江苏省苏锡常镇四市高三数学教学情况调研试题（一）苏教版（含解析）.doc

2013年江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1（5分）（2013镇江一模）已知全集u=1，2，3，4，5，6，a=1，3，5，b=1，2，3，5，则u（ab）=2，4，6考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：先利用并集的定义，求出全集u=ab，再利用交集的定义求出ab，再利用补集的定义求得 集合u（ab）解答：解：集合a=1，3，5，b=1，2，3，5，ab=1，3，5，又全集u=1，2，3，4，5，6，集合u（ab）=2，4，6，故答案为：2，4，6点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题2（5分）（2013镇江一模）若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：由条件可得2+ai=2i（1i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a的值解答：解：实数a满足，2+ai=2i（1i），2+ai=2+2i，解得 a=2，故答案为 2点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题3（5分）（2013镇江一模）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：直线的一般式方程与直线的平行关系专题：计算题分析：把m=1代入可判l1l2”成立，而“l1l2”成立可推出m=1，或m=2，由充要条件的定义可得答案解答：解：当m=1时，方程可化为l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，显然有“l1l2”成立；而若满足“l1l2”成立，则必有，解得m=1，或m=2，不能推出m=1，故“m=1”是“l1l2”的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题4（5分）（2013镇江一模）根据如图的伪代码，输出的结果t为100考点：伪代码专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件t=1+3+5+7+19时，t的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件t=1+3+5+7+19值t=1+3+5+7+19=100，故输出的t值为100故答案为：100点评：本题主要考查了循环结构，该题是当型循环结构，解题的关键是弄清推出循环的条件，属于基础题5（5分）（2013镇江一模）已知l、m是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列4个命题：若l，且，则l； 若l，且，则l； 若l，且，则l； 若=m，且lm，则l其中真命题的序号是（填上你认为正确的所有命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系专题：综合题分析：对于，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l；对于，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于，若l，则l或l；对于，若lm，且=m，则l或l解答：解：对于，若l，且，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l，所以错；对于，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l，l；正确对于，若l，则l或l，所以错对于，若lm，且=m，则l或l，所以错故答案为点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题6（5分）（2013镇江一模）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为考点：古典概型及其概率计算公式专题：计算题分析：由题意可知：两个四面体有一个1朝下，另一个2朝下，且那个面朝下是独立的，分别可得概率为，由概率的乘法的公式可得答案解答：解：由题意可知：两个四面体有一个1朝下，另一个2朝下，可知每个四面体1朝下的概率为，2朝下的概率也为，故所求事件的概率为：p=故答案为：点评：本题考查古典概型及概率的计算公式，涉及独立事件的概率，属基础题7（5分）（2013镇江一模）已知，则cos（302）的值为考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式求得sin（15）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（302）=12sin2（15），运算求得结果解答：解：已知，sin（15）=，则cos（302）=12sin2（15）=，故答案为 点评：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题8（5分）（2012黑龙江）已知向量夹角为45，且，则=3考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；压轴题分析：由已知可得，=，代入|2|=可求解答：解：，=1=|2|=解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法9（5分）（2013镇江一模）已知sn，tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且=，（nn+）则+=考点：数列的求和专题：计算题分析：由等差数列的性质，知+=，由此能够求出结果解答：解：sn，tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且=，（nn+），+=故答案为：点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化10（5分）（2013镇江一模）已知f1，f2是双曲线的两个焦点，以线段f1f2为边作正mf1f2，若边mf1的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