中小学数学奥赛题解法分析.doc

毕业论文中小学数学奥赛题的解法分析毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得的研究成果.作者签名： 日 期： 毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守有关保留、使用毕业论文的规定.即：学校有权保留或向有关部门送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料.作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 32012级数学与应用数学专业毕业论文中小学数学奥赛题的解法分析摘 要：数学竞赛是目前数学发展中发现数学人才的有效途径之一，而对于中小学数学奥赛题的解法分析，是至关重要的.通过对常见题型汇总，根据自己的研究进行演化变形，将竞赛题的多变灵活性完美的展现出来.但万变不离其宗，追根到底是对于知识点的变形运用.结合历年的国内各种数学竞赛，对近年来的数学竞赛常见题型进行分析以及整理，首先分别从中学和小学方面进行分析，然后在中学奥赛题部分根据研究的题型将他们分类，大致分为几类，包括数形结合，初等数论，二次根式以及方程应用等，并对题型进行简要说明以及对常见解法介绍，并通过典型的例题进行细致说明.对于同类型的题，进行变形，改编，重新进行研究.其次在小学部分从趣味性入手，主要包括逻辑推理、九宫格、以及策略问题.并对其中题型进行拓展延伸.从而达到对中小学竞赛题有更加深刻的理解.关键词：数形结合；初等数论；逻辑推理ANALYTICAL SOLUTION OF MATHEMATICAL OLYMPIAD QUESTION TYPES IN PRIMARY AND MIDDLE SCHOOLSAbstract: At present, the mathematics competition is one of the effective ways to find mathematical talent in the development of mathematics,and for the solution of Mathematics Olympiad question of primary and secondary analysis which is very important.Through collecting the common types,according to their own research of deformation evolution,the mathematics competitions variety will be showed prefectly. The methods used may vary,but the original aim, tracing the end is the for the use of knowledge deformation combining various domestic calendar mathematics competition,analyzing and organizing common question of math competion in recent years, and then in high school Olympic title based in part on research questions of their classification, divided into several categories, including the combination of number and shape , elementary number theory, quadratic radical and high-order equation, and questions and making,a brief description to questions,as well as,introducing the common solution,detailing explanation by typical examples,while the same type of problems we should conduct deform,adapt,re-study.Secondly,starting from the fun in primary school, mainly including logical deduction, jiugongge, as well as policy