浅谈求极限的方法与技巧.doc

摘要 数学分析研究的对象是函数。一般来说，研究函数有两种方法：一种是代数与几何的综合。用这种方法只能研究函数的简单性质，有时做起来很复杂；另一种方法就是极限方法，用这种方法能够研究函数的深刻的性质，并且很简单。数学分析课中研究函数就是用这种方法。由此可见，极限是贯穿数学分析等数学的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起，因此掌握极限概念与极限运算对数学的研究有一定的理论意义与现实意义。数学分析中一些重要的概念，如函数连续，导数概念，定积分概念等都是用极限来定义的。反过来，我们可以利用这些概念来求极限，所以求极限的方法是十分繁多的。本文主要内容是介绍一些求极限的常用方法与技巧，如利用极限定义，极限运算法则，函数的连续性，左.右极限，两个重要的极限公式等方法来求极限，并列举相应的例子，使读者对极限的计算方法有得到全面的认识。关键词：极限；方法；技巧Abstract Mathematical analysis of the object is a function . In general, the research function in two ways: one is the integrated algebra and geometry . In this way only the simple nature of the research function , sometimes make it so complicated ; Another way is to limit the method , using this method to study the profound nature of the function, and is very simple. Lesson study mathematical analysis function is to use this method. Thus , the limit is through mathematical analysis and other mathematical main line , each knowledge point it mathematical analysis linked together , so to grasp the concept of limit and limit operation on the study of mathematics has a certain theoretical and practical significance . Mathematical analysis of some important concepts , such as a continuous function , derivative concept , definite integral concepts are used to define the limits . In turn, we can use these concepts to find the limit, so the demand is very extreme variety of methods . The main content of this article is to introduce some of the limits of seeking common methods and techniques , such as using the continuity of the limit defined limits algorithms , functions , and left . Right limit , two important limit formula and other methods to find the limit, and cited examples of appropriate , so that readers have a calculation method for the limit to get a comprehensive understanding.Key words:limit;method;technique目 录摘要Abstract1、 引言2、 数列极限与函数极限相关定义与定理3、 极限的若干重要性质 3.1收敛数列的性质 3.2函数极限的若干性质4、 极限的若干方法与技巧及举例说明 4.1利用极限的定义求极限或验证极限 4.2利用极限的四则运算法则计算极限 4.3利用函数的连续性求极限 4.4利用夹逼准则求极限 4.5利用两个重要极限求极限 4.6利用无穷小量与无穷大量的性质求极限 4.7利用等价代换求极限 4.7.1一般等价代换 4.7.2由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换 4.8利用拉格朗日中值定理求极限 4.9洛比达法则求极限 4.9.1型不定式极限 4.9.2型不定式极限 4.9.3其它类型的不定式极限 4.9.4求数列的不定式极限 4.9.5广义洛比达法则求极限 4.10利用泰勒展式求极限 4.11利用定积分求极限 4.12用施笃兹公式求极限5、 结束语参考文献致谢1 引言无论是中学数学还是大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，而求数列极限与函数极限是数学分析中的基本运算。