贵州省凯里一中七年级数学兴趣小组活动资料.doc

黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料 七年级数学基础知识主讲：李明科QQ：83808498（主显号：）七年级数学兴趣小组活动资料目 录第一讲 和绝对值有关的问题第二讲 有理数的巧算第三讲：整式的化简求值问题第四讲：与一元一次方程有关的问题第五讲：列一元一次方程解应用题第六讲：丰富的图形世界第七讲：线段和角第八讲：相交线与平行线第九讲：平面直角坐标系第十讲：三角形的基本知识第十一讲：二元一次方程组及应用第十二讲：一元一次不等式第十三讲：数据的收集和整理第一讲 和绝对值有关的问题一、绝对值的意义：1、几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；|x-a|是数轴上表示数x的点到数a的点的距离；2、代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 也可以写成： 说明：（）|a|0即|a|是一个非负数；（）|a|概念中蕴含分类讨论思想。二、典型例题例1. 已知【思路分析】【自主解答】例2. 若a,b,c为整数，且，计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。【思路分析】【自主解答】例3（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | b-a | + | a+b | + | c-a | +|a+c|- | b-c | 的值等于=【思路分析】【自主解答】例4已知：，且， 那么的值（ ）A是正数B是负数C是零D不能确定符号【思路分析】【自主解答】练习题1、若( )A. 3或13 B. 13或-13 C. 3或-3 D. -3或-132、已知a,b,c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0,且abc0，则代数式的值为_.3、求满足|a-b|+ab=1的非负整数对（a,b）的值。4、若a,b,c,d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,则|a-d|=_.5、已知且，那么 。6、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ ）A. B. C.0 D.第二讲 有理数的巧算【知识要点】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。2、有理数的相关概念和性质法则有理数的运算法则 有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧巧用运算律 凑整法 拆项法（裂项相消） 分组相约法 倒写相加法 错位相减法 换元法 观察探究、归纳法【典型例题】【例1】计算下列各题 【思路分析】(1)利用运算律把同分母的分数结合起来；(2)逆用分配律；(3)把积为整数的因数结合起来。【自主解答】【例2】用简便方法计算：【思路分析】每个加数都比较接近十、百、千、万。利用凑整法将它们分别表示成十、百、千、万与较小的数字的和(或差)然后再计算。【自主解答】【例3】观察下列等式将以上几个等式相加（左边相加等于右边相加）得到用上述方法计算： 【思路分析】观察思考不难发现（1）（2）【自主解答】反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。 【例4】观察下列计算过程计算：设用上述方法计算：【思路分析】算法的特点是这些加数乘以一个常数后，得到的新的算式中绝大部分与原来的算式中的数相同，从而错位相减消去相同的数。【自主解答】【例5】计算： 【思路分析】倒写相加法。【自主解答】设则可倒写成两式左右各相加得解：即原式=5050练习1、= 2、（第10届“希望杯”训练题） 3、计算： 4、计算：5、计算：第三讲：整式的化简求值问题【知识要点】1、用字母表示数（1）用字母表示数，揭示数与数之间的本质联系；（2）列代数式（3）求代数式的值，求代数式的值一般分为化简，代入与计算。2、整式的有关概念及整式的加减整式的加减：掌握去括号、添括号的法则，熟练进行同类项的合并。合并同类项法则（顺口溜）：说起合并同类项，法则千万不能忘，只求系数代数和，字母、指数留原样。 去、添括号法则：去括号、添括号，关键要看连接号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。【典型例题】【例1】如图是一个有规律排列的数表，请用含的代数式（为下整数）表示表中第行第列的数为 。【思路分析】数阵问题关键是要分析出排列的规律，仔细观察不难发现第行的第一列的数为，第二列的数为，以此类推即可得解。【自主解答】【例2】若多项式的值与无关，求的值.【思路分析】多项式的值与无关，即把当成已知数，经过化简后含的项系数均为零。从而解出的值，代入计算即可。【自主解答】【例3】当代数式的值为7时,求代数式的值.【思路分析】观察两个代数式的系数，发现所求代数式中，只从已知条件中求出的值，从而整体代入即得所求代数式的值。【自主解答】【例4】时，代数式的值为8，求当时，代数式的值。【思路分析】将和分别代入观察两个代数式的系数，发现两个代数式中的项系数正好相反，即互为相反数，只要从已知条件中求出的值，从而得到的值，整体代入即可求得。【自主解答】【例5】三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则 的值是_ 。【思路分析】因为abc0，即a、b、c中至少有一个为正数，所以a、b、c中只有一个是负数。观察代数式 ，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式。我们说a、b、c中的任两个具有对称性。不妨设a0，c0则ab0，ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。【自主解答】一题多解鉴赏【例6】已知，求的值.分析：解法一（整体代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、减项） 出乎意料的问题【例7】（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。