issues.Extending and stretching some of questions,so as to achieve a deep understand to the title of primary and secondary contest a deeper understanding.Keywords: The Combination of Number and Shape; Elementary Number Theory; Logical DeductionV2012级数学与应用数学专业毕业论文目录摘 要IAbstractII1 绪论12 中小学数学奥赛题的解法分析22.1 中学数学奥赛解法分析22.1.1数形结合22.1.1.1以形助数32.1.1.2以数解形32.1.2初等数论42.1.2.1整除性42.2.2质数合数52.1.2.3高斯函数52.1.3二次根式62.1.3.1已知条件化简62.1.3.2待求式化简或变形62.1.3.3条件和待求式同时变形62.1.4高次方程72.1.4.1升幂转化72.1.4.2降幂转化82.2小学数学奥赛解法分析82.2.1 逻辑推理92.2.1.1简单的逻辑推理问题92.2.1.2用表格模型帮助推理92.2.2趣谈九宫格112.2.3对策问题11结语13参考文献14致谢15VII1 绪论 世界在不断地变化，科学发展也越来越快.在我们数学学科中，科学研究也在不断地突破，而数学竞赛也是现今发现人才的途径之一.对于现代数学来说，数学竞赛起源于匈牙利，其中造就了很多的数学大师和科学巨匠.匈牙利现代数学之父费叶尔，航天事业奠基人冯卡门，以及群上测度与积分论创始人哈尔等等都是在早期重大数学竞赛中取得胜利的人，由此可以证明，数学竞赛在发现人才，造就人才有很大的作用.此后，苏联开始举办数学奥林匹克，取得效果显著.120世纪中叶，数学竞赛则如火如荼的开展起来.世界各国都开始重视数学竞赛活动.至此之后的十来年，我国有关中学生的数学竞赛活动开始了蓬勃地发展，而它产生的影响也越来越大，尤其是在我国中学生乃至于全世界中学生中影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO)中，我国学生多次荣获榜首，成绩瞩目，这充分展现了我们中华民族的睿智聪明和数学才能.对于想通过数学竞赛来展现自己的学生来说，了解数学奥赛的常见题型，以及一些会用到的一些知识是非常必要的，对他们来说也是非常有益的.中小学的学生是我们祖国的新鲜血液，奠定了祖国科学发展基石.探讨中小学数学奥赛的解法分析希望与广大的学生在学习实践中切磋学好数学的体验，共同探索数学奥赛题的乐趣.笔者通过对中小学数学奥赛题进行汇总研究，对竞赛中的一些常见题型进行整理说明，首先分别从中学和小学方面进行分析，首先中学奥赛题部分利用自己的见解将他们分类，大致分为几类，包括数形结合，初等数论，二次根式以及方程应用等，对题型进行简要说明以及对常见解法介绍，并通过典型的例题进行细致说明.对于同类型的题，进行变形，改编，重新进行研究.其次在小学部分从趣味性入手，主要包括逻辑推理、九宫格、以及策略问题.并对其中题型进行拓展延伸.从而达到对中小学竞赛题有更加深刻的理解.2 中小学数学奥赛题的解法分析2.1 中学数学奥赛解法分析2.1.1数形结合 数形结合是一种非常常用的数学思想方法，无论初高中还是在大学.它是通过把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系相结合，再根据“以形助数”者“以数解形”即根据抽象思维和形象思维的结合，从而使复杂的问题变简单，抽象的问题变具体，从而达到优化解题的目的.数与形是数学研究中至关重要的两大基石，而探索发现数与形之间联系加以利用，是数学常见方法中起到相当大的作用，也是学好数学的主要途径与方法.2在中小学所接触的常用的直线型表示基本代数关系式，总结如下表：表 2-1代数关系式等表示正数相对应的几何图形abc此外，对于数轴上的坐标与点的对应关系，以及各种直线、曲线与坐标系相结合的研究也是很常见的.例如高中立体几何求证的方法中，通过建立数轴将所求几何关系转变成数量关系的计算，从而使问题简单化.2.1.1.1以形助数例1：证明 解法分析：对于这种例题，若直接运用完全平方公式，及均值不等式等方法解决的话，计算量以及方法难度会加大不少，若利用数形结合的方法便会简单很多.即可表示为，运用两点间距离公式，则不等式可以表示为，再根据三角形三边关系即可证明. 例2：若均为正数，证明解法分析：由勾股定理均可表示成直角三角形的斜边作出如图 图 2-1令则不等式的证明可以转化为三边的关系，那么就需要把三边构成三角形，即需要点重合.这在平面中不能做到.