湖北省武汉市吴家山中学高三数学 常用逻辑用语题型精析复习资料 文.doc

常用逻辑用语题型精析常用逻辑用语一章，概念多，题型多，涉及面广，几乎与高中所有章节的内容都有或多或少的联系.因此，在学习过程中，一方面要掌握相关章节内容的基础知识，这是学好本章的必要条件；另一方面要在理解的基础上把握好本章的主要内容和基本题型，掌握其解题方法与技巧. 惟有如此，才能达到“利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流”之目的.一、命题及其构造1、命题真伪的判断例1 判断语句“对于(x1)20，有2x10”是不是命题.解析 是命题.因为(x1)20，即x1时，2x10不成立，所以命题为假命题.点拨 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有这两个条件都具备的语句才是命题另外，命题除两种规范形式：“若p，则q”和“如果p，那么q”外，命题也可写成“只要p，就有q”的形式.因此，将题中的语句改写成“若(x1)20，则2x10”或“只要(x1)20，就有2x10”，则其是否为命题就显而易见.2、四种命题的构造先要弄清给出的（原）命题的大前提、条件与结论，然后进行“换位”（条件与结论互换）与“换质”（对条件与结论进行否定）.例2 命题“若，则”的否命题是 .解析 对原命题的条件与结论同时进行否定（“换质”），即可得否命题：“若或，则”.点拨 由原命题写出其它三种形式的命题时，要注意条件与结论的“换位”与“换质”关系：对于两个命题，如果是条件与结论“换位”的，则称互逆命题；如是条件与结论“换质”的，则称互否命题；如是条件与结论既“换位”又“换质”的，则称互为逆否命题. 例3 已知命题“，若，则”，则它的逆否命题是（ ）a，若，则 b，若，则 c，若，则 d，若，则解析 对原命题的条件与结论同时互换并同时进行否定（既“换位”又“换质”）即可得逆否命题.故选a.点拨 对于命题的构造，有一点必须注意：即无论是构造那种形式的命题，改变的只是条件与结论的形式与位置，“大前提”是不能改变的，否则，就改变了命题的“性质”.另外，此例中的“，”是大前提，有别于全称量词，解题时，应引起注意.3、复合命题的构造注意利用真值表进行构造并判别真假.例4 命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形.命题q：对角线互相平分的四边形是菱形.请写出“p或q”、“p且q”形式的复合命题.解析 p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形； p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.点拨 教材中规定：用逻辑联结词“且”、“或”把命题p和命题q联结起来得到的新命题分别称为p且q命题、p或q命题.但如果将命题“p或q”写成：“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”，命题“ p且q”写成：“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”，虽将“或”与“且”写进了新的命题，但其实都是错的.事实上，命题p、q都是假命题，由真值表知，命题p或q、p且q也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，显然矛盾.4、命题的否定命题的否定不同于否命题，简单命题的否定是直接否定判断词，对复合命题的否定要注意一些常用否定词，对全称或特称命题进行否定时，在否定判断词的同时还要否定全称或存在量词.例5 已知命题，则为 .解析 为：.点拨 已知命题为全称命题.在写全称命题(或存在性命题)的否定时，要注意量词的变化，即全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词此例中只要将、即可得到.二、命题真假的判断1、（简单）命题真假的判断例6 对于abc，给出四个命题：若，则abc为等腰三角形；若，则abc为直角三角形；若，则abc为钝角三角形；若，则abc为等边三角形；其中真命题的个数为（ ） a1 b2 c3 d4解析 由可得或，知假；如令，则有，知假；由及正弦定理，得，再由余弦定理知为锐角，据此不能断定abc为钝角三角形，故假；由正弦定理可得，即，知真.故选a.点拨 要判断一个命题为真命题，则须进行严格的推理论证，而要说明它是假命题时，只须举一个反例即可.此例与三角函数相关，掌握相关公式是解题的关键.例7 直线l、m与平面a 、b 满足l平面a ，mb ，以下四个命题：a b l m；a b lm；lma b ；lma b 其中正确的两个命题是（） a与b与c与d与解析 在，m的前提下，当时，有，从而，从而m，得(1)正确；此时，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)：由m，知m，从而由m得，即(3)正确。故选d.