2019版高考数学复习三角函数解三角形第20讲三角函数的图象与性质学案.docx

第20讲三角函数的图象与性质考纲要求考情分析命题趋势1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性3了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响4了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题2017全国卷，92017全国卷，142017全国卷，62017山东卷，162017天津卷，72017浙江卷，181.三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性2高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题3以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合分值：512分1“五点法”作图的原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图象形状时，起关键作用的五个点是_(0,0)_，！#，_(，0)_，_(2，0)_2三角函数的图象和性质函数性质 ysin xycos xytan x定义域RR！(kZ)#一个周期的图象值域_1,1_1,1_！R#对称性对称轴：！xk(kZ)#；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：！(kZ)#对称中心：(kZ)函数性质 ysin xycos xytan x周期_2_2_单调性单调增区间：！#(kZ)；单调减区间：！(kZ) #单调增区间：！(2k，2k)(kZ)#；单调减区间：！(2k，2k)(kZ)#单调增区间：！(kZ) #奇偶性_奇函数_偶函数_奇函数_3用五点画yAsin(x)一个周期内的简图用五点画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x！#！#！#！#！#x_0_！#_！#_2_yAsin(x)0A0A04函数ysin x与yAsin(x)的图象间的变换关系5函数yAsin(x)的有关概念及物理量yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动量时)振幅周期频率相位初相_A_T！#f！#_x_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)把ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(2)正弦函数ysin x的图象在0,2上的五个关键点是(0,0)，(，0)，(2，0)()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的()解析(1)错误横坐标缩短，周期变小，变大，故变换后，所得图象的解析式为ysin 2x.(2)正确由正弦函数ysin x的图象易知(3)错误“先平移，后伸缩”的平移单位长度为 |，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为(0)故当1时平移的长度不相等(4)正确振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的， 其中A. 2函数ycos x(xR)的图象向左平移个单位长度后，得到函数yg(x)的图象，则g(x)的解析式应为g(x)(A)Asin xBsin xCcos xDcos x解析ycos xycossin x.3将函数ysin的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象的对称轴是(B)Ax，kZBx，kZCx，kZDxk，kZ解析ysin的图象向右平移个单位长度，得ysinsin.令2xk，kZ，得x，kZ.4已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则！#.解析由图知，T.即，故.5(2017全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_1_.解析依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x21，因为x，所以cos x0,1，因此当cos x时，f(x)max1.一三角函数图象的变换三角函数图象的几种变换(1)平移变换：沿x轴平移：由yf(x)变为yf(x)时，“左加右减”，即0，左移；0，上移；k0，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(C)AA3，T，BA1，T，CA1，T，DA1，T，解析(1)因为，所以T.又T(0)，所以，所以2.又22k(kZ)，且0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是(A)ABCD0,2解析由x0得，x.又ysin x在上递减，所以解得，故选A【例4】 (2017浙江卷)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解析(1)由sin ，cos ，f222，得f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)四三角函数的值域及最值(1)形如yasin xbcos xc的三角函数，可先化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)注意：(2)(3)中换元后t的取值范围要标出【例5】 (2017山东卷)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解析(1)f(x)sinsinsin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又00，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是(C)AxBxCxDx(3)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_.解析(1)f(x)是奇函数时，k(kZ)；时，f(x)AcosAsin x，为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件(2)正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.(3)记f(x)的最小正周期为T.由题意知.又fff，且.可作出示意图如图所示(一种情况)x1，x2，x2x1.T.1(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是(D)Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减解析根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2，所以函数一个周期为2，A项正确；当x时，x3，所以cos1，所以B项正确；f(x)cos cos，当x时，x，所以f(x)0，所以C项正确；函数f(x)cos在上单调递减，在上单调递增，故D项不正确，故选D2(2017湖南岳阳一中月考)已知函数ysin xcos x，y2sin xcos x，则下列结论正确的是(C)A两个函数的图象均关于点中心对称B两个函数的图象均关于直线x对称C两个函数在区间上都是单调递增函数D将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象解析函数ysin xcos xsin，y2sin xcos xsin 2x，由于的图象关于点中心对称，的图象不关于点中心对称，故A项不正确；由于函数的图象不可能关于直线x对称，故B项不正确；由于这两个函数在区间上都是单调递增函数，故C项正确；将函数的图象向左平移个单位得到函数ysin的图象，而ysinsin，故D项不正确，故选C3若函数y2sin(x)的一段图象如图所示，则_2_，！#.解析T，2.由图象得22k(kZ)，2k，kZ.|，k1时，.4(2017山西四校模拟)设x，函数y4sin2x12sin x1的最大值为a，最小值为b，则ab_3_.解析令tsin x，由于x，故t.则y4t212t14210.当t时，函数单调递减，当t，即x时，y取得最大值，ymax6；当t1，即x时，y取得最小值，ymin9.a6，b9，ab3.易错点1单调性判断出错错因分析：正弦型、余弦型函数求单调区间时，要看清A，的正负【例1】 函数ycos的单调减区间为_.解析ycos，由2k2x2k得kxk，kZ，函数的单调减区间为，kZ.答案，kZ【跟踪训练1】 函数y2sin(x0，)的递增区间是(A)ABCD解析原函数化为y2sin(x0，)，所以原函数的增区间就是函数ysin(0x)的减区间，由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以k0时得，故选A易错点2忽略正、余弦函数的有界性错因分析：sin ，cos 的值必须在1,1内【例2】 已知sin xsin y，求sin xcos2y的最大值、最小值解析令tsin xcos2y，sin xsin y，tsin y1sin2y2.sin y1，于是，当sin y时，tmin；当sin y时，tmax.【跟踪训练2】 已知y3sin x2cos2x，x，求y的最大值与最小值之和解析x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22，当sin x时，ymin；当sin x或sin x1时，ymax2.故函数的最大值与最小值的和为2.课时达标第20讲解密考纲本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等一、选择题1函数y的定义域为(C)ABkxk，kZC2kx2k，kZDR解析cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2(2018浙江温州模拟)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象(A)A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移 个单位D向左平移个单位解析因为ysin 3xcos 3xcos，所以将ycos 3x的图象向右平移个单位后可得到ycos的图象.3(2018辽宁营口模拟)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(B)A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增解析由题可得平移后的函数为y3sin3sin，令2k2x2k，解得kxk，故该函数在(kZ)上单调递增，当k0时，选项B满足条件，故选B4函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)(D)A1BCD解析观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x).将代入上式得sin0.由|0，|2，所以01，所以，又|0)个单位，得到函数g(x)sin 2x的图象，则的最小值为！#.解析把函数f(x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin图象上各点向右平移(0)个单位，得到函数g(x)sinsinsin 2x的图象，则的最小值为.三、解答题10已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)因为f(x)2sin的最小正周期为，且0.从而有，故1(2)因为f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.11设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调递增区间.解析(1)令2k，kZ，所以k，又0，所以k1，则.(2)由(1)得，f(x)sin，令2k2x2k，kZ.可解得kxk，kZ，因此yf(x)的单调递增区间为，kZ.