直线平面简单几何体.doc

高考数学专题汇编 （五） 直线、平面、简单几何体一、教学大纲和考试大纲对直线、平面、简单几何体的教学要求和考查要求6、直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理.两个平面的位置关系.空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积.直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离. 直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平面内的射影.平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求:( 1)理解平面的基本性质，会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系.(2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.掌握三垂线定理及其逆定理.(3)理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. (4)了解空间向量的基本定理.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.(5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质.掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式.掌握空间两点间的距离公式.(6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算己给出公垂线或在坐标表示下的距离.掌握直线和平面垂直的性质定理.掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.(8)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念. (9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图. (10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图. (11)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积 二、高考数学试题对直线、平面、简单几何体的考查特点（一）试题特点1、判断型(1) 符合一定条件的几何元素的存在性的判断例1、(浙江卷文9) 对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得（ ）（A） （B） （C） （D）例2、(四川卷理9) 设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：（ ）（）条 （）条 （）条 （）条从以上两题目可以看出，解决这类问题，需要有较好的画图、识图等空间想象能力，此外对确定平面的条件、符合某个条件的几何元素的轨迹、化归思想的运用等都需有较好的掌握.(2)线面间的位置关系的判断. 这类问题通常用符号语言来表达给出的命题，解答此类问题需要考生能熟练地进行符号语言、文字语言与图形语言之间的相互转换.例3、(海南宁夏卷文12) 已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A B C D例4、(湖南卷文5) 已知直线m,n和平面满足,则( ) 或 或例5、(安徽卷文3) 已知是两条不同直线，是三个不同平面下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则 (3)多个命题真假的判断 多个命题真假的判断，对考生的要求较高，是考生容易出错的题型.通常情况下，问题中的若干命题是源于同一背景，只要弄清背景问题的本质，多个命题的真假便容易确定.例6、(江西卷理16) 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点 (图2)有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) (4)充要条件的判断 对充要条件的理解与判断关系到转化与化归思想的运用能力，历来为高考的一个考点.结合空间想象能力考查充要条件可谓一举两得.例7、(天津卷文5) 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A B C D例8、(全国卷理16) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）(5)三视图的判断. 三视图问题需要有较好的空间想象能力，这类问题是考查空间想象能力的较好题型.例9、(广东卷理5) 将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED2、论证型空间中几何元素位置关系的证明需要运用立体几何的基础知识与基本方法，也需要较好的空间想象能力，因此这类问题可以综合地考查学生的立体几何学习水平.由于空间向量与空间直角坐标系的引入，使得论证的问题类型与方法更为丰富。所证结论的类型主要有以下几种: GHFEDCBA(1)垂直与平行问题;(2)共面问题; (3)定值问题.例10、(四川卷文19) 如图，面ABEF面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD，BEAF，G、H分别是FA、FD的中点。()证明：四边形BCHG是平行四边形；()C、D、E、F四点是否共面？为什么？()设AB=BE，证明：平面ADE平面CDE.ABCDPQEFGH例11、(辽宁卷理19) 如图,在棱长为1的正方体中,截面,截面.证明:平面和平面互相垂直;证明:截面和截面面积之和是定值,并求出这个值;若与平面所成的角为,求与平面所成角的正弦值. 综观历年的高考数学试题，垂直关系的论证占有较大比例，这是因为垂直关系涉及较多的定理与方法，与空间角与距离也有着密切的关系.由于建立空间直角坐标系的需要，垂直关系的地位应更加突出.用综合法解决定值问题对考生的要求较高，而有了空间向量这一工具，则大大地降低了难度.这表明，问题的类型完全可以突破传统的框架.3.计算型 主要是有关线线角、线面角、二面角与距离的计算.有关空间角和距离的试题大体上有两种形式:根据条件求角和距离或者已知角和距离求其他的几何量.解答这类问题需要较好的识图、画图、计算等能力，解答时需要边证明边计算，这类试题是结合计算能力、逻缉推理能力考查空间想象能力的较好载体.考题中有以下几类计算问题:(1)根据条件求各种角或距离或体积;(2)已知角或距离求其他几何量; (3)求球面距离与球的表面积; (4)结合三视图进行计算. PBECDFA例12、(山东卷理20) 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值俯视图正(主)视图侧(左)视图2322例13、(辽宁卷理14) 在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为_.例14、(山东卷理14) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）ABCD 4.学科综合型 例15(北京卷理8) 见专题复习（一）集合与函数例20三、亮点扫描1、解答题的难度呈下降态势在高考数学试卷中，立体几何考题基本为中低档题.难度有所下降，原因是一方面课标与考纲的直接要求;另一方面是由于空间向量的运用使得一些传统难题变得容易起来.2.