三、练习1、如图是一个有规律排列的数阵，根据你的猜想的规律，2012应该排在表中第几行？在该行从左到右数的第几个数？2、若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值。3、已知，求的值。4、设，求（1）；（2）；（3）。5、三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则 的值是_ 。6、（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪1.2万元，每年加工龄工资720元；B公司，月薪1千元，每月加工龄工资5元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？第四讲：与一元一次方程有关的问题【知识要点】1、解一元一次方程的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。我们在解方程时，既要会按部就班（严格按步骤）地进行，又要能随机应变（灵活打乱步骤）。2、同解方程和方程的同解原理：（1）如果方程的解都是方程的解，并且方程的解也都是方程的解，那么这两个方程是同解方程。（2）方程同解的原理：方程两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程，即是同解方程（其中是一个整式）。方程同解的原理：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程，即是同解方程（其中是一个非零常数）。方程同解的原理：方程是同解方程。3、含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程无解；（3）当时，方程有无数个解。4、最简单的绝对值方程是：。当时，方程无解；当时，方程的解为；当时，方程有两个解。【典型例题】【例1】若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（ ）A B1 C- D0【思路分析】本题考查基本概念“方程的解”；因为x=-1是关于x的一元一次方程=1的解，所以把x=-1代入方程可得关于的一元一次方程。解出即可。【自主解答】【例2】若方程3x-5=4和方程的解相同，则a的值为多少？【思路分析】题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。【自主解答】【例3】是关于的一元一次方程，且有唯一解，则= 。【思路分析】是关于的一元一次方程，所以的系数为0，有唯一解，项系数不能为0，从而将的值算出来，再解一元一次方程即可。【自主解答】【例4】（含字母系数方程）解方程【思路分析】根据题意，ab0，所以方程两边可以同乘ab化为的的形式，再根据含字母系数方程的解的情况进行讨论。【自主解答】【例5】解下列方程 【思路分析】解含绝对值的方程，关键是把绝对值符号去掉，去掉绝对值的关键是绝对值符号里面的数或式的符号。所以要对绝对值里面的符号进行讨论。也可以类比时，a=3，把看成一个整体，使用整体思想去掉绝对值。【自主解答】【例6】小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 【思路分析】 “B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+ 【自主解答】练习：1、关于的方程的解是，则= 。2、已知关于x的方程6x+2a-1=5x和方程4x+2a=7x+1的解相同，求：（1）a的值；（2）代数式的值3、问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。4、解方程5、 解方程 6、 解方程 第五讲：列一元一次方程解应用题【知识要点】1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数（直接设和间接设），列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案2、常见题型归类：（1）和差倍分问题增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（2）等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr2h 长方体的体积 V长宽高abc（3）数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（4）市场经济问题商品利润商品售价商品成本价 商品利润率100%商品销售额商品销售价商品销售量（5）行程问题：路程速度时间 相遇问题：路程甲路程乙总路程 追及问题：路程甲路程乙甲乙之间的距离 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船的静水速度不变的特点考虑相等关系（6）工程问题：工作量工作效率工作时间合作的工作效率=各工作效率之和 完成某项任务的各工作量的和总工作量1（7）年龄问题其基本数量关系： 大小两个年龄差不会变。（8）调配问题。从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。【典型例题】【例1】一班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？【思路分析】题中的等量关系为：调整后第一组的人数为第二组的一半；如果设从第一组调到第二组的人数为，那么，调整后第一组的人数为，第二组的人数为。再根据调整后的人数的倍分关系列方程解之即可。【自主解答】【例2】将一个底面直径30厘米，高8厘米的圆锥形容器中倒满水，再将水倒入一只底面直径10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水面有多高？【思路分析】利用水倒入圆柱形空容器前后体积不变，利用长方体的体积V长宽高圆柱体的体积公式V=底面积高Shr2h，两个公式所算的体积相等列一元一次方程。【自主解答】【例3】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数，试求这个两位数。