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文档简介
2015-2016学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1已知集合a=x|x24x50,b=x|2x4,则ab=( )a(1,3)b(1,4)c(2,3)d(2,4)2已知向量=(1,2),=(0,1),=(2,k),若(+2),则k=( )a8bcd83若sin=,且为第四象限角,则tan的值等于( )abc3d34下列说法正确的是( )a命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x1”b若命题p:xr,x22x10,则命题p:xr,x22x10c命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题d“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件5曲线y=在点(1,1)处的切线方程为( )ay=x2by=3x+2cy=2x3dy=2x+16已知sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则s5=( )ab5c7d97函数y=的图象可能是( )abcd8下列四个命题,其中正确命题的个数( )若a|b|,则a2b2若ab,cd,则acbd 若ab,cd,则acbd 若abo,则a3个b2个c1个d0个9已知定义在r上的函数f(x)=2|xm|1(m为实数)为偶函数,记a=f(23),b=f(3m),c=f(log0.53),则( )aabcbacbccabdcba10已知定义在r上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=f(x),当1x1时,f(x)=sinx,若函数g(x)=f(x)loga|x|至少6个零点,则a的取值范围是( )a(0,(5,+)b(0,)5,+)c(,(5,7)d(,)5,7)二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11已知f(x)=,则f(f()的值为_12已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a41),则a2=_13在abc中,角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,已知b=c,sina+sinc=sinb,则角a=_14若x,y满足,则z=2x+y的最大值为_15设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数,其导函数为f(x),且有3f(x)+xf(x)0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(3)0的解集是_三、解答题(共6小题,满分75分)16已知函数(0)的最小正周期为()求的值及函数f(x)的单调递增区间;()当时,求函数f(x)的取值范围17已知向量,的夹角为60,且|=1,|=2,又=2+,=3+()求与的夹角的余弦;()设=t,=,若,求实数t的值18在abc中,角a、b、c对边分别是a、b、c,且满足()求角a的大小;()若,abc的面积为,求b,c19若数列an中,a1=,an+1=an()证明:是等比数列,并求an的通项公式;()若an的前n项和为sn,求证sn20(13分)某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量p万件满足(其中0xa,a为正常数)现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品p万件还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大21(14分)已知函数f(x)=exax1(a0,e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)0对任意的xr恒成立,求实数a的值;(3)在(2)的条件下,证明:1+ln(n+1)(nn*)2015-2016学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1已知集合a=x|x24x50,b=x|2x4,则ab=( )a(1,3)b(1,4)c(2,3)d(2,4)【考点】交集及其运算 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合;不等式【分析】求出a中不等式的解集确定出a,找出a与b的交集即可【解答】解:由a中不等式变形得:(x5)(x+1)0,解得:1x5,即a=(1,5),b=(2,4),ab=(2,4),故选:d【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知向量=(1,2),=(0,1),=(2,k),若(+2),则k=( )a8bcd8【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示 【专题】计算题;函数思想;综合法;平面向量及应用【分析】求出向量+2,利用斜率的坐标运算求解即可【解答】解:向量=(1,2),=(0,1),=(2,k),+2=(1,4),(+2),8=k故选:a【点评】本题考查向量的坐标运算,共线向量的充要条件的应用,考查计算能力3若sin=,且为第四象限角,则tan的值等于( )abc3d3【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值【分析】由sin的值及为第四象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值,即可确定出tan的值【解答】解:sin=,且为第四象限角,cos=,则tan=,故选:b【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键4下列说法正确的是( )a命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x1”b若命题p:xr,x22x10,则命题p:xr,x22x10c命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题d“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题 【专题】简易逻辑【分析】a,写出它的否命题,即可判定真假;b,写出命题p的否定p;c,判定原命题的真假性,即可得出它的逆否命题的真假性;d,由“x=1”得出“x25x6=0”成立,判定命题是否正确【解答】解:对于a,否命题是“若x21,则x1”,a错误;对于b,命题p的否定p:xr,x22x10,b错误;对于c,命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题,它的逆否命题是真命题,c正确;对于d,“x=1”时,“x25x6=0”,是充分条件,d错误;故选:c【点评】本题通过命题真假的判定,考查了四种命题之间的关系,也考查了一定的逻辑思维能力,是基础题5曲线y=在点(1,1)处的切线方程为( )ay=x2by=3x+2cy=2x3dy=2x+1【考点】导数的几何意义 