点拨 对于立几中位置关系的判别，抓住定义和判定定理是解决问题的关键.另外，如能充分利用“教室”中的线面关系进行判别，也是一个不错的选择. “不识庐山真面目，只缘身在此山中” .2、复合命题真假的判断利用真值表进行判断例8 已知命题：“是函数在区间上存在零点”的充分不必要条件；命题：“若直线与圆相切，则”；给出下列命题：； .其中为真命题的是 （把所有正确的命题的序号都填上）解析 因真，假，故假，真，由真值表知选.点拨 复合命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)由真值表确定pq、pq、q形式命题的真假3、全称命题、特称命题真假的判断例9 给出四个命题：，；，；，；，其中的假命题是 解析 取，则，故为假；由正切函数的图象知为真；显然为假，故填点拨 此例与全称命题和特称命题真假有关，故先判断原命题的真假.由于全称命题中的关键词强调命题的一般性，因此要否定它，只需一个特殊的反例即可；而存在性命题中的关键词强则调命题的存在性，因此要肯定它，只要找一个符合要求的例子即可.4、利用命题的真假性求参数的值或取值范围根据命题的真假性解决问题，应首先将命题为真(假)进行等价转化（如转化为集合间的关系），再根据具体问题进行求解.例10 已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是_解析命题p等价于a2160，a4或a4；命题q等价于3，a12；p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假实数a的取值范围为(4,4)(，12)点拨 利用命题的真假性求参数的范围，应先根据题设的条件，求出每个命题（或等价命题）是真命题时参数的取值集合（命题为假时即为其补集），然后根据每个命题的真假情况，求出对应的两个集合的并集或交集，即为所求参数的取值范围.三、充分必要条件的判断例11 设为所在平面上一点，若实数满足，则“”是“在的边所在直线上”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件解析 若中有两个成立，此时为三角形的顶点；若其中一个为零，例如，三点共线，总是可知“”是“在的边所在直线上”的充分不必要条件.显然，反之也成立.选c.点拨 判别p是q的什么条件，需从两个方面思考：一是由p能否推出q，二是由q能否推出p，这是最基本的判别方法（定义法）.对于较为复杂的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题具体化外，还可利用命题的等价性，转化为其等价命题进行判断.例12 已知条件p：|x1|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）a、1b、1c、1d、1解析 解不等式|x1|2，得条件p：x3或x1，则p：3x1，又q：x，则要使p是q的充分不必要条件，必有1，选a.点拨 与不等式相关的充要条件问题，一般可将不等式的解看成一个集合，再根据集合与充要条件之间的关系来求解.四、创新型问题例13 已知命题p：x2y21；命题q：(x1)2y21，则命题pq、pq、pq、(pq)(qp)与下列四个图的最佳匹配方案是( )a、(a)，(b)，(c)，(d)b、(b)，(d)，(a)，(c)c、(c)，(d)，(a)，(b)d、(a)，(c)，(d)，(b) 解析 设命题p与q对应的集合分别为a、b，即a(x，y)|x2y21，b(x，y)|(x1)2y21，则命题pq对应的集合为ab，易知与(a)对应；命题pq对应的集合为ab，易知与(c)对应；命题pq对应的集合为(cua)b，易知与(d)对应；命题(pq) (qp)对应的集合为(cua)ba(cub)，易知与(b)对应，故选d.点拨 逻辑联结“或、且、非”分别与集合的 “交、并、集”运算存在一一对应的关系.本题的解答就是充分抓住了这种对应关系，将所给的四个命题转译为集合问题，从而与所给的四个图形之间架起了沟通的桥梁，使问题得到了顺利的解决.例14 设非空集合sx|mxl，满足：当xs时，有x2s.给出如下三个命题：若m1，则s1；若m，则l1；若l，则m0.其中正确命题的个数是()a0b1 c2 d3解析 对于，当m1时，sx|1xl，即1x2l2，根据性质有x2s，即l2l，解得0l1，而由条件m1知l1，则有l1，故有s1，即正确；对于，当m时，sx|xl，根据性质有x2s，那么当0l时，0x2，由题意有l，从而l；当l时，0x2l2，由题意有ll2，即0l1，从而l1，故l1，即正确；对于，当l时，sx|mx，根据性质有x2s，那么m2，解得m；又根据性质有mm2，解得m0或m1，综合可得m0，即正确；综上所述，故选d.点拨 此例通过对非空集合s中元素属性的分析，结合题目中给出的性质，利用不等式的相关知识代入分析，分别确定相应命题的正确性，从而达到求解与判断的目的 五、与其它知识的交汇例15 已知数列、，其中、是等比数列对于任意正整数，且试证明：“数列为等比数列”的充要条件是“数列