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下 小学奥数总复习 方程的妙用 用方程解决应用题 知识点梳理 1 列方程解应用题的方法 1 综合法 先把应用题中已知数 量 和所设未知数 量 列成有关的代数式 再找出它们之间的等量关系 进而列出方程 这是从部分到整体的一种思维过程 其思考方向是从已知到未知 2 分析法 先找出等量关系 再根据具体建立等量关系的需要 把应用题中已知数 量 和所设的未知数 量 列成有关的代数式 进而列出方程 这是从整体到部分的一种思维过程 其思考方向是从未知到已知 2 列方程解应用题的步骤 1 分析题意 弄清已知条件和所求问题 2 根据分析设定未知数 3 利用等量关系列出方程 4 求解方程 5 将结果代回原题检验 答 典型例题精讲 生活中问题 例1 有两根绳子 第一根长56cm 第二根长36cm 同时点燃后 平均每分钟都烧掉2cm 多少分钟后 第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍 解析 解 设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍 56 2X 3 36 2X X 13答 13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍 趣味数学例2 同学们参加野炊 一位同学到负责后勤的老师领碗 老师问他领多少 他说领55个 又问他多少人吃饭 他说一人一个饭碗 两人一个菜碗 三人一个汤碗 问这名同学给多少人领碗 解答 解 设这名同学给X个同学领碗 X 30答 这名同学给30个同学领碗 鸡兔同笼问题例3 鸡兔同笼 鸡比兔多10只 共有脚110只 求鸡兔各有几只 解析 方法一 鸡比兔多10只 假设兔加上10只就和鸡一样多了 这样要加上40只脚 总共150只脚 然后一对一配对 每对里有一只鸡和一只兔子 共6只脚 共配了多少对 就求出鸡的只数了 解 110 10 4 4 2 25 只 鸡25 10 15 只 兔答 鸡有25只 兔有15只 解答 方法二 用方程做解设 有X只兔 有鸡 X 10 只 4X 2 X 10 1106X 90X 1515 10 25 只 答 鸡有25只 兔有15只 行程问题例4 甲 乙两车同时从A B两地相对开出 4小时相遇 甲车再开3小时到达B城 已知甲车每小时比乙车每小时快20千米 A B两地相距多少千米 解析 解设 乙的速度每小时行驶X千米 甲的速度是 X 20 千米 4X 3 X 20 60 20 4 3 560千米X 60答 AB两地相距560千米 工程问题例5 一项工程 甲单独做需10天 乙单独做需15天 如果两人合做 他们的工作效率就要降低 甲只能完成原来的五分之四 乙只能完成原来的十分之九 现在要求8天完成这项工程 两人合做的天数尽可能少 那么两人要合做多少天 解析 甲的工作效率 1 10 合做后的工效 乙的工作效率 1 15 合做后的工效 效率和 解设 合做X天 甲单独做 8 X 天 答 两个人合做要用5天 例6 设有六位数1abcde 乘3后 变为abcde1 求这个六位数 数论问题 解答 解设 abcde五位数为X 3 100000 X 10X 1X 42857答 这个六位数是142857 平面几何例7 如右图 以直角三角形ABC的两条直角边为直径作两个半圆 已知这两段半圆弧的长度之和是37 68厘米 那么三角形ABC的面积最大是多少平方厘米 取3 14 解答 解设 直角边长为X和Y 则弧长为 X 2 Y 2 37 68 X Y 2 37 68X Y 24 厘米 当X Y时乘积最大即X Y 12 厘米 三角形面积 12 12 2 72 平方厘米 答 三角形面积是72平方厘米 巧求面积 引辅助线法 典型例题精讲 例1 如图所示 平行四边形ABCD的面积是40平方厘米 求图中阴影部分的面积 解析 连辅助线BD S OBD和S OBC是等底等高的三角形 面积相等 是平行四边形面积的一半 S阴40 2 2 10 平方厘米 例2 如图 正方形ABCD和正方形EFGC并排放置 BF和EC交于H点 已知AB 4厘米 EF 6厘米 则阴影部分的面积是多少平方厘米 解析 连接DF 三角形DGH的面积等于三角形DFH的面积 原来阴影部分的面积等于三角形BDF的面积 S大正 6 6 36 平方厘米 S小正 4 4 1636 16 52 平方厘米 S ABD 16 2 8 平方厘米 S EFD 6 4 6 2 6 平方厘米 S BFG 4 6 6 2 30 平方厘米 S阴 52 8 6 30 8 平方厘米 例3 如图 四边形ABCD是长方形 EC 2DE F是DG的中点 G是BC中点 阴影部分的面积是20平方厘米 则长方形ABCD的面积是 解析 连接CF F是中点 S CFG S CFD S BDF S BFG G是BC中点 S CFG S BFG S CFD S BDF