【专题】计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成斜截式即可【解答】解:y=()=,k=y|x=1=2l:y+1=2(x1),则y=2x+1故选:d【点评】本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则,本题属于基础题6已知sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则s5=( )ab5c7d9【考点】等差数列的前n项和 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解:由等差数列an的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3=1则s5=5a3=5故选:b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7函数y=的图象可能是( )abcd【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】当x0时,当x0时,作出函数图象为b【解答】解:函数y=的定义域为(,0)(0,+)关于原点对称当x0时,当x0时,此时函数图象与当x0时函数的图象关于原点对称故选b【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质,考查了分段函数的图象及图象变换的能力8下列四个命题,其中正确命题的个数( )若a|b|,则a2b2若ab,cd,则acbd 若ab,cd,则acbd 若abo,则a3个b2个c1个d0个【考点】命题的真假判断与应用 【专题】综合题;转化思想;分析法;不等式的解法及应用【分析】直接由不等式的可乘积性判断;举例说明错误【解答】解:若a|b|,则a2b2,正确;若ab,cd,则acbd错误,如32,13,而3(1)=45=2(3); 若ab,cd,则acbd错误,如31,23,而3(2)1(3); 若abo,则,当c0时,错误正确命题的个数只有1个故选:c【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了不等式的基本性质,是基础题9已知定义在r上的函数f(x)=2|xm|1(m为实数)为偶函数,记a=f(23),b=f(3m),c=f(log0.53),则( )aabcbacbccabdcba【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】数形结合;函数的性质及应用【分析】由题意可得m=0,可得f(x)=2|x|1在(0,+)单调递增,在(,0)单调递减,比较三个变量的绝对值大小可得【解答】解:定义在r上的函数f(x)=2|xm|1(m为实数)为偶函数,f(1)=f(1),即2|1m|1=2|1m|1,解得m=0,f(x)=2|x|1在(0,+)单调递增,在(,0)单调递减,23=(0,1),3m=1,|log0.53|=log231,f(23)f(3m)f(log0.53),即abc故选:a【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性,属基础题10已知定义在r上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=f(x),当1x1时,f(x)=sinx,若函数g(x)=f(x)loga|x|至少6个零点,则a的取值范围是( )a(0,(5,+)b(0,)5,+)c(,(5,7)d(,)5,7)【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用【分析】分a1与0a1讨论,结合题意作两个函数的图象,利用数形结合求解即可【解答】解:当a1时,作函数f(x)与函数y=loga|x|的图象如下,结合图象可知,故a5;当0a1时,作函数f(x)与函数y=loga|x|的图象如下,结合图象可知,故0a故选a【点评】本题考查了函数的图象的作法及应用,同时考查了分类讨论的思想应用二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11已知f(x)=,则f(f()的值为3e【考点】对数的运算性质 【专题】分类讨论;数学模型法;函数的性质及应用【分析】由3,可得=log3(156)=2进而得出【解答】解:3,=log3(156)=2f(f()=f(2)=3e21=3e故答案为:3e【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式,考查了计算能力,属于中档题12已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a41),则a2=【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比是q,根据题意和等比数列的通项公式列出方程,化简后求出q的值,即可求出a2【解答】解:设等比数列an的公比是q,因为a1=,a3a5=4(a41),所以()()=4(1),化简得,q616q3+64=0,解得q3=8,则q=2,所以a2=a1q=,故答案为:【点评】本题考查等比数列的通项公式,以及方程思想,属于基础题13在abc中,角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,已知b=c,sina+sinc=sinb,则角a=【考点】余弦定理的应用 【专题】转化思想;综合法;解三角形【分析】运用正弦定理,可得a+c=b,又b=c,即有a=c,再由余弦定理,计算cosa,即可得到所求a的值【解答】解:由正弦定理,sina+sinc=sinb,即为a+c=b,又b=c,即有a=2cc=c,由余弦定理可得cosa=即有a=故答案为:【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用,考查运算能力,属于中档题14若x,y满足,则z=2x+y的最大值为【考点】简单线性规划 【专题】作图题;转化思想;数形结合法;不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得a(),化目标函数z=2x+y为y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z过a时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为故答案为:【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题15设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数,其导函数为f(x),且有3f(x)+xf(x)0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(3)0的解集是(2018,2015)【考点】函数的单调性与导数的关系 