高中数学 第一章立体几何初步 平行关系、垂直关系及简单几何体的几何度量课件 北师大版必修2.ppt

习题课 平行关系 垂直关系及简单几何体的几何度量 1 重要关系的转化 1 平行关系的转化 2 垂直关系的转化 2 简单几何体的几何度量 1 棱锥 棱台 棱柱的侧面积公式间的联系 2 柱 锥 台体体积公式之间的关系 3 常用结论 1 平行平面的传递性 若 则 2 若两条直线与三个平行平面分别相交 则直线被平行平面截得的线段对应成比例 3 如果两条平行线有一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 4 若一个四面体各个面的面积分别记为s1 s2 s3 s4 且每个面作为底面时对应的四面体的高分别记为h1 h2 h3 h4 则有s1h1 s2h2 s3h3 s4h4成立 这一结论能有效地解决立体几何中的点到平面的距离问题 做一做1已知直线m n和平面 则能得出 的一个条件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 答案 c 做一做2三棱锥s abc的所有顶点都在球o的表面上 sa 平面abc ab bc 又sa ab bc 1 则球o的表面积为 c 3 d 12 做一做3设 是两个不同的平面 l是一条直线 给出下列说法 若l 则l 若l 则l 若l 则l 若l 则l 其中说法正确的个数为 a 1b 2c 3d 0 解析 对于 若l 则l 或l 故 错误 对于 若l 则l 或l 故 错误 对于 若l 则l 故 正确 对于 若l 则l 或l 或l 或l与 斜交 故 错误 答案 a 做一做5 已知正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的对角线的交点 求证 1 c1o 平面ab1d1 2 a1c 平面ab1d1 证明 1 连接a1c1 设a1c1 b1d1 o1 连接ao1 abcd a1b1c1d1是正方体 四边形a1acc1是平行四边形 a1c1 ac 且a1c1 ac 又o1 o分别是a1c1 ac的中点 o1c1 ao 且o1c1 ao aoc1o1是平行四边形 c1o ao1 又ao1 平面ab1d1 c1o 平面ab1d1 c1o 平面ab1d1 2 cc1 平面a1b1c1d1 cc1 b1d1 又a1c1 b1d1 cc1 a1c1 c1 b1d1 平面a1c1c a1c b1d1 同理可证a1c ab1 又d1b1 ab1 b1 a1c 平面ab1d1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一简单几何体的面积 体积问题 例1 1 正三棱锥的高和底面边长都等于6 则其外接球的表面积为 a 64 b 32 c 16 d 8 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练1一个几何体的三视图如图所示 其左视图是一个等边三角形 则这个几何体的体积是 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究二立体几何中平行 垂直关系的综合证明 例2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 如图所示 三棱柱abc a1b1c1中 侧棱a1a 底面abc 且各棱长均相等 d e f分别为棱ab bc a1c1的中点 求证 1 直线ef 平面a1cd 2 平面a1cd 平面a1abb1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 证明 1 在三棱柱abc a1b1c1中 ac a1c1 且ac a1c1 连接de 在 abc中 因为d e分别为ab bc的中点 所以de ac 且de ac 又f为a1c1的中点 所以a1f de 且a1f de 所以四边形a1def为平行四边形 所以ef da1 又ef 平面a1cd da1 平面a1cd 所以ef 平面a1cd 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 由于底面abc是正三角形 d为ab的中点 故cd ab 因为侧棱a1a 底面abc cd 平面abc 所以aa1 cd 又aa1 ab a 所以cd 平面a1abb1 而cd 平面a1cd 所以平面a1cd 平面a1abb1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f p q m n分别是棱ab ad dd1 bb1 a1b1 a1d1的中点 求证 1 直线bc1 平面efpq 2 直线ac1 平面pqmn 分析 借助三角形中位线的性质 线面平行的判定及线面垂直的判定和性质证明 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 证明 1 连接ad1 由abcd a1b1c1d1是正方体 知ad1 bc1 因为f p分别是ad dd1的中点 所以fp ad1 从而bc1 fp 而fp 平面efpq 且bc1 平面efpq 故直线bc1 平面efpq 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 如图 连接ac bd 则ac bd 由cc1 平面abcd bd 平面abcd 可得cc1 bd 又ac cc1 c 所以bd 平面acc1 而ac1 平面acc1 所以bd ac1 因为m n分别是a1b1 a1d1的中点 所以mn bd 从而mn ac1 同理可证pn ac1 又pn mn n 所以直线ac1 平面pqmn 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究三立体几何证明中的距离问题 例3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 如图 三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直 pd pc 4 ab 6 bc 3 1 证明 bc 平面pda 2 证明 bc pd 3 求点c到平面pda的距离 1 证明 因为四边形abcd是长方形 所以bc ad 因为bc 平面pda ad 平面pda 所以bc 平面pda 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 证明 因为四边形abcd是长方形 所以bc cd 因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd cd bc 平面abcd 所以bc 平面pdc 因为pd 平面pdc 所以bc pd 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 