高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课件 新人教版必修4.ppt

2 3 4平面向量共线的坐标表示 知识提炼 平面向量共线的坐标表示 1 条件 a x1 y1 b x2 y2 其中 2 结论 当且仅当 时 向量a b b 0 共线 b 0 x1y2 x2y1 0 即时小测 1 思考下列问题 1 已知a x1 y1 b x2 y2 若a b 则必有x1y2 x2y1对吗 提示 对 根据两向量共线的坐标表示知正确 2 已知a x1 y1 b x2 y2 若a b 是否有成立 提示 由于的意义与x1y2 x2y1 0的意义不同 前者不允许x2和y2为零 而后者允许 所以当向量a b之一为零向量或向量a b与坐标轴平行时 该等式不适用 2 下列各组向量中 共线的是 a a 2 3 b 4 6 b a 2 3 b 3 2 c a 1 2 b 7 14 d a 3 2 b 6 4 解析 选d 由两向量共线的坐标表示知 对于d 3 4 2 6 0 所以共线 其他均不满足 3 已知a 1 2 b x 4 若a b 则x等于 a b c 2d 2 解析 选d 因为a b 所以4 2x 0 所以x 2 4 已知a 1 2 b 2 1 写出一个与平行且方向相反的向量a 解析 因为 1 3 则与平行且方向相反的向量a 0 则当 1时 a 1 3 答案 1 3 答案不唯一 5 若a 3 6 b 5 2 c 6 y 三点共线 则y 解析 8 8 11 y 2 则 所以 8 y 2 8 11 0 解得y 9 答案 9 知识探究 知识点平面向量共线的坐标表示观察图形 回答下列问题 问题1 前面所学的两个向量共线的条件是什么 是否可以转化为坐标形式 问题2 两个向量a x1 y1 b x2 y2 平行的条件与x1y2 x2y1 0的适用情况有何不同 总结提升 两个向量共线条件的三种表示方法已知a x1 y1 b x2 y2 1 当b 0时 a b 这是几何运算 体现了向量a与b的长度及方向之间的关系 2 x1y2 x2y1 0 这是代数运算 用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 从而减少未知数的个数 而且使问题的解决具有代数化的特点 程序化的特征 3 当x2y2 0时 即两向量的相应坐标成比例 通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示 而且不易出现搭配错误 题型探究 类型一共线向量的判定 典例 1 已知向量a 1 2 b 1 若 a 2b 2a 2b 则 的值等于 a b c 1d 22 已知a 1 2 b 3 2 当k为何值时 ka b与a 3b平行 平行时它们是同向还是反向 解题探究 1 典例1中a 2b 2a 2b的坐标怎样求出 提示 利用向量的数乘公式及加减法的坐标表示求解 2 两向量平行时 两向量间有怎样的关系 如何判断它们是同向还是反向 提示 两向量平行时 两向量之间存在实数倍关系 当实数大于零时 两向量同向 当实数小于零时 两向量反向 解析 1 选a 方法一 a 2b 1 2 2 1 1 2 4 2a 2b 2 1 2 2 1 2 2 2 由 a 2b 2a 2b 可得2 1 2 4 2 2 0 解得 方法二 假设a b不共线 则由 a 2b 2a 2b 可得a 2b 2a 2b 从而方程组显然无解 即a 2b与2a 2b不共线 这与a 2b 2a 2b 矛盾 从而假设不成立 故应有a b共线 所以即 2 方法一 ka b k 1 2 3 2 k 3 2k 2 a 3b 1 2 3 3 2 10 4 当ka b与a 3b平行时 存在唯一实数 使ka b a 3b 即 k 3 2k 2 10 4 所以解得k 当k 时 ka b与a 3b平行 这时因为 0 所以ka b与a 3b反向 方法二 由方法一知ka b k 3 2k 2 a 3b 10 4 因为ka b与a 3b平行 所以 k 3 4 10 2k 2 0 解得k 故ka b与a 3b反向 延伸探究 1 变换条件 若将典例2中的条件 a 1 2 b 3 2 改为 b 1 2 a 3 2 结果如何 解析 ka b k 3 2 1 2 3k 1 2k 2 a 3b 3 2 3 1 2 6 4 当ka b与a 3b平行时 存在唯一实数 使ka b a 3b 由 3k 1 2k 2 6 4 得解得k 当k 时 ka b与a 3b平行 这时因为 0 所以ka b与a 3b反向 2 改变问法 典例2中已知条件不变 若问题改为 当k为何值时 a kb与3a b平行 又如何求k的值 解析 a kb 1 2 k 3 2 1 3k 2 2k 3a b 3 1 2 3 2 6 4 因为a kb与3a b平行 所以 1 3k 4 2 2k 6 0 解得k 方法技巧 向量共线的判定方法 1 利用向量共线定理 由a b b 0 推出a b 2 利用向量共线的坐标表达式x1y2 x2y1 0直接求解 补偿训练 已知a 1 1 b 1 3 c 2 5 