DE EC 1 2 S DEF S CFE 1 2 S CFG S EFC 3 2 S CFG 20 5 3 12 平方厘米 S长 12 4 2 96 平方厘米 例4 在三角形ABC中 三角形AEO的面积是1 三角形ABO面积是2 三角形BOD的面积是3 则四边形DCEO的面积是多少 解析 连接OC 把DCEO分成两个三角形ECO和DCO设ECO面积为x DCO面积为y由条件知 EO OB 1 2 AO OD 2 3则 AEO ECO DCO 2 3ECO DCO BOD 1 2即 x y 3 1 2 x 1 y 2 3解得 x 9 y 15所以DCEO x y 24 例5 已知E为边长AD的中点 正方形的边长为8厘米 P是CE的中点 求阴影部分的面积 解析 连结BE 三角形BCE的面积 正方形面积的一半 8 8 2 32 平方厘米 S BPC的 S BCE 2 16 平方厘米 S CDE 8 4 2 16 平方厘米 S PDC的面积 S CDE 2 8 平方厘米 S阴 S正 2 16 8 8 平方厘米 例6 如图 ABC是一个等腰直角三角形 AB BC 10 求图中阴影部分的面积 单位 分米 解析 我们做辅助线 做AE垂直AB EC平行AB 得到正方形ABCE S半圆 5 5 3 14 2 39 25 平方厘米 S正 10 10 100 平方厘米 S ADE 10 15 2 75 平方厘米 S阴 39 25 100 75 2 32 125 平方厘米 例7 如图 已知长方形ABCD的面积是54平方厘米 BE 2AE CF 2BF 则四边形ACFE的面积是多少平方厘米 解析 S ABC 54 2 27连接CE 因为AE EB 1 2 所以 S ACE S BCE 1 2 S ACE 27 3 9 平方厘米 S BCE 27 9 18 平方厘米 因为BF FC 1 2 所以SBEF SCEF 1 2 SCEF 18 3 2 12 平方厘米 SACFE 9 12 21 平方厘米 课后作业 如图 正方形ABCD的边长是4厘米 长方形DEFG的顶点G在BC边上 则长方形的面积为多少平方厘米 巧求面积 割补法 典型例题精讲 例1 下图中四个圆的半径都是5厘米 求阴影部分的面积 解析 同学们请看图 我们将图形进行割补 把阴影部分割补成四个半圆形和一个正方形 求出阴影部分面积就可以了 2S圆 5 5 3 14 2 157 平方厘米 S正 5 2 5 2 100 平方厘米 S阴 157 100 257 平方厘米 例2 求图中阴影部分的面积 解析 在图中分割的两个正方形中 右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆 在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆 如右图所示 将右边的阴影部分平移到左边正方形中 可以看出 原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积 5 5 25 例3 求图中阴影部分的面积 解析 如图所示 将左下角的阴影部分分为两部分 然后按照右下图所示 将这两部分分别拼补在阴影位置 可以看出 原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形 其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差 解 4 4 4 4 4 2 4 56 例4 在一个等腰三角形中 两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 见下图 求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几 解析 从顶点作底边上的高 得到两个相同的直角三角形 将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图 显然 阴影部分正好是长方形的三分之一 所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一 还可以拼成一个平行四边形或将其分成9个三角形 例5 如下图所示 在一个等腰直角三角形中 削去一个三角形后 剩下一个上底长5厘米 下底长9厘米的等腰梯形 阴影部分 求这个梯形的面积 解析 因为不知道梯形的高 所以不能直接求出梯形的面积 可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑 将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形 图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差 也是所求梯形面积的4倍 所以所求梯形面积是 9 9 5 5 4 14 平方厘米 例6 