高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件 理.ppt

第三节等比数列及其前n项和 知识梳理 1 等比数列的有关概念 1 定义 文字语言 从 起 每一项与它的前一项的 都等于 一个常数 符号语言 n n q为非零常数 第2项 比 同 2 等比中项 如果a g b成等比数列 那么 叫做a与b的等比中项 即 g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 g2 g ab 2 等比数列的有关公式 1 通项公式 an 2 前n项和公式 sn a1qn 1 na1 3 等比数列的性质 1 通项公式的推广 an am qn m m n n 2 对任意的正整数m n p q 若m n p q 则 特别地 若m n 2p 则 am an ap aq am an ap2 3 若等比数列前n项和为sn 则sm s2m sm s3m s2m仍成等比数列 即 s2m sm 2 m n 公比q 1 4 数列 an 是等比数列 则数列 pan p 0 p是常数 也是 数列 sm s3m s2m 等比 5 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为 qk 特别提醒 1 等比数列的概念的理解 1 等比数列中各项及公比都不能为零 2 由an 1 qan q 0 并不能断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 3 等比数列中奇数项的符号相同 偶数项的符号相同 2 等比数列 an 的单调性 1 满足或时 an 是递增数列 2 满足或时 an 是递减数列 3 当时 an 为常数列 4 当q 0时 an 为摆动数列 小题快练 链接教材练一练1 必修5p54习题2 4a组t8改编 在3与192中间插入两个数 使它们同这两个数成等比数列 则这两个数为 解析 设该数列的公比为q 由题意知 192 3 q3 q3 64 所以q 4 所以插入的两个数分别为3 4 12 12 4 48 答案 12 48 2 必修5p62习题2 5b组t2改编 设等比数列 an 的前n项和为sn 若则 解析 s3 s6 s3 s9 s6成等比数列 则 s6 s3 2 s3 s9 s6 由知s6 s3 则 s3 s9 s6 所以s9 s3 所以答案 感悟考题试一试3 2016 开封模拟 已知 an 为正项等比数列 sn是它的前n项和 若a1 16 且a4与a7的等差中项为 则s5的值为 a 29b 31c 33d 35 解析 选b 由题可得a4 a7 2 即a1q3 a1q6 解得q 由于数列是正项等比数列 负值舍去 故s5 4 2015 安徽高考 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 解析 a1 1 q 2 所以sn 2n 1 答案 2n 1 5 2014 广东高考 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 解析 方法一 各项均为正数的等比数列 an 中a10a11 a9a12 a1a20 则a1a20 e5 lna1 lna2 lna20 ln a1a20 10 lne50 50 方法二 各项均为正数的等比数列 an 中a10a11 a9a12 a1a20 则a1a20 e5 设lna1 lna2 lna20 s 则lna20 lna19 lna1 s 2s 20ln a1a20 100 s 50 答案 50 考向一等比数列的性质及基本量的计算 典例1 1 2015 全国卷 等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7 a 21b 42c 63d 84 本题源自a版必修5p51例3 2 2016 石家庄模拟 设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 则an 解题导引 1 根据a3 a5 a7与a1 a3 a5的联系求解 2 将已知条件转化为a2的方程组 求得a2 再利用s3 7求得公比q 进而求解 规范解答 1 选b 设等比数列的公比为q 则a1 a1q2 a1q4 21 又因为a1 3 所以q4 q2 6 0 解得q2 2 a3 a5 a7 a1 a3 a5 q2 42 2 由已知得 解得a2 2 设数列 an 的公比为q 由a2 2 可得a1 a3 2q 又s3 7 可知 2 2q 7 即2q2 5q 2 0 解得q1 2 q2 