湖南省新田一中高三数学上学期期中检测（教师命题比赛）试题 理 新人教A版.doc

湖南省新田一中2014届高三数学上学期期中检测（教师命题比赛）试题 理 新人教a版1第i卷（选择题 共40分）一、本大题有8小题，每小题5分，共40分.每小题都有四个选项，其中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合，则集合中共有 ( ) 个真子集 a. 7 b .4 c. 3 d. 82已知复数，则的虚部为（ ） a. b. c. d. 3. “”是“或”成立的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 4. 定积分的值为 ( ) a b c 1 d5函数的零点所在的大致区间是 ( ). a. b. c. d. 6已知变量满足约束条件，则的取值范围是（） a b c d 7已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为( ) a . b. c. d. 8. 已知定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个“承托函数”现有如下命题：对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；为函数的一个承托函数；定义域和值域都是的函数不存在承托函数, 其中正确的命题是( ) a. b. c. d. 第卷（非选择题 共110分）二、填空题:（本大题有7小题，每小题5分，共35分）（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9在极坐标系中，已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线的距离是 . 10. 若，则的最小值为_. 11. 已知的两条直角边、的长分别为，以为直径的圆与交于点，则 . （二）必做题12.已知数列是等差数列，且，则 _.13.设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则 . 14在2013年高三第二次调研考试中，某学校有550名高三学生参加了考试，其数学成绩近似服从正态分布，已知,则可估计该学校数学成绩及格（成绩不低于90分为及格）的学生有 人. 15.平行四边形的两条对角线相交于点,点是对角线上任意一点。若且。则的取值范围是 . 16 如果正整数各位数字之和等于6，那么称为“吉祥数”，将所有的“吉祥数”从小到大排成一列若，则 .三、解答题:（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17,18,19题每题12分，20,21,22每题13分）17.已知中，角的对边分别为, (1)求角的值； (2)求 的值.18如图，在四棱锥中，底面是矩形， , ,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求二面角的平面角的余弦值. 19. 2013年某省实施通过竞选选拔高校校长，省委组织部拟选拔4名校长，相关单位通过组织提名、领导干部个人提名、群众联合提名、自荐提名四种方式，确定初步人选为5名男竞选者和4名女竞选者，每名竞选者当选校长的机会是相等的.（1）记为男竞选者当选的人数，写出的分布列，并求的数学期望；（2）设至少有名女竞选者当选的概率为，试求满足时的最大值.20数列中， （1）若，求证：数列是等差数列，并求通项；（2）若，问是否存在实数，使数列成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为点在椭圆上，且，的面积为3 （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于不同的两点（不同于点），探索直线的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由22.已知函数，其中为实数 （1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明： ,对于任意的正整数成立.新田一中2014届高三下期期中考试数学试题（理科）答案解析3.选.解析：考虑命题：若且,则.显然该命题为真命题，其逆命题为假命题。那么它的逆否命题是：若,则或，一定为真。4.选b. 解析：定积分表示直线轴以及函数所围成的图形的面积。由于所围的图形是一个半圆，所以面积为.5.选b. 解析：因为由零点存在性定理知选b.8.选a.解析：对于，若，则就是函数的一个“承托函数”且有无数个；若，则没有一个“承托函数”，所以对;对于，记令得，易知是的最（极）小值点，所以，所以对；对于，若则是函数的一个“承托函数”，所以错.9.解析：分别把极坐标方程，化为直角坐标方程所以圆心到直线的距离.13 .4. 解析：所以解得，-15（舍去）所以.14.462 .解析：这里,即从而所以.故.15. 解析：由余弦定理知,以直线为轴，直线为轴建立直角坐标系，则设那么所以故的取值范围是.18. 解析（1）证明：取的中点,连接因为分别是的中点,所以又,所以所以四边形是平行四边形所以,又面，面所以直线. （6分）（2）取的中点,过作交于,连接，则面所以，所以是二面角的平面角在中，求得于是，即二面角的平面角的余弦值为.（12分）19. 解析（1）依题意知的所有可能值为0,1,2,3,4，则 ， ， 故的分布列为0 1234所以. （8分）（2）由（1）知，至少有4名女竞选者当选的概率为至少有3名女竞选者当选的概率为至少有2名女竞选者当选的概率为因此要使， 的最大值为2 . （12分）20. 解析（1）证明：，因为所以数列是等差数列，该等差数列的首项为，公差为所以， （6分）（2）假设存在实数满足条件则 化简得，那么必有，故存在实数，满足条件.（13分）（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与椭圆的交点坐标为，此时直线的方程为，直线的方程为，将直线与直线的方程联立，消去得，如果直线，的交点在一条垂直于轴的定直线上，则这条定直线的方程一定是， （7分）当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆的方程，整理得设直线与椭圆的交点为，则， （8分）直线的方程为，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点为， （10分）下面证明两点重合，即证明两点的纵坐标相等因为， 所以所以结论成立，即直线与直线的交点在直线上。综上可知，直线的交点能在一条垂直于轴的定直线上，这条定直线的方程是. (13分)22. 解析(1)因为讨论如下： 当时，令得；得此时，函数的增区间