【思路分析】解决涉及两个数字的问题，关键是如何根据两个数字的关系，利用一个数字表示另一个数字，同时如何利用数位上的数字表示一个两位数是本题的考点之一。本题适用间接设法，如果设这个数的十位数字是，则个位数字是，这个两数就可以表示为，对调后组成的两位数，再根据两数之间的大小关系列出方程解之即得。【自主解答】【例4】一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折(标价的80%)出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元?【思路分析】本题利用直接设未知数法，设成本为元，则售价为元，再根据：商品利润商品售价商品成本价，列出方程解之。【自主解答】【例5】方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了12秒钟，求列车的速度。【思路分析】本题应注意的是，方方和列车是同时行进的，所得列车的长度是两者的路程这和，利用：路程甲路程乙总路程，本题要注意单位统一。【自主解答】【例6】当时针在2到3之间时，时针与分针在同一直线上的时间是多少？【思路分析】本题可行程问题，分针的速度是时针的12倍，时针与分针在同一直线上有两种情况，即指向同一处，或两处相差30小格。利用这个常识作为相等关系列方程。【自主解答】【例7】（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？【思路分析】用直接设求知数的方法，设轮船在静水中的速度为千米/时，根据顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度，用静水速度和水流速度表示顺水速度和逆水速度，再根据路程速度时间分别表示出往返路程，而这两个路程都是A，B两港之间距离。根据这一相等关系列出一元一次方程。【自主解答】【例8】某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？【思路分析】解决配套工程最主要抓住各种零配件可配套数相等为最优方案。【自主解答】【例9】叔叔对张强说：“我像你这样大的时候，你才刚上学（6岁）。”，张强对叔叔说：“当我像你那样大的时候，你就已经退休了（60岁）。”请问，叔叔和张强今年的年龄各是多少？【思路分析】年龄问题其基本数量关系： 大小两个年龄差不会变。设今年张强的年龄为，则知张强6岁时，叔叔的年龄为，所以叔叔与张强的年龄差为，叔叔今年的年龄为，当张强的年龄到时，叔叔应为60岁，年龄关可表示为，根据两个年龄差不会变可列方程。【自主解答】练习：1、一年级三个班为希望小学捐赠图书。（1）班捐了152册，（2）班捐书数是三个班级的平均数，（3）班捐书数是年级总数的40%，三个班共捐了多少册？2、将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中水面升高了多少cm？3、一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将三个数字的顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数。4、甲、乙、丙、丁四个数之和为25，且甲减去4、乙加上4、丙乘以4、丁除以4所得的四个数正好相等，则甲、乙、丙、丁各是多少？5、国庆期间，某商厦举行促销活动，定价为180元的某一品牌的皮鞋打七折销售，每双仍可获利50元，求这种皮鞋每双的进价为多少元？6、某人离家以每小时5千米的速度前往火车站，走了一半路程时发觉时间不对，若仍以原来的速度前进，将要误点1小时，因此需要加快速度，每小时多走1千米，结果提前半小时到达火车站，求该人家离火车站的距离。7、星期天，小慧约了小红替居委会打一份资料，小慧单独打需6小时完成，小红单独打需4小时完成，小慧、小红一起干，小红中途有事离开1小时，则打完这份资料需几小时？8、一台机器的检修工作，甲小组单独做7.5小时完成，乙小组单独做5小时完成，两个小组合做一小时，再由乙小组单独完成，共需几小时完成？第六讲：丰富的图形世界【知识要点】1认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2 立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。三视图中的数量关系（主侧视图高齐平，主俯视图长对正，俯侧视图宽相等）。（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）3、图片记忆（一）正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。 第四类，两排各三个，只有一种。【典型例题】【例1】在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C ）（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种【思路分析】对照正方体的侧面展开图。也可以从折叠还原正方体入手。【例2】一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ B ）A40 B.38 C.36 D. 34【思路分析】由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17 所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38【例3】将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ） A B C D【思路分析】从折叠还原正方体入手。【例4】下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ）ABCD 【思路分析】还原正方体，正确识别正方体的相对面。【例5】下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( A )A正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥【例6】如图的几何体，左视图是（ B）【例7】如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个俯视图左视图主视图几何体的小正方体的个数是 ( )A3 B4 C5 D6【思路分析】如例7的图。