ABC是三个圆的圆心 圆的半径都是10分米 求阴影部分的面积 解析 我们用割补法 将阴影部分割补成一个半圆形 求出阴影部分面积就可以了 S半圆 10 10 3 14 2 157平方分米 例7 如图所示 空白部分占正方形面积的几分之几 解析 将阴影割补成一个长方形 正好占正方形面积的一半 例8 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 解析 看图 我们用割补法 阴影部分的面积等于扇形的面积减去空白三角形的面积 S扇 4 4 3 14 4 12 56 平方厘米 S 4 4 2 2 4 平方厘米 S阴 12 56 4 8 56 平方厘米 例9 如图 圆O的直径是8厘米 则阴影部分的面积是多少平方厘米 解析 我们用割补法 看图 阴影部分的面积就是扇形的面积减去正方形的面积 S扇 8 8 3 14 4 50 24 平方厘米 S正 8 8 2 32 平方厘米 50 24 32 18 24 平方厘米 答 阴影部分的面积是18 24平方厘米 课后作业 以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧 见下图 直角边长4厘米 求图中阴影部分的面积 巧求面积 放大法 典型例题精讲 例1 图中两块阴影部分的面积相等 三角形ABC是直角三角形 BC是直径 长20厘米 计算AB的长度 解析 解 三角形ABC的面积与半圆形的面积相等半径 20 2 10厘米10 10 3 14 2 314 2 157 平方厘米 所以AB的长为 157 2 20 15 7 厘米 答 AB的长是15 7厘米 例2 如图所示 平行四边形ABCD的边长BC为10厘米 直角三角形BCE的直角边EC为8厘米 已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米 求CF的长 解析 因为CF是平行四边形的高 要想求出CF的长 我们只要求出平行四边形的面积就可以了 根据已知条件 我们可以求出三角形的面积 三角形的面积加10就是平行四边形的面积 解 S平 10 8 2 10 50 平方厘米 CF 50 10 5 厘米 答 CF长5厘米 例3 如右图 等腰直角三角形ABC的腰为10厘米 以A为圆心 EF为圆弧 组成扇形AEF 阴影部分甲与乙的面积相等 求扇形所在的圆面积 解析 我们将图甲和图乙放大 同样加上一个空白 就可以得到三角形和一个扇形 因为甲和乙的面积相等 所以 三角形的面积和扇形的面积相等 S ABC 10 10 2 50 平方厘米 S扇 50 8 400 平方厘米 答 扇形所在的圆面积是400平方厘米 例4 如图A与B是两个圆 只有四分之一 的圆心 那么 两个阴影部分的面积相差多少平方厘米 单位 厘米 解析 长方形的面积 阴影1 空白 扇形的面积 阴影2 空白 S小扇 所以 阴影2 空白 S大扇 S小扇 阴影部分的差 阴影2 空白 阴影1 空白 S长 2 4 8 平方厘米 S小扇 2 2 3 14 4 3 14 平方厘米 S大扇 4 4 3 14 4 12 56 平方厘米 12 56 3 14 9 42 平方厘米 S阴差 9 42 8 1 42 平方厘米 例5 如图所示 扇形ABD的半径是4厘米 阴影部分 比阴影部分 大6 56平方厘米 求直角梯形ABCD的面积 解析 如果求出BC的长度 根据梯形面积公式就可以求出梯形的面积 根据放大法 图 比图 大6 56平方厘米 扇形DAB的面积比三角形ABC的面积大6 56平方厘米 S扇 4 4 3 14 4 12 56 平方厘米 S ABC 12 56 6 56 6 平方厘米 BC 6 2 4 3 厘米 S梯 4 3 4 2 14 平方厘米 例6 图中 BOA 90 以AO为直径画半圆交OD于E 如果图中 的面积为1平方厘米 求阴影部分的面积 解析 大圆的半径OA是小圆的直径 即小圆与大圆的直径比为1 2 则小圆与大圆的面积比为 1 4小圆半圆的面积就是大圆面积的 1 4 1 2 1 8 大圆中圆心角为45度的扇形OAD的面积也是大圆面积的1 8 S扇OAD S半圆 如果从这两个图形里都减去不规则的OAE 空白部分 剩下部分图形面积一定也相等 即所求阴影部分面积就等于图中 的面积为1平方厘米 例7 图中平行四边形的长边是6厘米 短边长是3厘米 高是2 6厘米 求阴影部分的面积 解析 观察图 是由2个半径6厘米的扇形 2个半径3厘米的扇形和一个平行四边形组合而成的 阴影部分 是以O为圆心大扇形OAB与以D为圆心的小扇形DAC的重叠部分 分解图形可得 阴影部分 和 的面积和就等于这两个扇形的面积和减去平行四边形的面积 3 14 6 6 6 3 14 3 3 6 6 2 6 7 95 平方厘米 S阴 7 95 2 15 9 平方厘米 课后作业 如图 长方形ABCD的长是8厘米 宽6厘米 延长BC到E 阴影部分甲比乙面积多16平方厘米 求CE长 长方体和正方体的体积 体积和容积 体积概念 常用的体积单位 