高中数学 第一章 集合与函数 1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值课件 湘教版必修1.ppt

第1章 集合与函数 1 2函数的概念和性质1 2 7二次函数的图象和性质 增减性和最值 学习目标 1 了解二次函数的定义 2 掌握二次函数的图象及增减性和最值 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 函数y x2 2x 3的对称轴为 该函数的递增区间为 递减区间为 2 函数y x2的最小值为 x 1 1 1 0 预习导引 二次函数f x ax2 bx c a 0 x r 当a 0 a 0 时 在区间 上递减 递增 在 上递增 递减 图象曲线开口向 在x 处取到最小 大 值f 这里 b2 4ac 点 叫作二次函数图象的顶点 上 下 要点一求二次函数的解析式例1已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数解析式 解方法一利用二次函数一般式 设f x ax2 bx c a 0 由 得b a 则2a c 1 即c 2a 1 代入 整理得a2 4a 解得a 4 或a 0 舍去 b 4 c 7 因此所求二次函数解析式为y 4x2 4x 7 方法二利用二次函数顶点式 设f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 又根据题意函数有最大值为n 8 解之得a 4 方法三利用两根式 由已知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值8 解之得a 4 所求函数解析式为f x 4x2 4x 7 规律方法用待定系数法求二次函数的解析式时 解析式的设法有三种形式 即f x ax2 bx c 一般式 f x a x x1 x x2 两根式 f x a x m 2 n 顶点式 跟踪演练1已知f x 为二次函数 且f x 1 f x 1 2x2 4x 求f x 的解析式 解设f x ax2 bx c a 0 则f x 1 a x 1 2 b x 1 c f x 1 a x 1 2 b x 1 c 又f x 1 f x 1 2x2 4x 2ax2 2bx 2a 2c 2x2 4x f x x2 2x 1 要点二二次函数的增减性例2f x 4x2 mx 5在区间 2 上是递增函数 求m的取值范围 又函数在区间 2 上是递增函数 故m的取值范围是 m m 16 跟踪演练2已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值和最小值 解当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 1 5 5 当x 1时 f x min 1 当x 5时 f x max 37 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 5 5 上是单调函数 解f x x a 2 2 a2 其顶点横坐标为x a f x 在区间 5 5 上是单调函数 a 5或 a 5 故a的取值范围是a 5或a 5 要点三求二次函数的值域或最值例3求函数y x2 2ax 1在 0 2 上的值域 解 当a 0时 ymin f 0 1 ymax f 2 4 4a 1 3 4a 所以函数的值域为 1 3 4a 当0 a 1时 ymin f a a2 1 ymax f 2 3 4a 所以函数的值域为 a2 1 3 4a 当1 a 2时 ymin f a a2 1 ymax f 0 1 所以函数的值域为 a2 1 1 当a 2时 ymin f 2 3 4a ymax f 0 1 所以函数的值域为 3 4a 1 规律方法在求二次函数的最值时 要注意定义域是r还是区间 m n 若是区间 m n 最大 小 值不一定在顶点取得 而应该看顶点横坐标是在区间 m n 内还是在区间的左边或右边 在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解 最值不在顶点上取得 而在区间的端点上取得 跟踪演练3已知二次函数f x x2 2x 2 1 当x 0 4 时 求f x 的最值 解f x x2 2x 2 x 1 2 1 其图象顶点横坐标为x 1 开口向上 当x 0 4 时 f x max f 4 42 2 4 2 10 f x min f 1 1 2 当x 2 3 时 求f x 的最值 解 f x 的顶点横坐标为x 1 开口向上 f x 在 2 3 上为增函数 f x min f 2 22 2 2 2 2 f x max f 3 32 2 3 2 5 3 当x t t 1 时 求f x 的最小值g t 1 2 3 4 1 若f x m 1 x2 m 1 x 1是二次函数 则 a m为任意实数b m 1c m 1d m 1且m 1解析由m 1 0 得m 1 故选b b 1 2 3 4 2 函数f x x2 3x 2在区间 5 5 上的最大 最小值分别为 1 2 3 4 答案d 1 2 3 4 3 函数f x 2x2 3 x 的单调递减区间是 1 2 3 4 4 已知函数f x 2x2 mx 3 当x 1 时是递减函数 则m的取值范围是 4 课堂小结二次函数在某区间上的最值 或值域 的求法要掌握熟练 特别是含参数的两类 定轴动区间 定区间动轴 解法是 抓住 三点一轴 数形结合 三点指定的是区间两个端点和区间中点 一轴指的是对称轴 具体做法是 首先要采用配方法 化为y a x m