如函数的连续、导数、定积分及级数的收敛等都是在极限理论上建立的。它将数学分析，高等数学中的各个知识点连在了一起，所以掌握极限概念与极限运算是学好数学的前提。有很多文章都介绍了极限的计算与技巧如：文献1除介绍了数列极限与函数极限的概念与相关定理还介绍了一般求极限方法与技巧，具体从以下几方面入手：利用极限的定义求极限，两个重要极限求极限，等价无穷小替换求极限，泰勒公式求解极限，洛比达法则求极限。文献2求极限的若干方法，即：用导数定义求极限，导数是用极限定义的，反过来，利用导数定义来求一些数列与函数的极限。用拉格朗日中值定理求极限。用等价代换求极限。广义洛比达法则及其应用等方法。文献3利用极限的一些基本知识建立起来的求极限基本方法，并通过几道习题选解的解法说明，很多题目可以通过变形利用原有的结论可简便地得到要求的结论。基本定积分求极限。文献4不仅总结了求函数极限的基本方法，而且还总结了函数极限与数列极限的关系与应用，更是每道例题详细说明了解极限的技巧以及以及解题过程中所运用到的极限的相关性质。文献5详细总结了极限理论，从预备知识绝对值的性质讲起到序列极限，函数极限以及极限概念的一般化。使我们更清楚的了解并掌握了极限。本篇论文总结了求数列和函数极限的方法，通过相应例题的解法说明，并总结求极限时所用的解题技巧，巧妙地将求极限的方法与技巧相结合。求极限的主要方法有定义法、四则运算、两边夹逼法则、洛比达法则、单调有界定、利用两个重要极限等。除这几个常规的方法还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。2 数列极限与函数极限相关定义与定理数列极限的定义（语言） 设为一个已给数列,为一个定数，如果对于任意给定的正数，总有一个正数存在，使得当时，恒有 我们就说数列（或变量）当无限增大时以定数为极限。或者说，数列收敛于（或变量趋于），并记成 函数极限的定义（语言） 设函数在附近有定义（但在时可以没有定义），为一个定数。如果对于任意给定的，存在某个正数，当时，就有 我们就说：当趋于时以为极限（或收敛于)，并记为。函数极限定义2 设为定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有 ，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 定义3 设函数定义在区间上，如果存在一个定数，不论给定的怎样小，恒存在一个，当满足不等式： 时，有，则称定数是函数在点的右极限（指自变量从大于的方向趋于），表示为： 或 定义4 设函数定义在区间上，如果存在一个定数,不论给定的怎样小，恒存在一个，当满足不等式： 时，有，则称数是函数在点的左极限（指自变量从小于的方向趋于）表示为： 或 定理1 （单调有界定理） 在实系数中，有界单调数列必有极限定理2 （柯西收敛准则） 数列收敛充要条件是：对任意给的，存在正整数，使得当时有。这个定理从理论上解决了数列极限存在性问题。定理3 （致密性定理） 有界数列必定含有收敛子列。定理4 （Stolz定理） 设数列单调递增并且趋于，(有限或均可以)，则。定理5 （柯西准则） 平面点列收敛的充要条件是：任意给正数，存在正整数,当时，对一切正整数，都有定理6 设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。定理7 （拉格朗日中值定理） 若函数满足以下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 。定理8 （积分第一中值定理） 若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得。定理9 （推广的积分第一中值定理） 若函数和都在闭区间上连续，并且在上不变号，则至少存在一点，使得。定理10 （欧拉定理）序列收敛。因此有公式式中称为欧拉常数，且当时，定理11 （归结原则） 设在有定义，则存在的充要条件是对任何以为极限且含于的数列，极限都存在且相等。注1 归结原则可简述为：对任何有注2 如果可以找到一个以为极限的数列，使得不存在，或者可以找到两个都以为极限的数列与，使得与都存在而且不相等，则有不存在。归结原则是连接数列与函数极限的桥梁。3 极限的若干重要性质3.1 收敛数列的性质 （1）唯一性 若数列收敛，则它只有一个极限。 （2）有界性 如果数列收敛，则是有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有。 （2） 保号性 如果，则对于任何，存在正数，使得当时有。 （3） 保不等式性 设于均是收敛数列。如果存在正数，使得当时有，则。 （4） 迫敛性 设收敛数列，都是以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则就有数列收敛，且。 （5） 四则运算法则 如果与都是收敛数列，则，与也都是收敛数列，并且有 ， 。特别当为常数时，。如果再假设及，则也是收敛数列，并且有。3.2函数极限的若干性质（1） 唯一性 如果极限存在，则这个极限是唯一的。（2） 局部保号性 如果，则对任何正数,存在，使得对一切有。（3） 保不等式性 假设与都存在，并且在某邻域内有，则。（4） 局部有界性 如果极限存在，则在的某空心邻域内有界。（5） 迫敛性 如果,并且在空心邻域内有，则。（6） 四则运算法则 如果和，那么有 ,.并且，则。（7） 如果，就有。注 函数极限的性质是在某一邻域内研究的，而数列的极限性质是在实数范围内研究的。