长方体的体积公式 正方体的体积公式 长方体和正方体统一公式 用字母表示 容积概念 容积单位 典型例题精讲 例1 一个长方体 表面积是368平方厘米 底面积是40平方厘米 底面周长是36厘米 求这个长方体的体积 解答 368 40 2 288平方厘米288 36 8 厘米 V 40 8 320 立方厘米 答 这个长方体的体积是320立方厘米 例2 将一个长方体的长减小5厘米 变成了正方体 正方体表面积比原来长方体表面积减少了60平方厘米 原来长方体的体积是多少立方厘米 解答 60 4 15 平方厘米 15 5 3 厘米 3 3 5 3 72 平方厘米 答 原来长方体的体积是72立方厘米 例3 有甲 乙两个水箱 从里面测量 甲水箱长15分米 宽10分米 高8分米 乙水箱长10分米 宽10分米 高9分米 甲水箱装满水 乙水箱空着 现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中 使两箱水水面高度一样 两个水箱的水面高度是多少分米 解答 甲水箱的体积 15 10 8 1200 立方分米 1200 15 10 10 10 4 8 分米 答 两个水箱的水面高度是4 8分米 例4 一个长方体的长为12厘米 高为8厘米 前后两个面 上面和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米 求另外两个面积是多少平方厘米 这个长方体的体积是多少立方厘米 2020 1 25 解答 1 另外两个面积是 392 12 8 2 200 平方厘米 2 200 12 8 10 厘米 体积 12 10 8 960 立方厘米 答 另外两个面积是200平方厘米 长方体的体积是960立方厘米 例5 某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱 并用编织绳在三个方向上加固 使用的编织绳长度分别为365厘米 405厘米 485厘米 若每根编织绳加固时结头都是5厘米 则这个长方体包装箱的体积是多少立方米 解析 365 5 2 180厘米 405 5 2 200厘米 485 5 2 240厘米长 宽 高 180 200 240 2 310厘米长 310 180 130厘米宽 310 200 110厘米高 310 240 70厘米V 130 110 70 1001000立方厘米 1 001立方米 例6 有甲乙丙三种大小不同的正方体木块 其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一 乙的棱长是丙的棱长的三分之二 如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体 每块至少用一块 那么最多需要这三种木块共多少块 最少需要用这三种木块共多少块 解析 根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是 甲 乙 丙 1 2 3 1 最少 如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体 至少用8块 拿掉一块丙用乙和甲来补 需要乙1块 甲19块 共需要甲 乙 丙 19 1 7 27块 2 最多用92块 如果拼成棱长是5厘米的正方体 用一块丙和一块乙 需要甲 5 5 5 2 2 2 3 3 3 90 块 90 1 1 92 块 例7 在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里 直立着一个长100厘米 底面为边长15厘米的正方形的四棱柱铁棍 这时容器里的水深为50厘米 现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米 露出水面的四棱柱 浸湿部分长多少厘米 方法一 15 15 24 60 60 15 15 1 6厘米24 1 6 25 6厘米答 浸湿部分长25 6厘米 解答 解答 方法二 解设 拔出24厘米后 浸在水里的部分为X厘米 60 60 15 15 X 60 60 24 60 60 15 15 503375X 82350X 24 450 24 4 25 6 厘米 答 露出水面的四棱柱 浸湿部分长25 6厘米 课后作业 如图一个长 宽 高分别为21厘米 15厘米 12厘米的长方形 现从它的上面尽可能大的切下一个正方体 然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体 最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体 剩下的体积是多少立方厘米 长方体和正方体表面积 表面积计算公式 长方体和正方体六个面的总面积 叫做它的表面积 常用的面积单位有 平方厘米 平方分米 平方米 公顷等 长方体的表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 