《离散数学》综合复习资料.doc

学习资料收集于网络，仅供参考离散数学综合复习资料参考答案一、判断题1命题逻辑中任何命题公式的主析取范式如果存在一定是唯一的。（ ）2A、B、C是任意集合，如果AB及BC，则AC。（ ）3整数集是不可数集。（ ）4代数系统中，如果二元运算*是封闭的、可结合的，则是半群。（ ）5任意平面图最多是四色的。（ ）6A、B是任意命题公式，如果AB，一定有AB。（ ）7R是集合A上的二元关系，若R是反自反的，则Rc也是反自反的。（ ）8、命题逻辑中任何命题公式的主合取范式一定存在。（ ）9、A、B、C为任意集合，已知AB=AC，必须有B=C。（ ）10、自然数集合是无限的。（ ）11、命题联结词，是最小联结词组。（ ）12、任一无限集必含有可数子集。（ ）13、有限整环必是域。（ ）二、基本题1 判断公式(PQ)(QP)的类型（重言式、矛盾式、可满足）2 设A=1,1，计算P(A)- 3 设树T有17条边，除树根外有12片树叶，4个4度结点，1个3度结点，求树根的度数。4 设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”，试符号化下列命题：1）除非下雨，否则他就骑自行车上班2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班5 判断公式 (PQ) (PQ)的类型（重言式、矛盾式、可满足）6 设代数系统，其中A=a,b,c，*是A上的二元运算，运算表如下表，求该代数系统的幺元，所有可逆元素的逆元。*eabeeabaabebbea7 设树T有17条边，有12片树叶，2个3度结点，求4度结点数。8 设A=1,2，试构成集合P(A)A。9. 设*运算是有理数集Q上的二元运算，对于任意的a,bQ，a*b=a+b-ab，问运算*是否可交换、可结合的？v1v2v4v310.试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图。11、将下列命题符号化（1）他即聪明又用功。（PQ）（2）仅当你走我才留下。（Q P）（3）所有老的国家选手都是运动员。（(x)(R(x)Q(x)）（4）某些教练是年老的，但是健壮的。（($x)(P(x)Q(x) R(x)） 12、设A是一个非空集合，*是A上的二元运算，对于任意a,bA，有a*b=b，判定*运算是否可结合的、可交换？v1v3v2v5v413、试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图三、证明题1 设是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是幺元，证明是一个阿贝尔群。2 设G是具有n个结点的简单无向图，如果G中每对结点的度数之和均大于等于n-1，那么G是连通的。3 试用推理规则证明：A B，(BC) C，( AD) D4 若集合A上的关系R和S是自反、对称和传递的，试证明RS也是自反、对称和传递的。5 证明任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。6 试证明：A (BC),(EF)C,B(AS)BE7 若R是集合A上的相容关系，试证明RC也是A上的相容关系。8 证明任意一棵无向树至少有两片树叶（退化树除外）离散数学综合复习资料参考答案一、判断题题目12345678910答案 题目111213答案二、基本题1、解：原式 (PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ) (PQ)T所以公式为重言式2、解：P(A)=,1,1, 1,1 P(A)-= ,1,1, 1,1-=1,1, 1,13、解：设树根的度数为x，因为有17条边，所以结点数=17+1=18，由握手定理得： 12*1+4*4+1*3+1*x=2*17解得x=3所以树根度数为3。4、解：1) PQ 2) Q R 或 (QR)(QR)5、解：原式(PQ) (QP) (PQ) (PQ) (QP) ( PQ) (PQ) (QP)( PQ)(PQ PQ) (QP PQ)TTT所以公式为重言式6、解：幺元为：e，a的逆元为b，b的逆元为a。7、解：设有x个4度结点，因为有17条边，所以结点数=17+1=18，由握手定理得：12*1+2*3+x*4=2*17解得：x=4，所以有4个4度结点。8、解：P(A) = ,1,2,1,2P(A)A=,9、解：因为a*b= a+b-ab=b+a-ba=b*a所以运算是可交换的。