高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教版必修4.ppt

第二章平面向量2 1平面向量的实际背景及基本概念 知识提炼 1 向量既有 又有 的量 2 有向线段带有 的线段 它包含三个要素 方向 长度 大小 方向 方向 起点 3 向量的表示法 1 几何表示 用 表示 此时有向线段的方向就是向量的方向 向量的大小就是向量的 或称模 记作 2 字母表示 通常在印刷时 用黑体小写字母a b c 表示向量 书写时 可写成带箭头的小写字母 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示 如以a为起点 以b为终点的向量记为 有向线段 长度 4 几种特殊的向量 1 零向量 长度为 的向量 记作 2 单位向量 长度等于 的向量叫做单位向量 3 相等向量 长度 且方向 的向量 4 平行向量 方向 的非零向量 如果向量a和b平行 记作 规定零向量与任意向量 0 0 1 相等 相同 相同或相反 a b 平行 即时小测 1 思考下列问题 1 向量与向量是相等向量吗 提示 不是 向量与向量的方向相反不是相等向量 2 两个向量平行时 表示向量的有向线段所在的直线一定平行吗 提示 不一定 两个向量平行时 表示向量的有向线段所在的直线平行或重合 2 有下列物理量 质量 温度 角度 弹力 风速 其中可以看成是向量的个数 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 因为质量 温度 角度只有大小 没有方向 所以他们不是向量 而弹力 风速既有大小 又有方向 所以它们可以看成向量 3 已知向量a如图所示 下列说法不正确的是 a 也可以用表示b 方向是由m指向nc 始点是md 终点是m 解析 选d 终点是n而不是m 4 如图 以1cm 3cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中 则以a为始点 可以写出 个不同的向量 解析 由图可知 以a为始点的向量有共有7个 答案 7 知识探究 知识点1向量的物理背景及概念观察图形 回答下列问题 问题1 上面图中的两种力有何特点 你还能举出物理学中力的一些实例吗 问题2 这样的量与数量有怎样的区别 与有向线段有何区别 总结提升 1 理解向量概念应关注的三点 1 本书所学向量是自由向量 即只有大小和方向 而无特定的位置 这样的向量可以作任意平移 2 判断一个向量是否为向量 就要看它是否具备了大小和方向两个因素 3 向量与向量之间不能比较大小 2 向量与有向线段的区别 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 这两个向量就是相等的向量 2 有向线段是表示向量的工具 它有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是不同的有向线段 拓展延伸 向量与数量的区别和联系 知识点2向量与向量的关系观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 两个向量的长度相等 这两个向量就是相等向量吗 与已知向量相等的向量是唯一的吗 问题2 平行向量与共线向量的含义一样吗 总结提升 1 对平行向量 相等向量概念的理解 1 平行向量是指方向相同或相反的非零向量 规定零向量与任意向量平行 即对任意的向量a 都有0 a 这里注意概念中提到的 非零向量 2 对于任意两个相等的非零向量 都可以用同一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 在平面上 两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量 因为向量完全由它的方向和模确定的 3 相等向量是平行 共线 向量 但平行 共线 向量不一定是相等向量 2 平行向量与共线向量的含义 1 平行向量与共线向量是同一概念的不同名称 根据定义可知 平行 共线 所在的直线可以平行 也可以重合 2 共线向量所在的直线可以平行 与平面几何中的 共线 含义不同 3 平行向量可以在同一条直线上 与平面几何中 直线平行 不同 平面中两直线平行是指两直线没有公共点 题型探究 类型一向量的概念 零向量 单位向量 典例 1 下列各量中是向量的是 a 时间b 加速度c 面积d 长度 2 给出下列说法 零向量是没有方向的 零向量的长度为0 零向量的方向是任意的 单位向量的模都相等 由于0方向不确定 故0不能与任一向量平行 其中正确的是 填上序号 解题探究 1 向量的特征是什么 提示 既有大小又有方向 2 零向量和单位向量的特征是什么 零向量的方向是怎么规定的 提示 零向量的长度为0 单位向量的长度为1 零向量的方向是任意的 解析 1 选b 加速度是既有大小又有方向的量 是向量 而时间 面积 长度是只有大小的量 是数量 2 由零向量的方向是任意的 知 错误 正确 由零向量的定义知 正确 由单位向量的模1 知 正确 依据规定 0与任一向量平行 错误 答案 方法技巧 1 判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否具备向量的两要素 1 有大小 2 有方向 两个条件缺一不可 2 理解零向量和单位向量应注意的问题 1 零向量的方向是任意的 所有的零向量都相等 2 单位向量不一定相等 易忽略向量的方向 变式训练 2015 邢台高一模拟 汽车以100km h的速度向东行驶2h 而摩托车以50km h的速度向南行驶2h 则关于下列说法 汽车的速度大于摩托车的速度 汽车的位移大于摩托车的位移 汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程 其中正确的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 选b 向量不能比较大小 速度 位移是向量 数量可以比较大小 所以只有 正确 类型二相等向量与共线向量 