用字母表示S 2 ab ac bc 正方体的表面积S a a 6 典型例题精讲 例1 把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长为1厘米的小正方体 这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米 解析 方法一 共分成4 4 4 64 个 S 1 1 6 64 384 平方厘米 方法二 沿着长 宽 高分别切三刀 共切9刀 一共增加9 2 18个面 加上原来的六个面共有18 6 24 个 S 4 4 24 384 平方厘米 答 这些小正方体的表面积的总和是384平方厘米 例2 把一个长12分米 宽6分米 高10分米的长方体截成3个相同的小长方体 它的表面积最多可以增加多少平方分米 共有三种切法 例3 在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞 洞口边长为1厘米的正方形 求挖洞后木块的体积和表面积 解答 V 3 3 3 1 1 1 7 20 立方厘米 S 3 3 6 54 平方厘米 54 1 1 6 1 1 4 6 72 平方厘米 答 体积是20立方厘米 表面积是72平方厘米 例4 一个正方体木块 棱长是15 从它的八个顶点处各截去棱长分别是1 2 3 4 5 6 7 8的小正方体 求这个木块剩下部分的表面积最少是多少 看图解析 解答 15 15 6 13501350 7 7 2 1252答 这个木块剩下部分的表面积最少是1252 例5 有一个正方体 它的六个面分别被涂上互不相同的颜色 如果从不同的角度给这个正方体拍照 那么有时只能拍到一个面 两个面 最多能同时拍到三个面 洗出照片后 照片中正方体的面的颜色搭配种类最多有多少种 解析 一个面的 单独六个面每个拍一张 就有6张了 两个面的 单独面对一个棱 冲着这个棱拍过去 有两个面 立方体一共12条棱 所以就又有12张 三个面的 单独面对一个顶点 冲着顶点拍过去 就有三个面 立方体一共有8个顶点 所以就又有8张了 所以一共有6 12 8 26张 即26种 例6 给一个正方体的每个面分别涂上红 黄 蓝三种颜色中的一种 每种颜色涂两个面 共有多少种不同的涂法 两种涂法 如果经过翻动能使各种颜色的位置相同 就认为是相同的涂法 解析 共有4种情况 同种颜色 不是相邻就是相对 红 黄 蓝两个面分别相对时 有三种情况 两两相邻时有一种情况 共有四种情况 例7 把正方体的六个面分别划分成9个相等的正方形 然后用红黄篮三种颜色去给每个小正方形染色 要求有公共边的正方形染色不同 问染红色的小正方形最多有多少个 染色示意图 三个面中共染红色小正方形11块 六个面最多染红色的小正方形22块 黄色的小正方形22块 蓝色的小正方形10块 课后作业 一 如图所示 从一个边长为2厘米的正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞 接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0 5厘米的正方体 接着再在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0 25厘米的正方体小洞 求现在得到的立体图形的表面积为多少平方厘米 课后作业 二 右图是一个4 5 6的长方体 如果将其表面涂成红色 那么其中一面 二面 三面被涂成红色的小正方体各有多少块 圆柱和圆锥体积 体积公式推导 底面积 高 圆柱体积公式 圆柱体的体积 底面积 高 圆锥体积公式 圆锥体积公式 结论 圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一V柱 ShV锥 Sh 3 典型例题精讲 例1 一个圆柱体的体积是50 24立方厘米 底面半径是2厘米 将它的底面平均分成若干个扇形后 再截开拼成一个和它等底等高的长方体 表面积增加了多少平方厘米 解答 S底 2 2 3 14 12 56 平方厘米 h高 50 24 12 56 4 厘米 S增加 4 2 2 16 平方厘米 答 表面积增加了16平方厘米 例2 在一个圆柱形水桶里放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块 如果把钢块浸没在水中 桶里的水面就会上升9厘米 如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起8厘米 桶里的水面就会下降4厘米 求圆柱形钢块的体积 解析 先求出露出水面的圆柱形钢块的体积 因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等 所以可求出圆柱形水桶的底面积 又因为当钢块浸没在水中时 上升的水的体积与钢块的体积相等 所以可以求出圆柱形钢块的体积 