为+1考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：根据a是正三角形mf1f2的边mf1的中点，得到af1f2是直角三角形，设f1f2=2c，可得af1=c，af2=c，最后根据双曲线的定义，得2a=|af1af2|=（1）c，利用双曲线的离心率的公式，可得该双曲线的离心率解答：解：设双曲线的方程为=1（a0，b0），线段f1f2为边作正三角形mf1f2mf1=f1f2=2c，（c是双曲线的半焦距）又mf1的中点a在双曲线上，rtaf1f2中，af1=c，af2=c，根据双曲线的定义，得2a=|af1af2|=（1）c，双曲线的离心率e=+1故答案为：+1点评：本题给出以双曲线的焦距为边长的等边三角形，其一边中点在双曲线上，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，属于基础题11（5分）（2013镇江一模）在平面直角坐标系xoy中，a（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为b，p为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由题意可得向量的坐标，进而可得=x0+，构造函数g（x）=x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案解答：解：由题意可知a（1，0），b（0，1），故=（0，1）（1，0）=（1，1），设p（x0，），所以=（x0，），故=x0+，构造函数g（x）=x+ex，则g（x）=1+ex，令其等于0可得x=0，且当x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故gmin（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及导数法求函数的最值，属中档题12（5分）（2013镇江一模）若对于给定的正实数k，函数的图象上总存在点c，使得以c为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点o的距离为2，则k的取值范围是（0，）考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：根据题意得：以c为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即c到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出c坐标，利用两点间的距离公式表示出c到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围解答：解：根据题意得：|oc|1+2=3，设c（x，），|oc|=，3，即k，则k的范围为（0，）故答案为：（0，）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以c为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即c到原点距离小于313（5分）（2013镇江一模）已知函数，则=8考点：函数的值专题：计算题分析：探究得到结论f（x）+f（5x）=8，利用之即可求得答案解答：解：f（x）=+，f（5x）=+=+，f（x）+f（5x）=（+）+（+）+（+）+（+）=8+（）=5，f（+）+f（）=8故答案为：8点评：本题考查函数的值，突出考查观察能力与运算能力，属于中档题14（5分）（2013镇江一模）设函数f（x）=lnx的定义域为（m，+），且m0，对于任意a，b，c（m，+），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么m的最小值为考点：三角形的形状判断；函数的值专题：计算题分析：不妨设c为直角边，则mac，mbc，则可得abm2，结合题意可得，结合a2+b22ab可求c的范围，进而可求m的范围，即可求解解答：解：不妨设c为直角边，则mac，mbcabm2由题意可得，a2+b22ab2cc22c即c2ab2m22故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式，三角形的性质的综合应用，试题具有一定的技巧性二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15（14分）（2013镇江一模）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列（1）若=，b=，求a+c的值；（2）求2sinasinc的取值范围考点：余弦定理的应用；数列的应用；向量在几何中的应用专题：计算题分析：（1）通过a，b，c成等差数列，求得b的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c（2）通过两角和公式对2sinasinc，再根据c的范围和余弦函数的单调性求出2sinasinc的取值范围解答：解：（1）a，b，c成等差数列，b=，accos（b）=，ac=，即ac=3b=，b2=a2+c22accosb，a2+c2ac=3，即（a+c）23ac=3（a+c）2=12，所以a+c=2（2）2sinasinc=2sin（c）sinc=2（cosc+sinc）sinc=cosc0c，cosc（，）2sinasinc的取值范围是（，）点评：本题主要考查了余弦定理的应用解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质16（14分）（2013镇江一模）如图，在三棱柱a1b1c1abc中，已知e，f，g分别为棱ab，ac，a1c1的中点，acb=90，a1f平面abc，chbg，h为垂足求证：（1）a1e平面gbc；（2）bg平面ach考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到efbc，a1fgc再利用面面平行的判定定理即可证明平面a1fe平面gbc，利用面面平行的性质定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理可得gcac，从而可证ac平面gbc，于是得到acbg，利用线面垂直的判定定理即可证明解答：证明：（1）连接a1ee，f分别为棱ab，ac的中点，efbc，在三棱柱a1b1c1abc中，f，g分别