【例8】 把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，不同的颜色对应着不同的数字，各面上的颜色与它对应的数字情况列表如图（左），现将上述大小相同，颜色分布完全一样的四个立方体如图拼成一个水平放置的长方体如图（右），那么长方体的下底面数字和为 .【思路分析】每个面的颜色各不相同，四个立方体大小相同，颜色分布完全一样，所以每种颜色的对立面的颜色是确定的，上面为黄、紫、红、蓝，只要知道这四种颜色的对立面的颜色，再将它们所对应的数字加起来就可以了，从图上第2、3个可以看出紫、白不在红色的对面，第4个可以看出蓝、黄、不在红色的对面，所以红对绿，从第1个看出白色不在黄色的对面，所以黄色的对面只能是紫色，那么蓝色的对面就是白色了。所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫 数字和为：4+6+2+5=17练习：1、如图，图1是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开摊平在桌面上，可得到图2的图形，如果图2的纸片重新恢复成图1的纸盒，那么与点G重合的点是 。 2、一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图3所示，则在该正方体中，和“崇”字相对的面上写的汉字是 。3、如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则的值是 。4、韩老师特制了4个同样的立方体，并将它们如图5放置，然后又如图6放置，则图6中四个底面正方形中的点数之和为 。5、用4个棱长为1的正方体搭成一个几何模型，其主视图与左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）6、一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则主视图的面积为 。7、从如图所示的纸板上10个无阴影的正方形中选1个（将其余9个剪去），与图中5个有阴影的正方形折成一个正方体，不同的选法有几种。8、如图，将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各个面上染上红色，则（1）有三个面染有红色的小正方体的个数是 。（2）有两个面染有红色的小正方体的个数是 。（3）有一个面染有红色的小正方体的个数是 。（4）一个面都没有染有红色的小正方体的个数是 。 第8题 第9题9、如图，将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各个面上的某些小正方体染上黑色，而且上与下、左与右、前与后相对两个面上的涂色方式相同，这时，至少有一个面涂有黑色的小正方体的个数是（ ）A.18B.20C.22D.24第七讲：线段和角【知识要点】（一）知识结构图 （二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言： M是线段AB的中点 ，（三）与角平分线有关的问题角平分线定义：文字语言：若一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这射线叫这个角的平分线。图形语言：几何语言： OC是AOB的平分线 AOC=COB=AOB，2AOC=2COB=AOB【典型例题】【例1】由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ）（A）AP=AB （B）AB2PB （C）APPB （D）APPB=AB 【思路分析】可以用举反例的的方法排除一些选项。【自主解答】【例2】已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= _ MN。【思路分析】据题意画出图形设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x ，则【自主解答】【例3】如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ）A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b【思路分析】不妨设CN=ND=x，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b【自主解答】【例4】线段AB上有P、Q两点，AB=26，AP=14，PQ=11，那么BQ= 。【思路分析】由AB=26，AP=14，PQ=11，得AP+PQ=2526，AP=3，所以Q点可能在AP之间，也可能在PB之间。要对这两种情况进行分类讨论。【自主解答】【例5】如图A、O、B共线，OM、ON分别为 AOC 、 BOC的平分线，猜想 MON的度数，试证明你的结论猜想：90 证明：因为OM、ON分别为 AOC 、 BOC的平分线 所以MOC=AOC ，CON=COB因为MON=MOC+CON所以MON=AOC +COB=AOB=90【例6】如图，BO、CO分别平分ABC和ACB，（1）若A = 60，求O；（2）若A =100，O是多少？若A =120，O又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180）【思路分析】要求O，只要知道1+4的度数，就可以利用三角形的内角和等于180得到O的度数，因为A = 60根据三角形的内角和等于180，可以求出1+2+3+4的度数；根据角平分线的定义把2和3换成1和4就可以得到1和4的关系了。【自主解答】【例7】如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5【思路分析】根据补角的定义，图中有AOB为平角，直接观察即得。【自主解答】【例8】如图，已知AOB =90，BOC =30OM平分AOC，ON平分BOC。（1）求MON的度数。（2）若AOB=，其它条件不变，求MON的度数。（3）若BOC=（为锐角），其它条件不变，求MON的度数。（4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律吗？