高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人教版必修4.ppt

1 2 2同角三角函数的基本关系 自主预习 主题 同角三角函数的基本关系1 写出下列各角的三角函数值 观察它们的值 猜想它们之间的联系 提示 下列角的三角函数值为 由表可看出 sin230 cos230 1 sin245 cos245 1 sin260 cos260 1 2 从以上的过程中 你能发现什么一般规律 你能否用代数式表示这些规律 用文字语言描述 同一角的正弦 余弦的平方和等于1 商等于角 的正切 同角三角函数的基本关系 1 平方关系 2 商数关系 k k z sin2 cos2 1 深度思考 结合教材p19例6你认为如何根据某一角的某一三角函数值 求该角的另外的三角函数值 第一步 第二步 确定该角的象限 列方程由sin2 cos2 1 tan 建立方程或方程组求解 预习小测 1 sin22015 cos22015 a 0b 1c 2015 d 2015 解析 选b 因为sin2 cos2 1 所以sin22015 cos22015 1 2 已知sin 且 是第二象限角 则tan 解析 选c 由sin 是第二象限角 所以cos 所以tan 3 如果角 满足sin cos 那么tan 的值是 解析 sin cos 则sin cos 又tan 故tan 2 答案 2 4 化简的结果是 解析 因为故cos 0 所以答案 5 已知则 解析 答案 备选训练 已知tan 求sin cos 的值 仿照教材p19例6的解析过程 解析 因为tan 所以即cos 3sin 因为sin2 cos2 1 所以sin2 3sin 2 1 所以sin2 又tan 0 所以 是第一或第三象限角 当 是第一象限角时 sin cos 3sin 当 是第三象限角时 sin cos 3sin 互动探究 1 同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么 提示 对于平方关系只需同角即可 对于商的关系第一保证是同角 第二保证 k k z 2 当角 的终边与坐标轴重合时 sin2 cos2 1也成立吗 提示 成立 在使函数有意义的前提下 对任意角 sin2 cos2 1都成立 探究总结 知识归纳 方法总结 1 由sin 或cos 求tan 的方法由平方关系求cos 或sin 再由商数关系求tan 2 由tan 求sin 或cos 的方法由商数关系将sin 用cos 表示 再代入平方关系 求出cos 及sin 注意事项 1 关系式中的角一定是同角 否则公式不成立 2 同角不要拘泥于形式可将 换成或2 等 3 注意公式中的隐含条件 题型探究 类型一 利用同角三角函数的基本关系求值 典例1 1 2016 杭州高一检测 若cos 且 则tan 2 2016 汕头高一检测 若cos 2sin 则tan 解题指南 1 由cos 根据sin2 cos2 1 求出sin 从而得tan 2 将等式两边平方 再将分母1换为sin2 cos2 转化为关于tan 的方程求解 解析 1 由cos 所以sin 所以tan 答案 2 将cos 2sin 两边平方得 cos2 4sin cos 4sin2 5 即 5 分子 分母同除以cos2 得 5 所以tan2 4tan 4 0 解得tan 2 答案 2 延伸探究 1 若题 2 条件不变 求的值 解析 将cos 2sin 两边平方得 cos2 4sin cos 4sin2 5 即 5 分子 分母同除以cos2 得 5 所以tan2 4tan 4 0 解得tan 2 2 若题 2 中条件 cos 2sin 改为 sin cos 其他条件不变 则tan 解析 由sin cos 即所以所以tan2 4tan 1 0 解得tan 答案 2 规律总结 三角函数求值的常见类型及常用方法 1 已知正切值求正弦 余弦值可利用方程组 求解 2 已知正弦值或余弦值 求其他值 可先由sin2 cos2 1求出余弦值或正弦值 再利用求正切值 3 形如或的求值 将分子分母同除以cos 或cos2 化成关于tan 的式子 从而达到求值的目的 4 形如asin2 bsin cos ccos2 的求值 可看成分母是1 利用1 sin2 cos2 进行代替后分子分母同时除以cos2 得到关于tan 的式子 从而可以求值 补偿训练 已知sin 并且 是第二象限角 求cos 和tan 解析 因为sin 且 是第二象限角 所以所以 类型二 利用同角三角函数的基本关系化简三角函数式 典例2 1 化简 sin2 sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 2 化简 解题指南 1 通过提公因式 借助于sin2 cos2 1化简 2 将 1 化为sin210 cos210 求解 解析 1 原式 sin2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 1 答案 1 2 原式 规律总结 利用同角三角函数的基本关系化简的标准及注意事项 1 化简的标准 尽量使函数种类最少 次数最低 而且尽量化成积的形式 能求出值的要求出值 带根号的三角函数式尽量开出 尽量使分母不含三角函数 2 注意事项 在化简三角函数时 应注意 1 的代换 如sin2 cos2 1 对于函数种类较多的式子 化简时 常用 切化弦 法 巩固训练 1 若角 是第二象限角 化简 解析 原式 因为 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 所以原式 2 化简 解析 原式 类型三 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 典例3 求证 解题指南 对左边通分 向右化简 注意 1 的代换 证明 规律总结 证明简单三角恒等式的思路及常用技巧 1 思路 从一边开始 证明它等于另一边 遵循由繁到简的原则 证明左右两边等于同一个式子