由题意得q 1 所以q 2 所以a1 1 故数列 an 的通项为an 2n 1 答案 2n 1 规律方法 等比数列运算的思想方法 1 方程思想 设出首项a1和公比q 然后将通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 整体思想 当所给条件只有一个时 可将已知和所求结果都用a1 q表示 寻求两者联系 整体代换即可求 3 利用性质 运用等比数列性质 可以化繁为简 优化解题过程 易错提醒 在使用等比数列的前n项和公式时 如果不确定q与1的关系 一般要用分类讨论的思想 分q 1和q 1两种情况 变式训练 2016 芜湖模拟 在等比数列 an 中 a3 7 前3项和s3 21 则公比q的值为 a 1b c 1或 d 1或 解析 选c 根据已知条件得 得整理得2q2 q 1 0 解得q 1或q 加固训练 1 已知x y z r 若 1 x y z 3成等比数列 则xyz的值为 a 3b 3c 3d 3 解析 选c 由等比中项知y2 3 所以y 又因为y与 1 3符号相同 所以y y2 xz 所以xyz y3 3 2 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 a 7b 5c 5d 7 解析 选d 设数列 an 的公比为q 所以a1 a10 7 3 2016 长治模拟 已知等比数列 an 为递增数列 且a52 a10 2 an an 2 5an 1 则数列 an 的通项公式an 解析 设公比为q 由a52 a10得 a1q4 2 a1 q9 即a1 q 又由2 an an 2 5an 1 得2q2 5q 2 0 解得所以an a1 qn 1 2n 答案 2n 考向二等比数列前n项和及性质的应用 典例2 1 2016 岳阳模拟 设等比数列 an 的前n项和为sn 若则 2 2016 成都模拟 设数列 an 的前n项和为sn a1 1 且数列 sn 是以2为公比的等比数列 求数列 an 的通项公式 求a1 a3 a2n 1 解题导引 1 将已知及所求结果都用a1 q表示 或利用等比数列的和的性质求解 2 先求出sn 再求出an 最后转化为等比数列求和 规范解答 1 选b 方法一 若公比q 1 则所以公比q 1 由得 方法二 因为 an 为等比数列 由 设s6 3a s3 a 所以s3 s6 s3 s9 s6为等比数列 即a 2a s9 s6成等比数列 所以s9 s6 4a 解得s9 7a 所以 2 因为s1 a1 1 且数列 sn 是以2为公比的等比数列 所以sn 2n 1 又当n 2时 an sn sn 1 2n 2 2 1 2n 2 所以 a3 a5 a2n 1是以2为首项 4为公比的等比数列 所以a3 a5 a2n 1 所以a1 a3 a2n 1 易错警示 解答典例2 2 会出现以下错误 把a3 a5 a2n 1认为是以1为首项 以2为公比的等比数列 项数误认为是2n 1 规律方法 1 与等比数列前n项和sn相关的分类讨论 1 运用求和公式时针对公比q的讨论 2 针对项数n的奇偶的讨论 2 与等比数列前n项和sn相关的结论 1 项的个数的 奇偶 性质 等比数列 an 中 公比为q 若共有2n项 则s偶 s奇 q 若共有2n 1项 则s奇 s偶 q 1且q 1 2 分段求和 sn m sn qnsm qn q为公比 变式训练 设等比数列 an 的公比为q 前n项和sn 0 n 1 2 3 则q的取值范围为 解析 因为 an 为等比数列 sn 0 可以得到a1 s1 0 q 0 当q 1时 sn na1 0 当q 1时 sn 0 即 0 n 1 2 3 上式等价于不等式组 n 1 2 3 或 n 1 2 3 解 式得q 1 解 式 由于n可为奇数 可为偶数 得 1 q 1 且q 0 综上 q的取值范围是 1 0 0 答案 1 0 0 加固训练 1 已知各项都是正数的等比数列 an sn为其前n项和 且s10 10 s30 70 那么s40 a 150b 200c 150或 200d 400或 50 解析 选a 依题意 数列s10 s20 s10 s30 s20 s40 s30成等比数列 因此有 s20 s10 2 s10 s30 s20 即 s20 10 2 10 70 s20 故s20 20或s20 30 又s20 0 因此 s20 30 s20 s10 20 s40 70 80 150 2 2016 抚州模拟 已知等比数列 an 的首项为1 项数是偶数 所有的奇数项之和为85 所有的偶数项之和为170 则这个等比数列的项数为 a 4b 6c 8d 10 解析 选c 由题意得a1 