典例 1 给出下列说法 若向量a与b同向 且 a b 则a b 若 a b 则a与b的长度相等且方向相同或相反 若a b 则a b 若a b 则a与b不是共线向量 向量a与b不共线 则a与b都是非零向量 其中错误的说法是 2 如图所示 o是正六边形abcdef的中心 且 1 与a的长度相等 方向相反的向量有哪些 2 与a共线的向量有哪些 3 请一一列出与a b c相等的向量 解题探究 1 两个向量能否比较大小 相等向量与共线向量有怎样的关系 提示 两个向量不能比较大小 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定是相等向量 2 典例2中的正六边形的对边有哪些性质 表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系 提示 正六边形的对边平行且相等 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合 解析 1 不正确 因为向量由两个因素来确定 即大小和方向 所以两个向量不能比较大小 不正确 由 a b 只能判断两向量长度相等 不能确定它们方向的关系 不正确 a b 则向量a与b方向不一定相同 模也不一定相等 无法得到a b 不正确 若a b则a与b模可能不相等但方向可能相同 所以有可能是共线向量 正确 若向量a与b有一个为零向量 则a与b一定共线 所以a与b不共线时 一定有a与b都是非零向量 答案 2 1 与a的长度相等 方向相反的向量有 2 与a共线的向量有 3 与a相等的向量有 与b相等的向量有 与c相等的向量有 延伸探究 1 改变问法 本例2中条件不变 试写出与向量相等的向量 解析 与向量相等的向量有 2 变换条件 本例2中 若 a 1 则正六边形的边长如何 解析 由正六边形性质知 foa为等边三角形 所以边长af a 1 方法技巧 相等向量与共线向量的探求方法 1 寻找相等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量 再确定哪些是同向共线 2 寻找共线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段 再构造同向与反向的向量 注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点 起点为终点的向量 补偿训练 1 在下列说法中 正确的是 a 两个有公共起点且共线的向量 其终点必相同b 模为0的向量与任一非零向量平行c 向量就是有向线段d 两个有公共终点的向量一定是共线向量 解析 选b 在选项a中 因为向量的方向和长度未知 所以向量的终点也未必相同 在选项c中 向量与有向线段是两个不同的概念 在选项d中 这两个向量的起点没有确定 故无法判断它们是否共线 2 如图所示 四边形abcd和abde都是平行四边形 1 写出与向量相等的向量 2 写出与向量共线的向量 解析 1 与向量相等的向量有 2 与向量共线的向量 类型三向量的几何表示及应用 典例 1 如图所示 已知ad 3 b c是线段ad的两个三等分点 分别以图中各点为起点和终点 长度大于1的向量的个数为 a 3b 4c 5d 6 2 2015 渭南高一检测 一辆汽车从a点出发向西行驶了100千米到达b点 然后又改变方向向西偏北50 走了200千米到达c点 最后又改变方向 向东行驶了100千米到达d点 1 作出向量 2 求 解题探究 1 典例1中长度大于1的向量的模应为多少 提示 长度大于1的向量的模为2或3 2 典例2中画平面向量的关键是什么 与相等的向量是哪个向量 提示 画平面向量的关键确定平面向量的起点和终点 与相等的向量是 解析 1 选d 根据题意可得 模等于2的向量有模等于3的向量有 故图中长度大于1的向量共有6个 2 1 如图所示 2 由题意 易知与方向相反 故与共线即又所以四边形abcd为平行四边形 所以 200 千米 方法技巧 用有向线段表示向量的方法 1 用有向线段表示向量时 先确定起点 再确定方向 最后依据向量模的大小确定向量的终点 2 必要时 需依据直角三角形知识求出向量的方向 即夹角 或长度 即模 选择合适的比例关系作出向量 变式训练 在下图所示的坐标纸上 用直尺和圆规画出下列向量 每个小方格边长为1 1 使 点a在点o东偏北45 2 使 4 点b在点a正东方向 3 使 7 点c在点b正北方向 解析 1 由于点a在点o东偏北45 所以在坐标纸上点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数相等 又 小方格边长为1 所以点a距o点的横向小方格数与纵向小方格数都为4 于是点a的位置可以确定 画出oa如图所示 2 由于点b在点a正东方向处 且 4 所以在坐标纸上点b距点a的横向小方格数为4 纵向小方格数为0 于是点b的位置可以确定 画出ab如图所示 3 由于点c在点b正北方向 且 7 所以在坐标纸上点c距点b的纵向小方格数为7 横向小方格数为0 于是点c的位置可以确定 画出如图所示 补偿训练 飞机从a地按北偏西15 的方向飞行1400km到达b地 再从b地按东偏南15 的方向飞行1400km到达c地 那么c地在a地什么方向 c地距a地多远 解析 如图所示 表示飞机从a地按北偏西15 方向飞行到b地的位移 则 1400km 表示飞机从b地按东偏南15 方向飞行到c地的位移 则 1400km abc 60 又 所以 abc为正三角形 所以 1400km acb 60 则 aco 45 所以 oac 45 故c在a地北偏东45 方向 c地距a地1400km 易错案例向量有关概念的应用 典例 2015 韶关高一检测 给出下列说法 若a b 则a与b的方向相同或相反 若a b b c 则a c 若两个单位向量互相平行 则这两个单位向量相等 若a b b c 则a c 其中正确的是 填上序号 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是忽视了特殊向量零向量在判断