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三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设中，L、M、N分别是BC、CA、AB的中点. 求证：AL、BM、CN相交于一点G，且图1AGGL= BGGM= CGGN=21. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点. 现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD 。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BGDC，即GMDC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点. 另一方面，GCBD，即NGBD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点. 另外，G是AD的中点，因此AGGL=21.同理可证：BGGM=21， CGGN=21.这个点G被叫做的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在中，设AB边上的中图2线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，所以向量，所以，存在实数 ，使得，即 所以， = 同理，因为C、G、N三点共线，且N是AB的中点. 所以存在实数，使得 = 所以 = 又因为 、 不共线，所以 所以 ，所以 . 因为L是BC的中点，所以 = =，即，所以A、G、L三点共线.故AL、BM、CN相交于一点G，且AGGL= BGGM= CGGN=21M证明3（向量法）（如图3）在中，BC的中点L对应于，中线AL上的任意一点G，有 .同理，AB的中线CN上的任意点G，求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使.因此，我们令，.解之得.所以.由对称性可知，第三条中线也经过点G . 故
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