那么是否共线 如果共线 它们的方向相同还是相反 解析 因为 1 1 3 1 2 4 2 1 5 1 3 6 所以2 6 3 4 0 所以所以共线 又所以的方向相同 类型二向量共线的坐标运算 典例 1 若点a 1 3 c x 1 三点共线 则x的值为 2 2015 张家界高一检测 已知向量a 2 1 b 1 1 c 5 2 m b c 为常数 1 求a b 2 若a与m平行 求实数 的值 解题探究 1 典例1中 a b c三点共线会得到哪些向量平行 提示 以a b c三点任意两点为端点的两个向量平行 2 典例2中 求实数 的步骤是什么 提示 首先根据向量坐标运算法 用 表示出m的坐标 然后依据a m及向量共线的坐标表示列出关于 的方程 最后解方程求出 解析 1 x 1 4 因为a b c三点共线 所以共线 所以7 4 x 1 0 解得x 9 答案 9 2 1 因为a 2 1 b 1 1 所以a b 2 1 1 1 3 2 2 因为b 1 1 c 5 2 所以m b c 1 1 5 2 5 2 又因为a 2 1 且a与m平行 所以2 2 5 解得 1 方法技巧 1 三点共线的实质与证明策略 1 实质 三点共线问题的实质是向量共线问题 两个向量共线只需满足方向相同或相反 两个向量共线与两个向量平行是一致的 2 证明步骤 利用向量平行证明三点共线需分两步完成 证明向量平行 证明两个向量有公共点 2 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1 利用共线向量定理a b b 0 列方程组求解 2 利用向量平行的坐标表达式x1y2 x2y1 0直接求解 变式训练 设点a x 1 b 2x 2 c 1 2x d 5 3x 当x为何值时 共线且方向相同 此时 a b c d能否在同一条直线上 解析 2x 2 x 1 x 1 1 2x 2x 2 1 2x 2x 2 5 3x 1 2x 4 x 由共线 所以x2 1 4 所以x 2 又方向相同 所以x 2 此时 2 1 3 2 而2 2 3 1 所以不共线 所以a b c三点不在同一条直线上 所以a b c d不在同一条直线上 类型三共线向量在几何中的应用 典例 1 已知p1 2 1 p2 1 3 p在直线p1p2上 且则p点的坐标为 2 在 aob中 已知点o 0 0 a 0 5 b 4 3 ad与bc交于点m 求点m的坐标 解题探究 1 典例1中由如何确定p点的坐标 提示 设p点坐标为 x y 由建立x y之间的等量关系 2 典例2中由ad与bc交于点m 能够确定哪两对向量是共线的 提示 由ad与bc交于点m 可以得到共线 共线 解析 1 因为设p点坐标为 x y 则 x 2 y 1 1 x 3 y 所以 x 2 y 1 1 x 3 y 所以即故p点坐标为 答案 2 因为点o 0 0 a 0 5 b 4 3 所以 0 5 4 3 因为所以点c的坐标为 同理可得点d的坐标为 设点m的坐标为 x y 则 x y 5 而因为a m d三点共线 所以共线 所以 x 2 y 5 0 即7x 4y 20 而因为c m b三点共线 所以共线 所以即7x 16y 20 由 得x y 2 所以点m的坐标为 2 延伸探究 若典例1中条件 变为 则p点的坐标如何 解析 1 当同向时 p点坐标为 2 当反向时 则有设p点坐标为 x y 所以 x 2 y 1 1 x 3 y 所以即故p点坐标为 8 9 综上可得 p点坐标为或 8 9 方法技巧 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 变式训练 已知a 1 0 b 3 1 c 1 2 并且求证 证明 设e x1 y1 f x2 y2 依题意有因为所以所以 因为 补偿训练 1 abc的三个内角a b c所对的边的长分别为a b c 设向量p a c b q b c a 若p q 则角c的大小为 解析 选c 因为p q 所以 a c c a b b 0 即c2 a2 b2 所以 c 2 已知直角坐标平面上四点a 1 0 b 4 3 c 2 4 d 0 2 求证 四边形abcd是等腰梯形 证明 由已知得 4 3 1 0 3 3 0 2 2 4 2 2 因为3 2 3 2 0 所以与共线 1 2 2 4 4 3 2 1 因为 1 1 2 2 0 所以与不共线 所以四边形abcd是梯形 因为 2 1 1 2 所以即bc ad 故四边形abcd是等腰梯形 巧思妙解利用共线向量的坐标表示求点的坐标 典例 2015 淄博高一检测 如图 已知点a 4 0 b 4 4 c 2 6 则ac与ob的交点p的坐标为 常规解法 设p x y 分别过点c p作x轴的垂线 垂足为e f 如图所示 因为b 4 4 pf ab 又c 2 6 pf ce 所以即解得x y 3所以p 3 3 答案 3 3 巧妙解法 设p x y 则 x y 且 4 4 又与共线 所以x y 又 x 4 y 2 6 因为共线 所以 x 4 6 y 2 0 解得x y 3 所以p 3 3 即为所求 答案 3 3 巧妙解法 设p x y 则 x y 且 4