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加试模拟训练题（19）1、给定一个半圆周，其直径为，圆心为，一直线与半圆周相交于点，且与的延长线交于点，其中。设的外接圆的第二个交点为，证明是直角。2、 设求证 (5)3、 一个国际社团的成员来自六个国家，共有成员1978人用1，2，3，1977，1978编号，请证明，该社团至少有一个成员的编号数，与他的两个同胞的编号数之和相等，或是一个同胞的编号数的二倍4、设a、b、c为满足不等式1abc的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.加试模拟训练题（19）1、给定一个半圆周，其直径为，圆心为，一直线与半圆周相交于点，且与的延长线交于点，其中。设的外接圆的第二个交点为，证明是直角。证明 法一 连交于点，交于点，因为，且在上，所以只要证三点共线。由于是的直径，因此与相切。同理也均与相切。过作的平行线，与的延长线交于点，则，所以，即与均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即三点共线。法二 设交于点，交于点，则为的垂心。连，分别交于点，则及为调和点列，所以是关于的极线，于是。同理，且是的垂心。由蒙日定理得过点，于是有。设与交于点，则，所以四点共圆，于是有三点共线。法三 延长至，则四点共圆。因为关于对称，所以有。2、 设求证 (5)证明 设数列的通项公式为.则 由得.故 .所以数列为单调递增数列,又 .所以 即 .3、 一个国际社团的成员来自六个国家，共有成员1978人用1，2，3，1977，1978编号，请证明，该社团至少有一个成员的编号数，与他的两个同胞的编号数之和相等，或是一个同胞的编号数的二倍【题说】 第二十届(1978年)国际数学奥林匹克题6本题由荷兰提供【证】 用反证法，若命题不成立，则有性质s：同一国的两个成员的号码之差不是该国成员的号码设m1是a国成员的最大号码，用m1减去其余a国成员的号码，得到不少于329个数，根据性质s，它们都不是a国的号码，因而是其余五国66个号码，记其中最大的为m2，用m2减去其余65个号码，所得的65个号码都不是b的号码，也不是a的号码(对a1、a2a，(m1a1)(m1a2)a1a2不是a的号码)这65个号码必属于其余四国，其中必有一国c含有其中至少17个号码，等等如此下去，最后会找到一个国家f，其中有两个成员的号码之差不是任何一国成员的号码，这是不可能的，这个矛盾就说明题目的断言是正确的4、设a、b、c为满足不等式1abc的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.（1989年上海竞赛试题）解 （ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, k=k=1.若a3，此时1=-
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