为棱ac，a1c1的中点，四边形a1fcg是平行四边形，a1fgc好又a1ffe=f，gccb=c，平面a1fe平面gbc，a1e平面gbc；（2）a1f平面abc，a1fgc，gc平面abc，gcac，acb=90，accb又cgac=c，ac平面bcg，acbg，又chbg，acch=cbg平面ach点评：熟练掌握用三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质定理、面面平行的判定和性质定理、线面垂直的性质和判定定理是解题的关键17（14分）（2013镇江一模）已知实数a，b，cr，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f（x），满足f（0）f（1）0（1）求的取值范围；（2）设a为常数，且a0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），求证：直线ab的斜率考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算；直线的斜率专题：转化思想；导数的综合应用分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，b=（a+c），求导数f（x），把f（0）f（1）0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于的二次不等式即可求得的取值范围；（2）令f（x）=3ax2+2bx+c=0，则，x1x2=，把韦达定理代入k=可得关于a，b，c的表达式，令t=，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；解答：解：（1）f（1）=a+b+c=0，b=（a+c），f（x）=3ax2+2bx+c，f（0）=c，f（1）=3a+2b+c，f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=c（ac）=acc20，a0，c0，0，所以01（2）令f（x）=3ax2+2bx+c=0，则，x1x2=，k=a（）+b（x2+x1）+c=a+b（x2+x1）+c=a（）+b（）+c=a（）+（）+=（+），令t=，由b=（a+c）得，=1t，t（0，1），则k=（1+t）2+3t=（t2+t1），a0，t2+t1（1，k（，点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决18（16分）（2013镇江一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为o，半径为r（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，所在圆的圆心都是o、半径都是r（米）、圆弧的圆心角都是（弧度）；灯杆ef垂直于地面，杆顶e到地面的距离为h（米），且hr；灯脚fa1，fb1，fc1，fd1是正四棱锥fa1b1c1d1的四条侧棱，正方形a1b1c1d1的外接圆半径为r（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为（弧度）已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中r，h，a都为常数设该灯架的总造价为y（元）（1）求y关于的函数关系式；（2）当取何值时，y取得最小值？考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用专题：函数的性质及应用分析：（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于的函数关系式；（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当=时函数取得极小值，也就是最小值解答：解：如图，（1）延长ef与地面交于o1，由题意知：a1fo1=，且，从而ef=h，则，（2），设，令=得：12cos=0，所以当时，f（）0当时，f（）0设，其中，时，y最小答：当时，灯架造价取得最小值点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题19（16分）（2013镇江一模）已知椭圆的左、右顶点分别为a，b，圆x2+y2=4上有一动点p，p在x轴的上方，c（1，0），直线pa交椭圆e于点d，连结dc，pb（1）若adc=90，求adc的面积s；（2）设直线pb，dc的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=k2，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设d（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点d的坐标，利用sadc=即可得出；（2）设p（x0，y0），得到直线pa的方程，与椭圆的方程联立及利用点p在圆上即可表示出直线pb、dc的斜率，利用k1=k2，及反比例函数的单调性即可得出解答：解：（1）设d（x，y），adc=90，ad2+dc2=ac2，（x+2）2+y2+（x1）2+y2=9，化为x2+y2+x2=0 点d在椭圆e上， 联立得，消去y得3x2+4x4=0，又2x2，解得代入椭圆方程解得sadc=（2）设p（x0，y0），则直线pa的方程为，代入椭圆的方程得到，化为此方程有一个实数根2，设d（x1，y1），则，代入直线pa的方程得，=k1=k2，=，2x02，的取值范围为（，0）（0，3）点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键20（16分）（2013镇江一模）设数列an的各项均为正数，其前n项的和为sn，对于任意正整数m，n，恒成立（1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列an的通项公式；（2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列an成等比数列考点：等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）由给出的递推式分别取m=1，m=2得到两个关系式，两式作比后可以证明数列1+sn是一个等比数列，由等比数列的通项公式得到sn的表达式，模仿该式再写一个关系式，两式作差后进一步得到一个关于a2和s2的关系式，然后把a1代入即可求得a2的值，在分别取m=1，n=2；m=2，n=1代入原递推式，得到关于a3，a4的方程后可求解a3，a4则数列an的通项公式可求；（2）在（1）的基础上，取m=n=2得关系式，结合m=1，n=2得到的关系式可求出q=2最后结合题目给出的条件，a4=a2（a1+a2+1）证出数列an成等比数列解答：解（1）由得令m=1，得令m=2，得得： （nn*）记，则数列1+sn （n2，nn*）是公比为q的等比数列 （n2，nn*）n3时，得， （n3，nn*）在中，令m=n=1，得则1+s2=2a2，a2=1+a1a1=1，a2=2在中，令m=1，n=2，得则在中，令m=2，n=1，得则由，解得a3=4，a4=8则q=2，由 （n3，nn*），得：a1=1，a2=2也适合上式，（2）在中，令m=2，n=2，得则1+s4=2a4，1+s3=a4在中，令m=1，n=2，得则，则a4=4a2，代入 （n3，nn*），得 （n3，nn*）由条件a4=a2（a1+a2+1），得a1+a2+1=4a2=a1+1，a1=1，a2=2则a1=1，a2=2上式也成立， （nn*）故数列an成等比数列点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的综合，训练了学生的灵活变形能力和对繁杂问题的计算能力，属中高档题三选做题本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21（2013镇江一模）（选修41几何证明选讲）如图，已知cb是o的一条弦，a是o上任意一点，过点a作o的切线交直线cb于点p，d为o上一点，且abd=abp求证：ab2=bpbd考点：与圆有关的比例线段专题：选作题分析：利用弦切角定理可得pab=adb，又abd=abp，可得abpdba，利用相似三角形得出性质即可得出解答：解：ap是o的切线，由弦切角定理可得pab=adb，又abp=dba，abpdba，ab2=bpbd点评：熟练掌握弦切角定理化为相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键22（2013镇江一模）（选修42：矩阵与变换）已知矩阵a=的一个特征值为1=1，其对应的一个特征向量为，已知，求a5考点：特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换专题：计算题分析：利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵a再求矩阵a的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵a的特征值与特征向量，进而可求a5解答：解：依题意：a1=1，（4分）即=，（8分）a的特征多项式为f（）=（1）2=22=0，则=1或=2=2时，特征方程，属于特征值=2的一个特征向量为，=2+3，a5=2（1）5+325=点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键23（2013镇江一模）（选修44：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程（t为参数），圆c的极坐标方程：+2sin=0（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆c上求一点p，使得点p到直线l的距离最小考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：（1）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线c任意点p的坐标为（cos，1+sin），利用点到直线的距离公式p到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时的度数，即可确定出所求点p的坐标解答：解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=x+1+2，+2sin=0，两边同乘以得2+2sin=0，得c的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；（2）设所求的点为p（cos，1+sin），则p到直线l的距离d=，当=+2k，kz，sin（+）=1，d取得最小值，此时点p的坐标为（，）点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题24（2013镇江一模）（选修45：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值考点：一般形式的柯西不等式；平均值不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用柯西不等式，结合a+2b+3c=6，即可求得的最大值解答：解：由柯西不等式可得（）212+12+12（）2+（）2+（）2=393，当且仅当时取等号的最大值是3故最大值为3点评：本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题四、必做题每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内25（2013镇江一模）如图，圆锥的高po=4，底面半径ob=2，d为po的中点，e为母线pb的中点，f为底面圆周上一点，满足efde（1）求异面直线ef与bd所成角的余弦值；（2）求二面角odfe的正弦值考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角专题：空间角分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用=0，又=2，即可解得点f的坐标利用异面直线ef与bd的方向向量的夹角即可得出所成角（锐角）的余弦值；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则o（0，0，0），b（0，2，0），d（0，0，2），e（0，1，2），p（0，0，4），f（x，y，0），=y1=0，解得y=1又=2，取x0，把y=1代入解得x=，=异面直线ef与bd所成角（锐角）的余弦值为；（2）设平面def的法向量为，则得，令x1=2，则，y1=0，设平面odf的法向量为=（x2，y2，z2）