4 极限的若干方法与技巧及举例说明在上面我们说明了有关数列极限与函数极限的定义，定理以及相关性质，我们可以利用这些性质来归纳总结极限的计算方法及所隐含的技巧。4.1 利用极限的定义求极限或验证极限例1已知，用定义证明证明：当A为有限数时，对于对于,有 对于上述，存在，对于任意的,有故取，任意时，有也就可以得到如果时，对任意的，都存在，当任意，有当,可以得到，进一步得到，最后得到所以可以得到，存在，则对于任意给的,有取时，有。所以此极限不存在。可类似证明 用定义求极限或证明极限的时候，关键的过程是求过程，此例题中运用例适当放大的方法，这样求就比较方便。但应该注意这种放大必须适当，可以根据给定的确定出。也应该注意的任意性和的相应性。4.2 利用极限四则运算法则计算极限上面的有关极限的性质已经叙述了关于数列极限与函数极限的四则运算法则。首先极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此利用极限的四则运算法则求数列与函数极限时，必须对所给的函数进行逐一验证，看它是否满足极限值四则运算法则条件，满足条件的，才能利用极限四则运算法则进行求之；不满足条件者，不能利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限的四则运算条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限的四则运算法则求之，而在对函数进行恒等变换时，通常运用一些简单的技巧例如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。例1 求，其中，。解 ：用同乘以分子分母以后，所求极限式化为 。因为，当时有。所以，当时，上式除了分子分母的第一项分别为和外，其余各项的极限都是0，因此这时所求的极限等于，当时，由于，因此所求的极限等于0.综上所述，求得例2 求解： 4.3 利用函数的连续性求极限如果函数在上连续，则就有。如果是复合函数，又有并且在上连续，则就有。例1 求解 因为复合函数是初等函数，而是其定义域内的点，所以此复合函数的极限值就等于该点处的函数值。故。例2 求下列函数的极限（1） （2）； 解：（1）由于属于初等函数的定义域之内，故由的连续性得到。 （2）同（1）解题思路得。4.4 利用夹逼准则求极限数列与函数的迫敛性，它不仅给出了判定收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具。例1 求数列极限。（1），（2）；解：（1）当时，有，从而有，由于，因此根据极限的迫敛性，得到。（2） 因为 ，与，所以有，因为，根据极限的迫敛性得到。例2 利用迫敛性求函数极限解：因为，所以当时，而，由迫敛性定理得，。我们在应用迫敛性时，应该注意对所求数列适当放缩，放缩到我们平常易求得的极限。而利用迫敛性求函数极限的关键是：构造函数，使。，由此得。4.5利用两个重要的极限求极限，；变形：，；在这里利用， 与，其中都可以看作整体来对待。其中第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“”型，在利用两个重要极限求函数极限时，关键是要把要求的函数极限化成重要极限的标准型或它们的变形，最重要的是抓住它们的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形。例1 求下列极限，；解：。令，则有，当，相当于，则就有 。例2求下列极限，；解：。本例题用到了幂指函数求极限的公式：“设则”事实上，用函数极限的定义，易证明，对数函数极限公式：指数函数极限公式：。复合函数极限公式：设，并且在某，则。从而考虑函数，由以上结果得到，于是就有。4.6利用无穷小量与无穷大量的性质求极限定理：如果自变量在同一变化过程中，则就有如果已知函数为无穷小量且，则有为无穷大量。如果已知函数为无穷大量，则有为无穷小量。性质：1.两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍然为无穷小量。2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量。3.在自变量的同一变化中无穷大量的倒数为无穷小量。利用这些性质可以使得我们的计算变得简便。例1 ，；解：当时，为无穷小量，而为有界量，所以可得 。因为分母的极限，故不能运用商的运算法则，但是因为，故。4.7利用等价代换求极限4.7.1一般等价代换定理假设函数有定义，并且有。如果，则就有；如果，则就有。事实上，等价代换不改变极限的存在性和极限值。利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，如果以和、差的形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往就会改变无情小之比的阶数，因此要谨慎用为好。我们也应该熟悉一些一些常用的等价无穷小，例如当时有以下等价无穷小：,等。4.7.2由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换先用拉格朗日中值定理给出下述一般命题：设在的一个了邻域内连续，并且的一个邻域内连续可导并且连续，.则就有。根据命题说明，对常见的初等函数可得到下列等价关系，其中也可以是自变量，也可以是函数，为引用方便，做以下总结：例1求解：利用等价关系可得原式。