a3 85 a2 a4 170 所以数列 an 的公比q 2 由数列 an 的前n项和sn 得85 170 解得n 8 3 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 1 求数列 an 的通项 2 求数列 的前n项和sn 解析 1 由题设知公差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得解得d 1或d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 2 由 1 知 2n 由等比数列前n项和公式得sn 2 22 23 2n 2n 1 2 考向三等比数列的识别与证明 考情快递 考题例析 命题方向1 等比数列的识别 典例3 1 2014 重庆高考 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 a a1 a3 a9成等比数列b a2 a3 a6成等比数列c a2 a4 a8成等比数列d a3 a6 a9成等比数列 2 2016 赣南模拟 在等比数列 an 中 若a1 a4 4 则 a1 a2 an 解题导引 1 由 an 是等比数列 寻找各选项中三个项的关系即可识别 2 先求出an 再求出 an 后求解 规范解答 1 选d 设等比数列的公比为q 则a3 a1q2 a6 a1q5 a9 a1q8 满足 a1q5 2 a1q2 a1q8 即a62 a3 a9 2 因为a4 q3 4 所以q 2 所以an 所以 an 2n 2 故数列 an 是首项为 公比为2的等比数列 所以 a1 a2 an 1 2 22 2n 1 答案 2n 1 母题变式 1 若本例题 2 条件不变 求 解析 因为an 所以故数列 是首项为4 公比为的等比数列 所以 2 若本例题 2 条件不变 求a1a2 a2a3 anan 1 解析 因为an 所以an an 1 2 n 1 2 n 2 2n 1 故数列 an an 1 是首项为 公比为4的等比数列 a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 命题方向2 等比数列的证明 典例4 2016 深圳模拟 数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 1 4an 2 n n 设bn an 1 2an 1 求证 bn 是等比数列 2 设cn 求证 cn 是等比数列 解题导引 1 根据等比数列的定义证明 2 先求出an 再根据定义证明 规范解答 1 an 2 sn 2 sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 因为s2 a1 a2 4a1 2 所以a2 5 所以b1 a2 2a1 3 所以数列 bn 是公比为2 首项为3的等比数列 2 由 1 知bn 3 2n 1 an 1 2an 所以所以数列 是等差数列 公差为3 首项为2 所以 2 n 1 3 3n 1 所以an 3n 1 2n 2 所以cn 2n 2 所以所以数列 cn 为等比数列 技法感悟 1 等比数列的识别依据 1 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an an2 an bn 0 仍然是等比数列 2 an c qn c q均是不为0的常数 n n an 是等比数列 3 数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 an 是等比数列 2 证明等比数列的两种基本方法 1 定义法 证明为常数 2 等比中项法 证明an 12 an an 2 an an 1 an 2 0 n n 题组通关 1 2016 淮南模拟 设 an 是各项为正数的无穷数列 ai是边长为ai ai 1的矩形的面积 i 1 2 则 an 为等比数列的充要条件是 a an 是等比数列b a1 a3 a2n 1 或a2 a4 a2n 是等比数列 c a1 a3 a2n 1 和a2 a4 a2n 均是等比数列d a1 a3 a2n 1 和a2 a4 a2n 均是等比数列 且公比相同 解析 选d an anan 1 故满足该条件的只有a d 而显然d的范围较大 符合题意 2 2016 长沙模拟 已知 an 是首项为1的等比数列 sn是 an 的前n项和 且9s3 s6 则数列的前5项和为 解析 显然公比q 1 由s6 s3 q3s3且由已知s6 9s3 所以s3 q3 s3 9s3 故q3 8 解得q 2 则数列