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一 行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质2. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式1. 行列式的概念 行列式的定义： 行列式计算方法1：对角线法则（只适用于二阶、三阶行列式） 计算行列式的常用公式（利用行列式的定义推出） 2. 行列式的基本性质 / 利用性质计算行列式 基本性质和推论： D=DT 行列式等于零的充分条件： 两行(列)完全相同；某一行(列)的元素全为零；两(列)的元素对应成比例. 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. 一些补充结论： 将n阶行列式D左右翻转（或上下翻转）得D，则 将n阶行列式D顺时针（或逆时针）旋转90o得D，则 将行列式D依副对角线翻转D，则习题讲义1. 例7 设, 则 = ( B )(A) -3D (B) 3D (C) 12D (D) -12D习题讲义1. 例8 设abcd=1, 证明行列式=0. 行列式计算方法2：将行列式化为三角形行列式该方法依据的是：“仅用倍加变换（即ri+krj 或ci+kcj），就可以将行列式化为上/下三角形”。这是计算数字行列式的基本方法（另外一个基本方法是利用行列式展开法则的降阶展开法）。注：计算过程中，为简化步骤，也常常用到对换变换和倍乘变换（对于后者，实际使用的是倍乘变换性质的等价表述-对行(列)提取公因子）。此外，尽可能避开繁琐的分数运算。习题讲义1. 例11 =4习题讲义1. 例15 习题讲义1. 例12 三对角行列式.= n+1习题讲义1. 例13 .习题讲义1. 例14 爪型行列式.习题讲义1. 例16 已知xia (i=1,2,n)，证明：真题(2004, 改动) 行列式计算方法3：拆分法若行列式的某些行(列)为几个数之和，则可以将行列式按这些行(列)拆分为几个行列式之和。以下是两个代表性的情形： 可按第i列拆分，可将其表示成m个行列式的加和。 可按各列（或各行）拆分，可将其表示成为m个行列式的加和。特别是，如果拆分出来的行列式中有很多等于零，而那些不等于零的行列式也很容易计算，此时应采用拆分法。习题讲义1. 例20 (n2)当n3时， Dn=0； 当n=2时，D2=习题讲义1. 例21 (n2) 行列式计算方法4：分块法计算公式（利用行列式性质推出）： （其中A和B分别是k阶和m阶的方阵）习题讲义1. 例18 =144习题讲义1. 练习10 =3. 行列式按行（列）展开法则 / 利用展开法则计算行列式 概念：行列式中元素aij的余子式Mij和代数余子式Aij 行列式按行(列)展开法则： n阶行列式D任意一行元素与各自对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即(i=1,2,n) n阶行列式任意一行元素与另外一行元素对应的代数余子式乘积之和等于0，即(ij; i,j=1,2,n) 上述结论对列也成立。习题讲义. 例35已知, 求: ; . 答案：27；18 行列式展开法则的应用：代数余子式求和。 对于一个n阶行列式D，如果将它的第i行元素替换成1，得到一个新的行列式D(通常DD)，但是，根据代数余子式的定义可知，这种替换不会改变D的第i行元素的代数余子式，即，D和D的第i行中对应元素的代数余子式是相同的。如果将D 按第i行展开，则有，可见D的第i行元素的代数余子式之和等于新行列式D 的值。习题讲义1. 例34 设, 求第四行元素的代数余子式之和.答案：25 行列式计算方法5：降阶展开法利用行列式的性质，将行列式的某行(列)元素尽可能多地化为零，然后将行列式按该行(列)展开，从而变成n-1阶行列式的计算，这称为降阶展开法，也是最常用的计算方法之一.习题讲义1. 例22 = -156习题讲义1. 练习15= (a2a3-b2a3)(a1a4-b1b4)真题(2012) 行列式计算方法6：递推法n阶行列式的结构具有重复性时，可通过按某行(列)展开，得出它的线性递推公式，然后递推出结果习题讲义1. 练习16 用递推法证明以下n阶行列式的结论： 习题讲义1. 例25 (ab，n2) 真题(2008) =(n+1)an 行列式计算方法7：数学归纳法计算行列式：数学归纳法与递推法相似，都需要递推公式。一般在以下两种情形下考虑用数学归纳法：(1)得出的递推公式难以计算，但通过n=1,2,3的低阶行列式容易猜想出一般结果，然后结合递推公式用数学归纳法证明猜想成立. (2)行列式的结论已经给出，该结论与自然数n有关，要求证明该结论。习题讲义1. 例26 行列式计算方法8：利用范德蒙德行列式根据行列式展开法则，可证明范德蒙德行列式范德蒙德行列式是重要的特殊行列式，要善于识别其变式，得出展开结果。习题讲义1. 例29习题讲义1. 例30 计算 其它章节知识点链接= 矩阵= 设A, B都是n阶方阵，一般而言， A=B A=O 设A是n阶方阵，则； 定理：若A, B都是n阶方阵，则 (这个定理给出了一种行列式计算方法