需要如图所示拼合图形，根据三角形三边关系证明，.2.1.1.2以数解形 图 2-2例3：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线行平移得到另一条抛物线为，则与直线围成的的阴影部分面积是（ ）A.1 B.2 C. D.解法分析：该题首先利用抛物线的对称性，运用数形结合的方法，对面积进行转换，将阴影面积分成两部分记为，再根据平移以及对称的性质，将转化为，如下图，即将阴影面积转化为，即正方形的面积 图2-32.1.2初等数论在中小学数学竞赛中，有关初等数论的问题屡见不鲜，它所涉及的内容很多，诸如奇偶数、整除、同余、质数（素数)和合数、最大公约数最小公倍数、高斯函数、完全平方数等等.而且这类问题的难度一般较大，如果仅限于使用中学知识解决，会使问题复杂化，而适当的运用一些高等数学的知识解决则会使问题简洁，从而解答出问题.2.1.2.1整除性定义：对于两个整数和，若存在任意一个整数，使得，那么我们则称能被整除，记作.主要的性质有：自反性： 传递性：若，则.对称性：若，则.如果，那么.如果，那么.若，则.若，则.3例1：设是小于100的整数且使是的倍数，求则符合条件的所有正整数的和.（2015年全国初中数学联合竞赛试题）解法分析：要使整式是的倍数，则满足，所以，即，且，所以，从而得到，由于任意连续的三个正整数中必有的倍数，则可以得到不是的倍数，又因为是的倍数.则可以取，因此，综上所述符合条件的和为.2.2.2质数合数质数和合数，在小学已经简单的了解过，针对这类问题，只需要抓住这些数的一些特性，就会使问题变得简洁，从而达到对于这类问题的解答容易解决.例如大家所熟悉的：最小的质数是2，并且2是所有质数中惟一的偶数.例2：已知都是质数（允许有相同的情况），且是35个连续正整数的和，则的最小值为（ ）（2011年新知杯）解法分析：令连续35个正整数为，所以，又因为是质数.所以令，则.对分情况讨论若，所以最小值为5，若，所以最小值为3，若时，所以的最小值应为2，此时的最小值就是25，.综上所述，的最小值为22.2.1.2.3高斯函数高斯函数在数论中有着重要地位，在中学数学奥赛题中也很常见，因此虽然属于高等数学的内容，但对于参与奥赛这种高水平比赛也应相应掌握一些简单的.定义 设，用表示不超过最大的整数.那么则称为高斯函数，也叫取整函数.主要性质有：.4例3：表示不大于的最大整数，方程的所有实数解为（ ）（2006年新知杯）解法分析：由高斯函数性质得到，所以得到，则，求出的范围，又因为是整数，且，所以，即，从而得到.带入原方程得到2.1.3二次根式在近几年中，数学竞赛中有关二次根式的题经常出现，并且题型新颖，方法灵活，对中学生来说有一定难度，这类问题包容了有理数的众多知识，其中涉及同类二次根式、最简二次根式等的重要概念，同时它又联系着构造关系式、整体代入、分解变性以及非负性等重要的技巧与方法，解题的关键点是，有时需要把已知条件进行化简，或把已知条件进行变形，有时需要把待求式进行化简或变形，有时需要条件和待求式进行同时变形.下面针对一些常见题型进行分析，归纳总结一些有关二次根式的奥赛题.2.1.3.1已知条件化简例1：记，则（ ）解法分析：这道题是二次根式与数列的有机结合问题，因此应先将根号下的数列进行化简，利用完全平方公式以及乘积化差消元法将化简，即分析 所以将化简结果带入中，求出后就能得到最终的结果.2.1.3.2待求式化简或变形例2：已知，则解法分析：这是典型的对待求式进行变形的问题，运用三次方和的公式.，代入的值，利用，得到最终结果.2.1.3.3条件和待求式同时变形例3：已知，则解法分析：首先这道题需要将条件和待求式同时变形，先看已知，我们需要将它因式分解变形一下，先试，使等式成立，因此先提出，则，再运用提公因式得到，由于，所以，即.再看待求式注意：一定不要将待求式先化简成，要注意二次根式被开方式大于等于零.练习题：1、化简，结果为（ ） 提示：利用配方法，进行化简如依次进行化简，答案.2、已知.则的值等于提示:利用整体变形，左右等式平方变形，则2.1.4高次方程在数学竞赛中，有关方程的题也是很多的，所学习过的方程也很多，诸如一元一次方程，二元一次方程，反比例方程，一元二次方程等等.其中关于方程的应用在数学竞赛中也是常见的题型，而且属于大家所学的知识进行拓展后的题型，这类问题的处理灵活性较强，因此对于这方面的问题，我们应该更加注意.对于高次方程问题，通常的做法是，首先观察它的形式结构，然后通过适当的变形，将高次方程降幂处理，转化成熟悉的一元一次或者一元二次方程的问题，从而解决问题.或者利用熟悉的低次幂进行升幂，从而求出结果.2.1.4.1升幂转化高次方程往往都具有特殊性，因此我们在做升幂转化时，往往是通过抓住关键点的特殊性，从而达到解题的目的.