a*(b*c)=a+(b*c)-a(b*c)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-bc-ab-ac+abc(a*b)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab) c=a+b+c-ab-ac-bc+ab c所以a*(b*c)= (a*b)*c2、对此我做了以下的摘录：10、解：强分图由v1,v2,v3,v4导出的子图单侧分图由v1,v2,v3,v2,v3,v4导出的子图很清很清的河水 很大很大的西瓜 很长很长的路弱分图由v1,v2,v3,v4导出的子图11、（1）（PQ）（2）（Q P）（3）（(x)(R(x)Q(x)）（4）（($x)(P(x)Q(x) R(x)） 爸爸一边喝水，一边看书。12、解：a*(b*c)=a*c=c(a*b)*c=b*c=c所以a*(b*c)= (a*b)*c，即*运算是可结合的。10、用两个字组新字：（如课本133页）ab时，a*b=ba=b*a，所以不可交换13、解：强分图由v1,v2,v3,v4和v5导出的子图由v1,v2,v3,v4,v5导出的子图是单侧分图，也是弱分图三、证明题1、 设是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是幺元，证明是一个阿贝尔群。白白的雪花 弯弯的月儿 弯弯的小路证明：是独异点，*运算封闭，且满足结合律，且有幺元，只须证中每个元素都有逆元，并且*运算满足交换律。 因为对于G中的每一个元素x都有x*x=e，所以x的逆元就是x，故是群。 对于x,yG，则x*yG， 所以(x*y)*(x*y)=e，而(x*y)*(y*x)=x*(y*y)*x=x*e*x=x*x=e 故(x*y)*(x*y)= (x*y)*(y*x)，所以x*y=y*x，即*运算满足交换律。 所以是一个阿贝尔群。2、3、 （13）只有自己（种），才有（吃不完）的菜。设G是具有n个结点的简单无向图，如果G中每对结点的度数之和均大于等于n-1，那么G是连通的。证明：假设G不连通，则G至少有两个连通分支G1,G2，9、区分以下形近字或音近字：设G1中有n1个结点，G2中有n2个结点，则n1+n2=n。从G1和G2中各任取一点u和v，则deg(u)=n1-1，deg(v)=n2-1，两点水：冷、净、凉则deg(u)+deg(v)=n1-1+n2-1=n-2，与G中每对结点的度数之和均大于等于n-1矛盾，所以G是连通的。4、 试用推理规则证明：A B，(BC) C，( AD) D证明 (1)DP(附加前提) 着（着急）友（朋友）情（亲情）王（王子）蚂（蚂蚁）活（生活）外（外面）香（香水）(2) ( AD) P(3)、连线或填空(3) ADT(2)E (4)AT(3)I (5) A B P(6) BT(4)(5)I (7) (BC) CP (8) ( BC)( CC)T(7)E (9) ( BC) T(8)E (10) B T(9)I (11) BBT(6)(10)I 所以A B，(BC) C，( AD) D4、若集合A上的关系R和S是自反、对称和传递的，试证明RS也是自反、对称和传递的。证明：1）自反性对aA，R,S具有自反性，故R，且S，所以RS，即RS具有自反性。2）对称性若a,bA，有RS所以R且S又因为R,S具有对称性，故R且S所以RS，即RS具有对称性。3）传递性若a,b,cA，有,RS则,R且,S则因为R,S具有传递性，所以R且S所以RS，即RS具有传递性。5、证明任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。证明：设V1,V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结点集，则由握手定理，由于是偶数之和，必为偶数，而2|E|是偶数，故得是偶数，所以|V1|是偶数。6、试证明：A (BC),(EF)C,B(AS)BE证明：(1)BP(附加前提)(2) B(AS)P(3) AST(1)(2)I(4)AT(3)I(5) A (BC)P(6) BCT(4)(5)I(7)CT(6)I(8) (EF)CP(9) (EF)T(7)(8)I(10) (EF)T(9)E(11)EFT(10)E(12)ET(11)I(13) BECP7、若R是集合A上的相容关系，试证明RC也是A上的相容关系。证明：（本题答案不唯一）即证明RC具有自反性、对称性因为R相容关系，所以R具有自反性、对称性1）自反性对aA，R具有自反性，故R，所以RC，即RC具有自反性。2）对称性