【专题】函数思想;导数的概念及应用【分析】根据题意,构造函数g(x)=x3f(x),x(,0),利用导数判断g(x)的单调性,再把不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(3)0化为g(x+2015)g(3),利用单调性求出不等式的解集【解答】解:根据题意,令g(x)=x3f(x),其导函数为g(x)=3x2f(x)+x3f(x)=x23f(x)+xf(x),x(,0)时,3f(x)+xf(x)0,g(x)0,g(x)在(,0)上单调递增;又不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(3)0可化为(x+2015)3f(x+2015)(3)3f(3),即g(x+2015)g(3),0x+20153;解得2015x2018,该不等式的解集是为(2018,2015)故答案为:(2018,2015)【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目三、解答题(共6小题,满分75分)16已知函数(0)的最小正周期为()求的值及函数f(x)的单调递增区间;()当时,求函数f(x)的取值范围【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】()利用两角和的正弦公式,二倍角公式化简函数f(x)的解析式为,由此求得它的最小正周期令,求得x的范围,即可得到函数f(x)的单调递增区间()因为,根据正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)的取值范围【解答】解:()=因为f(x)最小正周期为,所以=2所以由,kz,得所以函数f(x)的单调递增区间为,kz()因为,所以,所以所以函数f(x)在上的取值范围是(13分)【点评】本题主要考查两角和的正弦公式,二倍角公式,正弦函数的单调性和周期性,正弦函数的定义域和值域,属于中档题17已知向量,的夹角为60,且|=1,|=2,又=2+,=3+()求与的夹角的余弦;()设=t,=,若,求实数t的值【考点】平面向量的综合题 【专题】计算题;向量法;平面向量及应用【分析】()进行数量积的运算便可得出,根据便可求出,同理可求出,这样根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦;()先求出,而根据便有,进行数量积的运算即可求出t的值【解答】解:()=612cos60+4=3;=,;即与夹角的余弦为;(),;=2t+3t44t+4=0;t=1【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,求向量长度的方法:根据,向量夹角的余弦公式,向量的减法和数乘运算,向量垂直的充要条件18在abc中,角a、b、c对边分别是a、b、c,且满足()求角a的大小;()若,abc的面积为,求b,c【考点】余弦定理的应用;平面向量数量积的运算 【专题】计算题;解三角形【分析】(i)由题意可得2bccosa=a2b2c22bc,再由余弦定理求出cosa,从而确定a的大小;(ii)利用三角形的面积公式s=bcsina得bc=16;再由余弦定理得b2+c2+bc=48,联立求出b、c【解答】解:()由题意可得2bccosa=a2b2c22bc,由余弦定理a2=b2+c22bccosa得4bccosa=2bc,0a,()sina=,cosa=,a2=b2+c22bccosab2+c2+bc=48,b=c=4,故b=4,c=4【点评】本题考查余弦定理的应用,考查三角形的面积公式的应用,结合题设条件,利用余弦定理求出角a的大小是解答本题的关键19若数列an中,a1=,an+1=an()证明:是等比数列,并求an的通项公式;()若an的前n项和为sn,求证sn【考点】数列的求和;等比关系的确定 【专题】证明题;转化思想;作差法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用【分析】()由题意可得=,结合等比数列的定义,即可得证,再由等比数列的通项公式即可求得an的通项公式;()运用错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理可得sn,再由不等式的性质即可得证【解答】()证明:a1=,an+1=an即有=,则是首项为,公比为的等比数列,即有=()n,即an=n()n;()证明:an的前n项和为sn,即有sn=1+2()2+3()3+n()n,sn=1()2+2()3+3()4+n()n+1,两式相减可得,sn=+()2+()3+()nn()n+1,=n()n+1,化简可得sn=则sn【点评】本题考查等比数列的定义的运用,考查数列的通项公式的求法,同时考查数列的求和方法:错位相减法,以及等比数列的求和公式的运用,属于中档题20(13分)某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量p万件满足(其中0xa,a为正常数)现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品p万件还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用 【专题】应用题;导数的综合应用【分析】(1)根据题意售价为万元/万件,销售量为p,成本为(10+2p)+x万元,利用利润=销售额成本,即可列出函数关系式;(2)对a进行分类讨论,当a1时,利用基本不等式即可求得最值,当a1时,利用导数确定函数的单调性,从而求得最值,即可得到答案【解答】解:(1)由题意知,该产品售价为万元,销售量为p,成本为(10+2p)+x万元,(其中0xa,a为正常数),y=2102(3)x=16x,(0xa),该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为(0xa);(2)由(1)可知,(0xa),当且仅当时取等号,0xa,当a1时,x=1时,y取得最大值为13,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当a1时,解得3x1,在(3,1)上单调递增,在0,a上单调递增,在x=a时,函数有最大值,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大综合可得,当a1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,当a1时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大【点评】本题主要考查函数模型的选
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