例1：已知，则（2010年新知杯）解法分析：想要求出待求式，关键在于求出的值，利用，因为，所以则则则则所以这道题主要明白与的特殊性，将已知的一次方程进行升幂，从而求出最后的结果.这是一种处理高次方程的常用方法.练习题:1、 已知，则提示:仿照例1 ，利用与特殊性，将已知左右两边同时乘以，化成，则答案为.2.1.4.2降幂转化例2：设，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）（2015年全国初中数学联合竞赛）解法分析：题中涉及三次项，因此首先可以考虑降幂，再看已知，由韦达定理可知，将变形代入得，然后将与进行替换.得到这道题主要是要根据已知中二次项与一次项关系从而达到降幂的目的，再根据已知得到最后的结果，这是常用的方法.2.2小学数学奥赛解法分析2.2.1 逻辑推理逻辑推理又称演绎推理，其实就是从已知一般性的前提开始，然后通过推导（即“演绎”），从而得出具体的陈述或者个别结论的推理过程.5它是数学论证的一种工具，在数学竞赛中，存在着一种题型，不给或者少给相关数量关系，并且这类问题的解答往往不需要特殊的数学知识，只从题中给出的已知出发，遵循逻辑的一些基本规律来进行推理演绎，从而找到答案.这就是逻辑推理问题.这类问题既可以锻炼思维的严谨性，又能够促进灵活的思维，妙趣横生.常用的解题思路包括同一律思路、不矛盾思路、排中律思路、充足理由思路.2.2.1.1简单的逻辑推理问题例1：华罗庚教授曾提出这样一个问题.一位老师让三个聪明的学生看了一下事先准备好的五顶皇冠：三顶金色的，两顶银色的，然后他请这三位同学都闭上眼睛，然后他替每位学生都戴上一顶皇冠，并且将其余的两顶藏了起来，随后，他让学生们睁开眼睛并要求他们各自说出自己戴的皇冠的颜色.三人睁开眼互相看了看其他人，略微踌躇了一下，都觉得为难.过了一会，三人异口同声地说出了自己头上戴的皇冠是什么颜色的.请问，这三位同学是如何判定自己头上所戴皇冠的颜色的？他们三个人的头上各戴的皇冠是什么颜色的？解法分析：根据有三金两银，戴皇冠有三种可能：三金，两金一银，一金两银.首先分析一下一金两银这种情况，如果一金两银，那么戴金皇冠可以立刻知道自己所戴皇冠的颜色，但是题中说三人都踌躇一下，因此，不成立.再分析两金一银这种情况，如果两金一银，那么戴金皇冠的人看到的是一金一银，就会思考自己可能是金也可能是银，但如果自己是银，那么另一个戴金皇冠的人就可以立即说出他所戴皇冠的颜色，所以两金一银不成立，三人戴的都是金皇冠.整个分析过程中，按分类讨论分为三类，在分别对三种情况分析，利用反证法，以及假设法和现实中反应的条件推断出来，在题中踌躇一下是题中至关重要的条件.通过以上的例题，从中可以看出，这类问题主要看的是逻辑关系，不需要依据数字定理来判定.2.2.1.2用表格模型帮助推理利用模型原理解决逻辑推理问题是常见的一种，也可以用表格之类的模型帮助解题.达到解题目的.例2：现有甲、乙、丙三个贵族公主分别拿着三个不同颜色的包包，并且穿着3种不同颜色的连衣裙一起去参加国王举办的宴会.已知：（1） 包包和连衣裙的颜色都只有金、银、黑3种；（2） 甲没拿金色的包包，丙没拿黑色的包包；（3） 拿银色包包的公主穿着金色的连衣裙；（4） 拿金色包包的公主没有穿银色的连衣裙；（5） 丙没穿黑色的连衣裙.问：甲、乙、丙三位贵族公主各拿的包包是什么颜色的，各穿的连衣裙是什么颜色的？解法分析：对于这类问题，我们常用的方法是列表法帮助解题，做出两个44的表格，分别记录包包与连衣裙，并在表格中做上标记，例如甲没拿金色的包包，那么在包包的表格里“甲金”的位置画；乙穿金色的连衣裙，那么在连衣裙的表格里“乙金”的位置画，其他的类推. 包包 连衣裙金银黑金银黑甲甲乙乙丙丙由（2）可知甲没拿金色的包包，丙没拿黑色的包包；则分为两种情况：乙拿银色的包包，丙拿银色的包包.若乙拿银色的包包（乙银画），由（3）拿银色包包的公主穿着金色的连衣裙（乙金画），由（2）丙没拿黑色的包包则丙拿金色的包包（丙金画），由（4）拿金色包包的公主没有穿银色的连衣裙，则丙穿着黑色的连衣裙（丙黑画），与（5)丙没穿黑色的连衣裙矛盾.所以乙拿银色的包包不成立，只能是丙拿银色的包包.当丙拿银色的包包时，左表丙银画，则乙银画.此时乙拿金色的包包，乙金画 包包 连衣裙金银黑金银黑甲甲乙乙丙丙由此可知，甲拿的是黑色的包包（甲黑画）.由（3）拿银色包包的公主穿着金色的连衣裙；即可得到丙穿着金色的连衣裙，在右表丙金的位置画.再由（4）拿金色包包的公主没有穿银色的连衣裙；右表乙银的位置画，由此判定甲穿银色的连衣裙，乙穿黑色的连衣裙.综上所述：甲拿的是黑色的包包，穿银色的连衣裙； 乙拿的是金色的包包，穿黑色的连衣裙； 丙拿的是银色的包包，穿金色的连衣裙.2.2.2趣谈九宫格九宫格游戏应该都了解，是横、竖、斜都等于相同的数，例如1，2，3，4，5，6，7，8，9将这九个数填到九宫格中我们可以怎么做呢？