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第三讲 连续与一致连续一 内容提要1.函数在一点的连续性若函数在处的邻域内有定义，在点连续使得，有注1 若，则称函数在右连续；若，则称函数在左连续在点连续注2 设定义于区间，则在连续的充要条件是，有称之为连续的海涅归结原则注3 初等函数在有定义的地方处处连续2间断点的分类若函数在处的某个空心邻域内有定义，在点处无定义，或在点有定义而不连续，则称点为函数的间断点第一类间断点（1）可去间断点：，在点处无定义，或有定义但（2）跳跃间断点：第二类间断点，中至少有一个不存在3连续函数的局部性质（1）若函数在点连续，则，使得，有（2）若函数在点连续，且，则，使得，有（3）四则运算：若函数，均在点连续，则 ，（）在点连续（4）若函数在点连续，在点连续，且，则 即函数在点连续（会证明）4 闭区间上连续函数的整体性质（1）有界性定理：若在上连续，则在上有界（2）最值定理：若在上连续，则在上能取得最大值和最小值（3）介值定理：若在上连续，则，可取介于与之间的一切值（4）零点定理：若在上连续，且，则在区间内至少存在一点，使得注1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性注2 介值定理和零点定理是讨论方程的根的重要工具5 一致连续性设函数在区间上有定义，若对使得，只要，就有，则称在上一致连续注1 在区间上一致连续使得，只要，就有注2 一致连续定义中的是对整个区间适用的，即只信赖于，而于的位置无关，不论在的什么位置，只要与接近到同一程度，其函数值与就能接近到要求的程度，这表明函数在的“连续程度”是一致的、均匀的注3 在区间上非一致连续总存在，使得，但注4 在区间上一致连续对任何数列，若 ，则有称之为函数一致连续的Heine归结原则注5 在上连续，则函数必定是一致连续的注6 若在上均一致连续，则函数在上一致连续，特别的，若为有限区间，则，在上一致连续注7 有关一致连续的几个重要结论：（1）满足Lipschitz条件的函数在上一定一致连续（2），且单调有界，则在区间上一致连续（3），且存在，则在区间上一致连续（4）若在区间上有界，则在区间上一致连续（5），在上一致连续与存在二、典型例题例 用定义讨论下面函数在所给区间的连续、一致连续性：（1），；（2），（）,（）；（3），（），（）；（4），（），（）；（5），；（6），例 设函数只有可去间断点，定义，证明：为连续函数例 设在连续，且对，有证明：（1）在上连续；（2）；（3）在上一致连续例 证明在整数点处处连续，在其他点处间断证明：且为整数时，有（）例 讨论的间断点类型例 设在上连续，存在且为，证明：（1）在内有界；（2）在上能取到最大（小）值；（3）在上一致连续例 设在上一致连续，则存在正数，使，有例 设Lipschitz 条件，即，试证明：（1）（2）例 设在内一致连续，有
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