3 解 取cd的中点e 连接ae和pe 因为pd pc 所以pe cd 因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd cd pe 平面pdc 所以pe 平面abcd 由 2 知bc 平面pdc 由 1 知bc ad 所以ad 平面pdc 因为pd 平面pdc 所以ad pd 设点c到平面pda的距离为h 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 如图所示 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 求证be 平面bb1c1c 2 求点b1到平面ea1c1的距离 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究四立体几何证明中的体积问题 例4 如图 三棱锥p abc中 平面pac 平面abc abc 点d e在线段ac上 且ad de ec 2 pd pc 4 点f在线段ab上 且ef bc 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 ab 平面pfe 2 若四棱锥p dfbc的体积为7 求线段bc的长 1 证明 由de ec pd pc知 e为等腰 pdc中dc边的中点 故pe ac 又平面pac 平面abc 平面pac 平面abc ac pe 平面pac pe ac 所以pe 平面abc 从而pe ab 因为 abc ef bc 所以ab ef 从而ab与平面pfe内两条相交直线pe ef都垂直 所以ab 平面pfe 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 如图所示 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为dd1 db的中点 1 求证ef 平面abc1d1 2 求证 cf b1e 3 求三棱锥b1 efc的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 分析 1 利用线面平行的判定定理 2 利用线面垂直的性质推出线线垂直 3 利用等体积转化法求体积 1 证明 连接bd1 在 dd1b中 因为e f分别为d1d db的中点 所以ef为 dbd1的中位线 所以ef d1b 而d1b 平面abc1d1 ef 平面abc1d1 所以ef 平面abc1d1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究五立体几何证明中的折叠问题 例5 如图 在梯形abcd中 ab cd e f是线段ab上的两点 且de ab cf ab ab 12 ad 5 bc 4 de 4 现将 ade cfb分别沿de cf折起 使a b两点重合于点g 得到多面体cdefg 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 求证 平面deg 平面cfg 2 求多面体cdefg的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练5如图 1 在平面四边形abcd中 a 90 b 135 c 60 ab ad m n分别是边ad cd上的点 且2am md 2cn nd 如图 1 将 abd沿对角线bd折起 使得平面abd 平面bcd 并连接ac mn 如图 2 1 证明 mn 平面abc 2 证明 ad bc 3 若bc 1 求三棱锥a bcd的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 在 acd中 2am md 2cn nd mn ac 又mn 平面abc ac 平面abc mn 平面abc 2 证明 在 abd中 ab ad a 90 abd 45 在平面四边形abcd中 abc 135 bc bd 又平面abd 平面bcd 且bc 平面bcd 平面abd 平面bcd bd bc 平面abd 又ad 平面abd ad bc 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究六立体几何证明中的探究问题 例6 在如图所示的多面体中 四边形abb1a1和acc1a1都为矩形 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 若ac bc 证明 直线bc 平面acc1a1 2 设d e分别是线段bc cc1的中点 在线段ab上是否存在一点m 使直线de 平面a1mc 请证明你的结论 分析 1 先利用线面垂直的判定定理证明aa1 平面abc 再证明直线bc 平面acc1a1 2 由于d e分别是线段bc cc1的中点 易猜想m应为线段ab的中点 只要在平面a1mc内找到一条与de平行的直线即可 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形 所以aa1 ab aa1 ac 因为ab ac为平面abc内两条相交的直线 所以aa1 平面abc 因为直线bc 平面abc 所以aa1 bc 又由已知 ac bc aa1 ac为平面acc1a1内两条相交的直线 所以bc 平面acc1a1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 解 取线段ab的中点m 连接a1m mc a1c ac1 设o为a1c ac1的交点 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练6如图所示 已知四边形abcd是正方形 ea 平面abcd pd ea ad pd 2ea 2 f g h分别为bp be pc的中点 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 求证fg 平面pde 2 求证平面fgh 平面aeb 3 在线段pc上是否存在一点m 使pb 平面efm 若存在 求出线段pm的长 若不存在 请说明理由 1 证明 f g分别为pb be的中点 fg pe 又 fg 平面ped pe 平面ped fg 平面ped 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 证明 ea 平面abcd ea cb 又 cb ab ab ae a cb 平面abe 又f h分别为pb pc的中点 fh bc fh 平面abe 又fh 平面fgh 平面fgh 平面abe 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 12345 1 平面 平面 直线a 下列四个命题 与 内的所有直线平行 与 内的无数条直线平行 a与 内的任何一条直线