一元二次函数辅导讲义.doc

艺缘艺校辅导讲义一元二次函数解法讲义【知识梳理】1.定义：一般地，如果,那么2.二次函数(配方得：的形式，其中 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：(1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，当 ,y值最小，最小值为 (2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，当 ,y值最大，最大值为 (3)相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作.特别地，y轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴 0（即、同号）时，对称轴在轴左侧（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标，通常选用交点式：.8.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为.（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点：同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点； 方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于是方程的两个根，故经典例题： yx例1图 -11O【例1】二次函数的图像如图所示，那么、这四个代数式中，值为正的有（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个21世纪教育网解析：1 0答案：A评注：由抛物线开口方向判定的符号，由对称轴的位置判定的符号，由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号，若轴标出了1和1，则结合函数值可判定、的符号。【例2】已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得原抛物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；探索与创新：21世纪教育网【问题】已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？（2）如果抛物线经过点B，求的值；这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。 解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，所以点A在抛物线上。（2）顶点B（1，0），；设抛物线与轴的另一交点为C，B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，ABC为等腰直角三角形，过A作AD轴于D，则ADBD。当点C在点B的左边时，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，解得或（舍）。故。评注：若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。针对练习：一填空题1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2.函数图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是 .4.二次函数，通过配方化为的形为 .5.二次函数（c不为零），当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是 .6.抛物线当b=0时，对称轴是 ，当a，b同号时，对称轴在y轴 侧，当a，b异号时，对称轴在y轴 侧.7.抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .8.若a时，函数值随x的增大而 .9.二次函数（a0）当a0时，图象的开口a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程（a0）的根，就是抛物线与x 轴 交点的横坐标. A. B. C. D.19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-320. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=(x+2 )2 -2 B.y=(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -221.若抛物线的对称轴是则（ ） A.2 B. C.4 D.22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B. 开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C. 开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数与（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）25.如图，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，SABC=6，则b的值是（ ） A.b=5 B.b=-5 C.b=5 D.b=426.二次函数（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是（ ） AX取任何实数 B.x0 D.x027.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D.28.二次函数（