例2求解：原式 注意此题分母为无穷小量，巧妙并正确利用等价关系。4.8 用拉格朗日中值定理求极限我们都知道，拉格朗日中值定理是理论证明的有力工具。事实上，它在计算某些函数的极限时也非常简单有效。在求函数的极限时，如果能根据函数的特点找得到一个新的可微函数再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。例1 求解：设在区间上满足Lagrange中定理条件，则至少存在一点使得所以。例2 计算解： 原式 。例3 计算解：原式 。4.9 洛比达法则求极限 我们在学习无穷小（大）量的比较时，已经遇到过另个无穷小（大）量之比的极限。由于这种极限可能存在，也有可能不存在，所以我们把两个无穷小量或者无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别为型或者型的不定式极限。我们将以倒数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。而柯西中值定理是建立洛比达法则的理论依据。定理(洛比达法则)设函数和在点的空心邻域内有定义且满足下列条件： 则有。4.9.1 型不定式极限例1 求.解：与在点的邻域内满足定理的，又因因此由洛比达法则求得如果仍是型不定式极限，只要有可能，我们可以再次用洛比达法则，即考察极限是否存在。然而这时在的某邻域内必须满足定理的条件。例2求解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解。但是若做适当的变换，在计算上可以更方便一些。因此，令当时，有，所以有4.9.2 型不定式极限例3求解：这是型，直接运用洛比达法则求解。如果满足条件，我们可以再次应用定理。注1 如果不存在，不能说明不存在注2不能对任何比式极限都按洛比达法则求解。首先必须判断它是不是不定式极限，其次再判断是否满足洛比达法则的其他条件。4.9.3 其它类型的不定式极限不定式极限还有等类型。经过简单的变换，它们一般都可以化为型或者型的极限。技巧例4求解：。这是一个型不定式极限。我们用恒等变形将它转化成型不定式极限，然后应用洛比达法则就可以得到。例5 计算解：因为和，所以有技巧：本题利用洛比达法则计算函数极限，这是一个型函数极限，首先作恒等变形，说明其指数部分的极限是型不定式极限，所以先求指数部分的极限从而得到所求极限。例6 求极限解：因为，所以。技巧：这是一个型不等式极限，类似地先求其对数的极限型。例7 求解：.技巧：这是一个型不定式极限，通分后化为型极限，然后用洛比达法则。4.9.4 求数列的不等式极限 对于数列不等式极限，可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。例1 求解：由归结原则知又由洛比达法则知所以技巧与注意： 在数列形式下直接用洛比达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。4.9.5 广义洛比达法则求极限 我们都知道，洛比达法则是求不定型极限的有效工具，很多极限问题可以用其求解，但是有些极限问题却无能无力，例如：设在内可微，并且求这里因为没有假设，不能使用传统的洛比达法则。那么试问这样的假设真的必不可少吗？不是的！这个假设条件可以以去掉，则就有下面广义的洛比达法则。定理（不定型极限，洛比达法则）设函数在上可导，若满足 （1） （2） （3） ；则有注意: 与洛比达法则相比，对分子上的函数假设条件减弱了：可以无极限、可以有极限、极限可以有限。例1 设在内可微，且为正数，求解：因为所以4.10 用泰勒展式求极限 泰勒公式是多项式逼近函数的一种有效工具，具有广泛地应用。定理：如果函数在存在阶导数，则就有其中.可知是的高阶无穷小。式称为在（展开）的泰勒公式。当 时( 函数在存在 阶导数) , 式是:, 此式被称为麦克劳林公式。对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，下列为常用的展开式：；.例1 求解：原式= 技巧：本题先用等价代换将分母换成，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限分子：就可以计算出所求极限，所以要善于运用麦克劳林公式和泰勒公式。4.11用定积分求极限命题1 设在在上是单调的，可以是的奇点，如果收敛，则.命题2 设在上单调，并且收敛，则.例1 利用定积分求极限：解：将此极限式化为某个积分和的极限式，并转化成计算定积分，因此我们对此作如下变形：可以看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和（这里所取得是等分分割，）.所以当然，也可以把看作在上的定积分，同样有技巧：由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。4.12 利用施笃兹公式求极限定理：设定义在内，且在每个有穷区间内有界，严格单调增加至，则（1）（2）。例1 求解：.例2 设，试求解：令，则，由推论2可以把根式极限化为求比值极限，即两边取对数得所以.5 结束语 求极限的方法有很多种，而且许多题目有很多解法，每种解法都有各自的解题技巧。然而这些方法并不是孤立的，常常要在一道题中运用多种方法。对于不同类型的极限应选择恰当的解题方法。极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识到精确，从有限认识到无限，从量变认识到质变的一种数学