等积转化是本题的考察重点内容 解答 解 V钢 3 14 5 5 8 628 立方厘米 下降4厘米的水的体积与拔出8厘米圆柱形钢块的体积相等S水桶 628 4 157 平方厘米 当钢块浸没在水中时 上升的水的体积与钢块的体积相等 上升的水的体积157 9 1413 立方厘米 答 圆柱形钢块的体积是1413立方厘米 例3 将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块 表面积增加48平方厘米 若将这个圆柱体切成三块小圆柱体 表面积增加50 24平方厘米 现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体 体积减少多少立方厘米 解析 将圆心切成四块 需要切两刀 增加四个相等的长方形 每个长方形的面积是48 4 12 平方厘米 如果切成三个圆柱体 需要用两刀 也增加4个面 是4个相等的底面 每个底面的面积是S底 50 24 4 12 56 平方厘米 因为2 2 3 14 12 56 平方厘米 所以半径 2厘米 直径是4厘米 高 12 4 3厘米 圆柱体积V 12 56 3 37 68立方厘米 削成一个最大的圆锥 减少圆柱体积的三分之二 减少37 68 3 2 25 12立方厘米 例4 一个酒精瓶 它的瓶身呈圆柱形 不包括瓶颈 如图 已知它的容积为400毫升 当瓶子正放时 瓶内酒精的液面高为6厘米 瓶子倒放时 空余部分的高为2厘米 问 瓶内酒精的体积是多少毫升 解答 将倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一个圆柱体 因为 V Sh所以 S V hh 6 2 8 厘米 400毫升 400立方厘米S底 400 8 50 平方厘米 V 50 6 300 立方厘米 300 毫升 答 瓶内酒精的体积是300毫升 例5 如图 圆锥形容器中装有水50升 水面高度是圆锥高度的一半 这个容器最多能装水多少升 解答 解设 小圆锥的高度是2厘米 则大圆锥的高度是4厘米 设小圆锥的底面半径是1厘米 则大圆锥的底面半径是2厘米 V小 1 1 2 3 2 3V大 2 2 4 3 16 3V大 V小 8 150 8 400 升 答 这个容器最多能装水400升 例6 在一个底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里 有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中 取出铸件后 缸里的水下降0 5厘米 求铸件的高 解答 R 40 2 20厘米 r 10 2 5厘米S柱 20 20 3 14 1256 平方厘米 S锥 5 5 3 14 78 5 平方厘米 V锥 1256 0 5 628 立方厘米 h锥 628 3 78 5 24 厘米 答 铸件的高是24厘米 例7 如图所示 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中 皮球的直径为15厘米 水桶底面直径为60厘米 皮球有的体积浸在水中 问皮球掉到水桶中后 水面升高了多少厘米 注 皮球的体积为 解析 解 皮球的体积是 水面升高的高度是450 900 0 5 厘米 答 水面升高了0 5厘米 课后作业 如图 在一个正方体的前后面和侧面的中心各打通一个长方体的洞 在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞 已知正方体边长为10厘米 侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形 上下底面的洞口是直径为4厘米的圆 求此立体图形的表面积和体积 圆柱和圆锥表面积 圆柱表面积展开图 圆柱表面积推导公式 长方形的长 圆柱的底面周长长方形的宽 圆柱的高圆柱的侧面积 底面周长 高S侧 Ch d h 2 r h圆柱的表面积 侧面积 两个底面的面积S表 S侧 2S底 典型例题精讲例1 做一个圆柱形纸盒 至少需要用多大面积的纸板 接口处不计 单位厘米 解答 S底 10 10 3 14 314314 2 628 平方厘米 S侧 10 2 3 14 30 1884 平方厘米 S表 628 1884 2512 平方厘米 答 至少需要用2512平方厘米 例2 一台压路机的滚筒宽1 2米 直径为8分米 如果它滚动10周 压路的面积是多少平方米 解答 8分米 0 8米S侧 0 8 3 14 1 2 3 0144平方米3 0144 10 30 144平方米答 压路的面积是30 144平方米 例3 一个圆柱的侧面展开图是正方形 这个圆柱的高是12 56厘米 则这个圆柱的表面积是多少 保留整数 解答 r 12 56 3 14 2 2 厘米 S底 2 2 3 14 12 56 平方厘米 12 56 2 25 12 平方厘米 S侧 12 56 12 56 157 7536 平方厘米