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第3课时定积分与微积分基本定理 1 定积分的概念 1 定积分的定义和相关概念 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 基础知识梳理 n 作和式 当n 时 上述和式无限接近 这个叫做函数f x 在区间 a b 上的定 基础知识梳理 某个常数 常数 积分 记作 即 baf x dx 基础知识梳理 a与b a b 函数f x x 基础知识梳理 基础知识梳理 基础知识梳理 3 定积分的基本性质 kf x dx f1 x f2 x dx f x dx 基础知识梳理 基础知识梳理 思考 你能从定积分的几何意义解释性质 吗 思考 提示 如图所示 设在区间 a b 上恒有f x 0 c是区间 a b 内的一点 那么从几何图形上看 直线x c把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形 因此 大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1 S2之和 即S S1 S2 用定积分表示就是性质 基础知识梳理 F b F a 答案 A 三基能力强化 三基能力强化 答案 B 三基能力强化 答案 D 三基能力强化 答案 1 三基能力强化 求函数f x 的定积分 关键是求出函数f x 的一个原函数F x 即满足F x f x 正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 2 先利用定积分的性质将被积函数化简再求 3 先化简 再求定积分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 规律总结 计算简单定积分的步骤 1 把被积函数变为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的和或差 2 利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差 3 分别用求导公式找到F x 使得F x f x 4 利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个定积分的值 5 计算所求定积分的值 课堂互动讲练 1 分段函数的定积分 1 分段函数在区间 a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式 2 分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的 一般按照原函数分段的情况分 无需分得过细 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 f x 在 0 5 上的定积分 可按照f x 的分段标准 分成 0 1 1 4 4 5 三段的定积分的和 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 名师点评 分段函数在区间 a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可 课堂互动讲练 利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形 结合图形位置 确定积分区间以及被积函数 从而得到面积的积分表达式 再利用微积分基本定理求出积分值 课堂互动讲练 课堂互动讲练 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积 2 y x 2 x y2 思路点拨 先将区域面积表示成若干个定积分的和或差 再运用牛顿 莱布尼兹公式计算 课堂互动讲练 2 曲线所围成的平面区域如图 2 所示 S A1 A2 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时 关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系 确定好积分区间 得到积分表达式 再利用微积分基本定理计算即得所求 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 从图上可以看出物体在0 t 1时做加速运动 1 t 3时做匀速运动 3 t 6时也做加速运动 但加速度不同 也就是说0 t 6时 v t 为一个分段函数 故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 本题满分10分 物体A以初速度为2 速度v的单位 m s 加速度为a t 6t t的单位 s 在一直线上运动 在此直线上与物体A出发的同时 物体B在物体A的正前方5m处以v 10t 1 t的单位 s v的单位 m s 的速度运动 1 求物体A的速度 2 两物体何时相遇 相遇地与物体A的出发地的距离是多少 课堂互动讲练 高考检阅 解 1 设物体A在时刻t的速度为v t 依题意有v 0 2 2分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 规律方法总结 规律方法总结 2 求定积分的常用技巧 1 对被积函数 要先化简 再求积分 2 求被积函数为分段函数的定积分 依据定积分 对区间的可加性 分段积分再求和 3