高中数学 第一章 集合与函数 1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性课件 湘教版必修1.ppt

第1章 集合与函数 1 2函数的概念和性质1 2 8二次函数的图象和性质 对称性 学习目标 1 能说出奇函数和偶函数的定义 2 会判断具体函数的奇偶性 3 会分析二次函数图象的对称性 4 能求一个二次函数在闭区间上的最值 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 函数y x的图象关于对称 y x2的图象关于 对称 原点 y轴 预习导引 1 函数的奇偶性 1 如果对一切使f x 有定义的x 也有定义 并且成立 则称f x 为偶函数 2 如果对一切使f x 有定义的x 也有定义 并且成立 则称f x 为奇函数 f x f x f x f x f x f x 2 二次函数图象的对称性 2 如果函数f x 对任意的h都有 那么f x 的图象关于直线x s对称 f s h f s h 要点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 解函数定义域为r 且f x x 3 x x3 x x3 x f x 所以该函数是奇函数 2 f x x 2 x 2 解函数定义域为r 且f x x 2 x 2 x 2 x 2 f x 所以该函数是偶函数 解函数定义域是 x x 0 不关于原点对称 因此它是非奇非偶函数 解函数定义域是 x x 1 不关于原点对称 因此它是非奇非偶函数 解得x 2 即函数的定义域是 2 2 这时f x 0 所以f x f x f x f x 因此该函数既是奇函数又是偶函数 规律方法1 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 1 定义法 若函数定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 若函数定义域关于原点对称 则应进一步判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于0 从而确定奇偶性 注意当解析式中含有参数时 要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定 2 图象法 若函数图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数图象关于y轴对称 则函数为偶函数 3 还有如下性质可判定函数奇偶性 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 注 利用以上结论时要注意各函数的定义域 2 判断函数奇偶性前 不宜盲目化简函数解析式 若必须化简 要在定义域的限制之下进行 否则很容易影响判断 得到错误结果 跟踪演练1判断下列函数的奇偶性 解函数定义域为r 故该函数是奇函数 解函数定义域为 x x 1 关于原点对称 故f x 是偶函数 解函数定义域是 x x 1 不关于原点对称 所以是非奇非偶函数 要点二函数奇偶性的简单应用例2 1 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 等于 a 3b 1c 1d 3解析因为当x 0时 f x 2x2 x 所以f 1 2 1 2 1 3 又f x 是奇函数 所以f 1 f 1 3 选a a 2 若函数f x x3 3x a是奇函数 则实数a 解析方法一因为f x 是奇函数 所以f x f x 对任意x r都成立 即 x3 3x a x3 3x a对任意x r都成立 所以a 0 方法二因为f x 是奇函数且在x 0处有定义 必有f 0 0 即03 3 0 a 0 解得a 0 0 规律方法1 利用奇偶性求值时 主要根据f x 与f x 的关系将未知转化为已知求解 若需要借助解析式求值 代入自变量值时 该自变量值必须在该解析式对应的区间上 否则不能代入求值 而应转化 2 已知函数是奇函数或偶函数 求解析式中参数值时 通常有两种方法 一是利用奇 偶函数的定义建立关于参数的方程求解 二是采用特殊值法 尤其是在x 0处有定义的奇函数 还可根据f 0 0求解 跟踪演练2 1 已知f x 是偶函数 且f 4 5 那么f 4 f 4 的值为 a 5b 10c 8d 不确定解析 f x 是偶函数 f 4 f 4 f 4 f 4 2f 4 2 5 10 b 2 若函数y x 1 x a 为偶函数 则a等于 a 2b 1c 1d 2解析 f x 是偶函数 f x f x 对任意x r都成立 即 x 1 x a x 1 x a 整理得2 a 1 x 0 x r 必有a 1 0 即a 1 c 要点三二次函数的区间最值问题例3已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 用a表示出函数f x 在区间 5 5 上的最值 解函数f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2的图象开口向上 对称轴为x a 当 a 5 即a 5时 函数在区间 5 5 上递增 所以f x max f 5 27 10a f x min f 5 27 10a 当 5 a 0 即0 a 5时 函数图象如图 1 所示 由图象可得f x min f a 2 a2 f x max f 5 27 10a 当0 a 5 即 5 a 0时 函数图象如图 2 所示 由图象可得f x max f 5 27 10a f x min f a 2 a2 当 a 5 即a 5时 函数在区间 5 5 上递减 所以f x min f 5 27 10a f x max f 5 27 10a 规律方法1 对于定义域为r的二次函数 其最值和值域可通过配方法求解 2 若求二次函数在某闭 或开 区间 非r 内的最值或值域 则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论 1 若对称轴不在所求区间内 则可根据单调性求值域 2 若对称轴在所求区间内 则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得 比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域 跟踪演练3求函数f x x2 mx 6 m 0 在区间 0 2 上的最大值 1 2 3 4 1 下列函数为奇函数的是 a y x b y 3 xc y d y x2 4 解析a项和d项中的函数为偶函数 b项中的函数是非奇非偶函数 选c c 5 1 2 3 4 2 对于定义在r上的函数f x 给出下列判断 1 若f 2 f 2 则函数f x 是偶函数 2 若f 2 f 2 则函数f x 不是偶函数 3 若f 2 f 2 则函数f x 不是奇函数 其中正确的判断的个数是 a 0b 1c 2d 3 5 1 2 3 4 解析 1 仅有f 2 f 2 不足以确定函数的奇偶性 不满足奇函数 偶函数定义中的 任意 故 1 错误 2 当f 2 f 2 时 该函数就一定不是偶函数 故 2 正确 3 若f 2 f 2 则不能确定函数f x 不是奇函数 如若f x 0 x r 则f 2 f 2 但函数f x 0 x r既是奇函数又是偶函数 故 3 错误 答案b 5 1 2 3 4 a 是奇函数b 既是奇函数又是偶函数c 是偶函数d 是非奇非偶函数解析函数定义域是 x x 1 不关于原点对称 是非奇非偶函数 选d d 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 故选c 答案c 5 1 2 3 5 4 5 如果定义在区间 3 a 5 上的函数f x 为偶函数 那么a 解析 f x 为区间 3 a 5 上的偶函数 区间 3 a 5 关于坐标原点对称 3 a 5 即a 8 8 课堂小结1 在奇函数与偶函数的定义域中 都要求x d x d 这就是说 一个函数不论是奇函数还是偶函数 它的定义域都一定关于坐标原点对称 如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称 那么这个