有非零解 从而取决于方程组系数矩阵的秩 所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决 的充分必要条件是它所构成的矩阵 的行列式等于零 即 向量组线性无关的充分必 要条件是 向量组必线性相关 A 中至少有一个向量能由其余 线性相关 则向量 的充分必要条件是 向量线性表示 一定可由向 量组 A 线性表示 且表示式是惟一的 三 相关定理 设有向量组 是 A 的部分向量组 如果 都有 组 A 的一个极大线性无关组 简称极大无关组 注意 在条件 1 下 2 和下述条件等价 对于向量组 A 中的任何一个向量 都可由 线性表出 第三节极大线性无关组 所含向量的个数 称为向量组的秩 记为 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行 列 向量组线性无关 向量组秩的求法 通过求向量组构成的矩阵的秩来 求该向量组的秩及其极大线性无关组 第四节线性方程组解的结构 一 齐次线性方程组解的结构 4 1 如果n元齐次线性方程组 4 1 的系数 矩阵A的秩 则方程组 4 1 的基础 证明略 解系一定存在 且基础解系含的解向量的个数为 齐次线性方程组基础解系的求法 1 对系数矩阵进行初等变换 将其化为最简形 由于 令 2 得出 同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量 故 为齐次线性方程组的一个基础解系 齐次线性方程组的通解为 二 非齐次线性方程组解的结构 4 5 导出组 4 1 的解 的解 则 也是 4 5 的解 称为特解 是其导出组 4 1 的通解 则方程组 4 5 的通解为 说明 此定理表明 非齐次方程组的通解 齐次方程组的通解 非齐次方程组的特解 第五章特征值 特征向量及矩阵的对角化 一 向量的内积 设有n维向量 内积 令 正交 向量都是单位向量且两两正交 矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的列 行 求矩阵特征值与特征向量的步骤 二 特征值与特征向量 注意 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 矩阵特征值与特征向量的性质 特征值的常用结果 一般矩阵可对角化的判定方法及求解 1 它们的重数依次为 2 个线性无关的特征向 量 则矩阵A可对角化 否则 不能对角化 解系 如果基础解系中含有 3 当A可对角化时 将所有基础解系中的特征向量 构成矩阵 应与P中列向量的排列次序相对应 次序 三 相似矩阵与对角化 1 它们的重数依次为 2 个线性无关的特征向量 再把它们正交 正交化 单位化 解系 得 个两两正交的单位特征向量 故总共可得n个两两正交的 单位特征向量 实对称阵对角化的方法 把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 3 次序应与P中列向量的排列次序相对应 第六章