【思路分析】从有公共点的若干个角中求某个角的度数，关键在于弄清书籍角与所求角之间的和、差、倍、分的关系，可借助图形来理清这些关系。【自主解答】练习：1、如果点C在线段AB上,下列表达式AC=AB;AB=2BC;AC=BC;AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、如图，已知线段AB=2BC，DA=，M是AD的中点，N是AC的中点，试比较MN与AB+NB的大小关系。3、如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，E是线段AD的中点，CD=24cm，则CE的长为 。4、如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度和为23，求线段AC的长度。5、如图，O是直线AB上的一点，于O，OE平分，则图中彼此互补的角有 对。 第5题 第6题6、如图，OM平分AOB，ON平分COD，若MON=50，BOC=10则AOD= 。第八讲：相交线与平行线【知识要点】1、知识框架相交线两条直线相交两条直线被第三条直线所截邻补角、对顶角垂线及性质邻补角互补对顶角相等点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角平行线平行公理平移判定性质2、垂直是相交的特殊情况，与垂直有关的重要结论有两个。（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点的连结的所有线段中，垂线段最短。3、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。4、平行线的判断方法：（1）同一平面内的两条直线没有公共点，则两条直线平行。（2）两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行。（3）同位角相等，两直线平行。（4）内错角相等，两直线平行。（5）同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，有：（1）同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。（2）内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。（3）同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。【典型例题】【例1】下列说法正确的有( B ) 对顶角相等;相等的角是对顶角;若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【例2】如图，若ACBC于C，CDAB于D，则下列结论必定成立的是（ C ）A. CDAD B.ACBD D. CDBD【思路分析】考察垂线段的性质、基本图形“双垂直”图形【例3】如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？【思路分析】直接数对顶角、邻补角的对数比较困难。若分两步来计数，先对基本图形进行计数，再看复杂图形由几个基本图形组成，然后再计数就会简单很多。答案：6对，n(n-1)【例4】若平行线、与相交直线和相交成如图所示的图形。则一共可得多少对同旁内角？【思路分析】每一个“三线八角”基本图形中都有两对同旁内角，解本题的关键是对原来题中图形进行分解。【自主解答】【例5】如图,ABEFCD,EGBD,则图中与1相等的角(1除外)共有( C )A.6个 B.5个 C.4个 D.3个【思路分析】根据平行线的性质，及等量代换。【自主解答】【例6】如图，已知，求证：。【思路分析】解答此题看是无从入手，但只要添加辅助线，本题的证明就很容易了，但辅助线的添加方法不同，证明方法也有所不同，你能根据所作辅助线的不同得不同写出它们的证明方法吗？证法1：证法2：证法3：证法4：证法5：证法6：证法7：练习：1、如图,已知ABCD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72,则2=_.2、 如图所示,L1,L2,L3交于点O,1=2,3:1=8:1,求4的度数.( 方程思想)答案：363、 如图所示,已知ABCD,分别探索下列三个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明. （1） （2） （3） （4）4、如图，若AB/EF，C= 90，求度数。5、已知：如图， 求证：第九讲：平面直角坐标系【知识要点】1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号。横坐标符号纵坐标符号第一象限+第二象限+第三象限第四象限+（2）坐标轴上的点的坐标： 轴上的点的坐标为,即纵坐标为0；轴上的点的坐标为，即横坐标为0。2、平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于轴的直线上的点的横坐标相同。3、在一、三象限的角平分线上的点可表示为，在二、四象限的角平分线上的点可表示为。4、具有特殊位置的点的坐标特征设、两点关于轴对称，且;、两点关于轴对称，且;、两点关于原点轴对称，且。5、距离（1）点A到轴的距离：点A到轴的距离为|；点A到轴的距离为|；（2）同一坐标轴上两点之间的距离：A、B，则；A、B，则；6、点的平移：左右平移变动点的横坐标，即左减右加，上下平移变动点的纵坐标，即上加下减。【典型例题】【例1】已知点M的坐标为（x，y），如果xy0 , 则点M的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限【思路分析】由xyc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到： acb，bac，cba即有：三角形的两边之差小于第三边2、三角形的高、中线、角平分线。三角形的重要线段意义图形用法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。AD是ABC的BC上的高线.ADBC于D.ADB=ADC=90.三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。AE是ABC的BC上的中线.BE=E