角与距离的计算不再担当考查空间想象能力的主角在以往高考数学试卷中，二面角、线面角及各种距离的计算，由于作出各种角及距离需要有较好的空间想象能力，使得这些问题成为区分考生空间想象能力高低的一种工具.在高考数学试卷中，由于向量的运用，不作出相应的角与距离即可利用相关的计算公式求出结果，这样就可以回避原本较难的作图问题;另一方面，近几年的高考数学试卷中一般很少出现不便于建立空间直角坐标系的几何体，从而二面角、线面角、点到面的距离等高考中的重难点演变为机械的计算，因此这些问题对空间想象能力的考查要求大为降低，不再担当考查空间想象能力的主角.角与距离计算问题的难度降低并不代表对空间想象能力要求的降低，从2008年的高考数学试卷可以看到用其他类型的问题为载体来考查学生的空间想象能力，同样体现出较高的要求.如判断型问题中，对空间想象能力有着很高的要求.与角与距离计算相似的是，论证型问题的解答也可以利用向量而无需作出辅助线、面，从而避开难点.3.考查三视图 三视图在高考中得到较充分地考查.有直接判断三视图的;有的结合三视图求几何体的体积;有的由三视图进行大小与位置关系的判断。例16、(海南宁夏卷理12) 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D46422EDABCFG2例17、(海南宁夏卷文18) 如图12、图13和图14的三个图中，图12是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图为图13和图14（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；图12 正视图 侧视图 图13 图14 （）在所给直观图中连结，证明：面4.深入考查转化思想 转化与化归思想是处理空间线面关系问题的最重要的一种策略.线线关系、线面关系、面面关系之间的相互转化是处理空间线面关系问题的出发点，空间问题平面化也是转化的重要方向.高考数学试卷中，转化与化归思想除了在论证类问题的解决过程得到常规体现外，在判断类问题中考查得更为深入.例18、(辽宁卷理11) 在正方体中,分别为棱的中点,则在空间中与三条直线都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条例19、(江西卷理11) 连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M；弦AB、CD可能相交于点N；MN的最大值为5；MN的最小值为l其中真命题的个数为（ ） A1个 B2个 C3个 D4个四、复习建议 1.正确面对综合法与向量法课程标准及高考考纲对立体几何的教学要求发生了较大的变化，尤其是有关二面角、线面角，以及点到面的距离、线到面的距离、面与面的距离的计算宜立足于向量法。可以给自己作出这样的安排：用传统综合法考虑两分钟，如果找不到方向就马上建系采用向量法。2.要准确掌握各类角与距离的计算公式及各类论证问题的向量证法用向量法求各类角与距离的基本思路是将问题转化为直线的方向向量与平面的法向量来处理，复习中要让弄清各种角和距离的向量求法即有关计算公式.(1)两条异面直线所成角两条异面直线所成角为两异面直线方向向量所夹锐角或直角.设是两条异面直线，为直线的方向向量，为直线的方向向量，所成角为，则. (2)直线与平面所成角. 直线与平面所成角等于直线的方向向量与平面法向量所成锐角的余角.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角为，则有. (3)二面角. 设二面角的大小为，平面的法向量为，平面的法向量为，当与一个指向二面角内部，一个指向二面角外部时，则有.(4)点到面的距离. 设平面的法向量为，点B是平面内任意一点，则点A到平面的距离为，则.此外，线线、线面、面面的平行与垂直都可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直来处理.3.关注三视图问题 三视图对空间想象能力有较高的要求，在复习的过程中应予以足够的重视.教学实践表明，有很多学生遇到稍复杂的三视图问题便会发生想象上的偏差.高考中，三视图既可以作为单独考查的知识点，又可以与空间线面关系的论证与计算结合起来编写考题. 作出几何体的三视图及由三视图画出相应的几何体或想象出几何体是三视图中两类基本的问题，应加强这两类问题的训练.要在弄清各种简单几何体三视图的基础上，进一步搞清常见的多面体与旋转体的组合体的三视图。4.关注存在性问题 存在性问题可以综合考查学生的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力等.满足一定条件的几何元素存在性的判断在近几年高考试卷中出现的频率较高，从题型方面看，既有选择题，也有填空题与解答题;从解题方法看，有的通过作图来判断、有的通过计算来判断、有的则是通过论证来判断ABCODP例20(福建卷理18) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PB与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由有关点的存在性问题中，点的坐标的设法要充分利用点所在线面的特殊性，以减少变元的个数.此外，要注意利用共线向量设点及运用向量的加减等运算求向量坐标的技巧.5、加强空间想象能力的训练空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.空间想象能力的训练应贯穿于立体几何复习的始终，并且应将其具体到识图、画图等方面.(1)加强识图训练.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系.几何元素之间的关系主要是位置和数量关系，对要解决问题中所包含的几何元素的关系要能分别看出;还要能看出复杂图形中所包含的基本图形，从而分离出基本图形或是找到相应解法.(2)加强画图训练. 画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.画图训练可分为以下两个方面.画出符合题意的空间图形.有的问题中没有给出相应的图形，需要画图解题，这也是考查其空间想象能力的一种途径.而确有很多同学由于画不出合理的图形而影响解题.要注意强化这方面的训练，对于有关球与球面的问题要注意画局部图形或截面图形，尤其是截面、大圆面、小圆面.作辅助线、辅助面.在综合法中，辅助线与辅助面的作法与解题思路的探索紧密相连，相辅相成.由于向量法的运用，使得很多辅助线与辅助面的功能不复存在，主要是计算类中的角与距离无需作出，因此，在这些问题中辅助线面的作图训练就不再是训练的重点.论证类的问题中可以适当地介绍一些通过作辅助线面来证明线面的平行与垂直关系的常规方法.尽管在计算类问题中的辅助线面的作图要求大大降低，但作图能力的要求并未降低，只是其载体发生变化.近几年的高考试题中有关几何元素存在性问题中有一些对作图能力的要求非常高，对此前面已有论述，要加强这方面的作图训练.具体地讲，要弄清以下一些基本结论:过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行;过平面内一点有且只有一个平面与已知直线垂直;过直线外一点，有无数个平面平行于已知直线，这些平面的交线平行于已知直线;过平面内一点，有无数条直线与已知直线垂直，这些直线在过该点且垂直于已知直线的平面内;过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行;过空间内一点与已知直线所成角为定角(锐角)的直线在过该点的圆锥面内;过直线外一点，与直线的距离为常数的点在以已知直线为轴的圆柱面内;过空间内一点，有且只有一条直线垂直于已知平面;过平面外一点，有无数条直线平行于已知平面，这些直线在过该点且平行于已知平面的平面内;过平面外一点