276951438前人做过很多相关的研究，下面是我做的一种方法：首先将九个数相加等于45，因此每行相加都要等于15，下面将九个数中所有三个数相加等于15的等式列出来.1,5,9 1,6,8 2,4,9 2,5,8 2,6,7 3,4,8 3,5,7 4,5,6 总共8组，然后根据 1、含有5的有四组，所以5填中间 2、含有2，4，6，8的有三组，所以 2，4，6，8填四个角 3、含有1，3，5，7的有两组，填剩下的四个位置最后，适当调整就能准确的填出答案.适当改变一下，连续的偶数可以实现这种九宫格的填数，连续的奇数也可以，以至于拓展到连续的等差数列都可以实现.2.2.3对策问题在数学竞赛中，有一类很有趣味的智力游戏题，它并不需要太多的课本上的知识，但这类知识往往需要更多地技巧性，游戏是通过双方对战，采取某种特定的方法，使自己获取胜利.对战双方总会用尽办法，从而使自己获得胜利，因此彼此都会采取最佳的策略，从数学的角度来研究如何取得胜利的策略叫做对策问题.例1:在一个大箱子中，有100个玻璃球，现在甲和乙轮流从箱子中取玻璃球，并且要求每次只能取出1个或2个，取到最后1个球的人则为胜利.请问如何才能必胜?解法分析:由于每次只能取出1个或2个玻璃球，那么如果当甲取1个球，乙可以取2个球，当甲取2个球，乙可以取1个球，因此我们可以将3个玻璃球看做一组，则，为了确保拿到最后1个或最后2个，所以甲应该要确保先拿球，并且只拿1个球，这样无论之后乙拿1个球或者2个球，甲只要拿与乙不同的球，使得两人一次拿走3个球.这样甲就是必胜的一方.现将此题进行拓展变形一下,演化成下题,思考一下:练习题:1. 现在规定由甲乙两人轮流去拿2016根小木棍,若甲先拿,并且要求每人每次可以拿一到四根小木棍,如果谁拿到了最后一根小木棍,则获取胜利.则甲如何拿小木棍,可以取得胜利?(提示:以五根为一组，因为乙若拿1根，甲拿4根；乙若拿2根，甲拿3根；乙若拿3根，甲拿2根；乙若拿4根，甲拿1根.因此，.所以,甲先拿1根,然后拿的根数为五减去乙拿的根数.)例2.已知有一组连续的自然数，游戏方法如下:甲乙轮流选出一个数，如果剩下的最后两个数互为质数，那么甲获得游戏的胜利，反之，则为乙获得游戏的胜利.请问,甲如何取数才能取得胜利?解法分析:首先要理解在这组数中,偶数1008个,奇数1007个,并且由于这组数连续,那么我们知道相邻的两个数一定是互质的.因此有以下三种方法:(1) 甲先取2,然后将这组数分成两两一对,因此无论乙取何数,甲只要取一对中另一个数便可.(2) 甲先取2016,然后将这组数分成两两一对,因此无论乙取何数,甲只要取一对中另一个数便可.(3) 甲任取一个偶数,然后将这组数分成两两一对,因此无论乙取何数,甲只要取一对中另一个数便可.结语通过对与中小学数学奥赛的解法分析研究的过程中，让我对中小学数学奥赛题的解法有了更加深刻的理解，对于整个中小学数学进行了全面的整理，并且运用严谨的逻辑思维再去研究中小学竞赛题，使自己在其中受益匪浅.综合数学的各个分支对中小学数学奥赛题的解法进行深入分析与探讨，融会贯通，得到更加全面的结论，一方面使我们对中小学数学奥赛题的解法的认识，另一方面也为我们更好的完成中小学数学奥赛题打下完美的基础.本人对历届中小学奥赛题对题型进行分析，整理，总结出大致的几种题型并对于各种题型提出适当的解法分析，开拓学生思维.对举例的例题提出相应的练习题，并在自己对于知识点的理解上，自己出适合竞赛的题，并解析，以加深对于竞赛题的理解.另外，通过对课题设计，很大程度上提高了我的专业素质.在老师的无私帮助下让我理解和掌握了对于数学竞赛题的解题思路，对于问题的思考更加的灵活，在学习中也深刻认识到自己的不足，在以后的生活中，给了我学习的动力.老师们诲人不倦的态度、渊博的知识、严谨的作风和学术上精益求精的精神让我受益匪浅.参考文献1 彭林，李贤军，周春荔. 初中数学竞赛中的数论初步M. 中国物资出版社， 2004-8.4-52 施储，马茂年.新课标初中数学竞赛实战演练M.浙江：浙江大学出版社，2005-6.34-453 闵嗣鹤，严士健.初等数论(第三版）M.北京:高等教育出版社，2003.12-254 丁柯丹，胡奕伟.中学数学竞赛中的初等数论问题以希望杯初中数学竞赛试题为例J.丽水学院学报，2012-04.84-905 周春荔， 王中峰. 初中数学奥林匹克原题解法M. 山西教育出版社， 2012.67-786 李胜宏，马茂年.初中数学竞赛培优教程M.浙江:浙江大学出版社，2004.23-257 华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)M.北京:高等教育出版社，2001.83-8