高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的综合应用课件 理.ppt

第五节数列的综合应用 考向一等差数列与等比数列的综合问题 典例1 2016 太原模拟 已知 an 是等差数列 满足a1 3 a4 12 数列 bn 满足b1 4 b4 20 且 bn an 是等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前n项和 解题导引 先求出数列 an 的公差 再求出数列 bn an 的公比 求出bn an后 再求 bn 的通项公式及前n项和 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 由题意得所以an a1 n 1 d 3n n 1 2 设等比数列 bn an 的公比为q 由题意得解得q 2 所以bn an b1 a1 qn 1 2n 1 从而bn 3n 2n 1 n 1 2 2 由 1 知bn 3n 2n 1 n 1 2 数列 3n 的前n项和为n n 1 数列 2n 1 的前n项和为所以 数列 bn 的前n项和为n n 1 2n 1 母题变式 1 若本例题条件 bn an 是等比数列 变为 bn an 是等差数列 其他条件不变 求数列 bn 的通项公式 解析 设等差数列 bn an 的公差为d2 由题意得3d2 b4 a4 b1 a1 20 12 4 3 7 解得d2 所以bn an b1 a1 n 1 d2从而 2 若本例题条件 b1 4 b4 20 且 bn an 是等比数列 变为 an 2an 1 求数列 bn 的通项公式 解析 由典例解析知an 3n 所以an 2an 1 3n 2 3 n 1 9n 6 即 9n 6 因此bn 81n2 108n 35 规律方法 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题 如为求和需要先求出通项 为求出通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的顺序 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 提醒 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论 分类解决问题后还要注意结论的整合 变式训练 2016 天津模拟 已知等差数列 an 的公差和首项都不等于0 且a2 a4 a8成等比数列 则a 2b 3c 5d 6 解析 选b 因为a2 a4 a8成等比数列 所以 a2a8 即 a1 3d 2 a1 d a1 7d 所以a1 d 所以 加固训练 1 等比数列 an 的公比为q 前n项和为sn 若sn 1 sn sn 2成等差数列 则公比q为 a 2b 1c 2或1d 2或 1 解析 选a 当q 1时 sn 1 n 1 a1 sn na1 sn 2 n 2 a1 不满足sn 1 sn sn 2成等差数列 故q 1 2sn sn 1 sn 2 q2 q 2 0 q 2 2 2016 内江模拟 已知数列 an 是公差大于零的等差数列 数列 bn 为等比数列 且a1 1 b1 2 b2 a2 1 a3 b3 13 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设cn anan 1 求数列的前n项和tn 解析 1 设数列 an 的公差为d d 0 数列 bn 的公比为q 由已知得 解得或 因为d 0 所以d 2 q 2 an 1 2 n 1 2n 1 bn 2 2n 1 2n 即an 2n 1 n n bn 2n n n 2 因为cn anan 1 2n 1 2n 1 所以 考向二数列中的图表问题 典例2 1 2016 广州模拟 将全体正整数排成一个三角形数阵 12345678910 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3个数为 2 2016 太原模拟 下表是一个由正数组成的数表 数表中各行依次成等差数列 各列依次成等比数列 且公比都相等 已知a1 1 1 a2 3 6 a3 2 8 求数列 an 2 的通项公式 解题导引 1 求出第n行 n 3 从左向右的第3个数为原数列的第几项 再求解 2 构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比 规范解答 1 由表知前n 1行共有1 2 3 n 1 项 故第n行 n 3 从左向右第3个数为原数列的第项 即答案 2 设第一行组成的等差数列的公差是d 各列依次组成的等比数列的公比是q q 0 则a2 3 qa1 3 q 1 2d q 1 2d 6 a3 2 q2a1 2 q2 1 d q2 1 d 8 解得d 1 q 2 a1 2 2 an 2 2 2n 1 2n 规律方法 数列中常见的图表问题及解题关键 1 分组型 数列的通项公式已知 将其按照一定的规则排列而成 解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置 2 混排型 图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列 解决这类问题的关键是找出各个数列 将所求问题所在行或列的基本量求出 3 递推公式型 图表或数阵是按某种递推关系得到的 解决这类问题的关键是求出递推公式 再由递推公式求出通项公式 变式训练 2016 福州模拟 下面给出了一个三角形数阵 已知每一列的数成等差数列 从第3行起 每一行的数成等比数列 每一行的公比都相等 记第i行第j列数为aij i j n 则a43 解析 由题意 第一列公差所以由第3行得公比q 所以答案 加固训练 1 2016 北京模拟 已知把数列 an 的各项排列成如下的三角形形状 记a m n 表示第m行的第n个数 则a 10 12 解析 选a 由题意知 前9行共有1 3 5 17 81个数 因此 第10行的第1个数是a82 第12个数是a93 又因为所以a 10 12 a93 2 2016 合肥模拟 正整数按下列方法分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记第n组中各数之和为an 由自然数的立方构成下列数组 03 13 13 23 23 33 33 43 记第n组中后一个数与前一个数的差为bn 则an bn 解析 由题意知 前n组共有1 3 5 2n 1 n2个数 所以第n 1组的最后一个数为 n 1 2 第n组的第一个数为 n 1 2 1 第n组共有2n 1个数 所以根据等差数列的前n项和公式可得 n 1 2 n 2n 1 而bn n3 n 1 3 所以an bn 2n3 答案 2n3 3 2016 保定模拟 将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表 a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 记表中的第一列数a1 a2 a4 a7 构成的数列为 bn b1 a1 1 sn为数列 bn 的前n项和 且满足 1 证明数列成等差数列 并求数列 bn 的通项公式 2 上表中 若从第三行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公比为同一个正数 当时 求上表中第k k 3 行所有项的和 解析 1 由已知 当n 2时 1 又sn b1 b2 bn 所以即所以又s1 b1 a1 1 所以数列是首项为1 公差为的等差数列 由上可知即sn 所以当n 2时 因此 2 设表中从第三行起 每行的公比都为q 且q 0 因为1 2 12 78 所以表中第1行至第12行共含有数列 an 的前78项 故a81在表中第13行第三列 因此a81 b13 q2 又b13 所以q 2 记表中第k k 3 行所有项的和为s 则 考向三数列的实际应用问题 典例3 2016 遂宁模拟 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车 银行贷款的年利息为10 按复利计算 即本年的利息计入次年的本金生息 若这笔款要分10年等额还清 每年年初还一次 并且以贷款后次年年初开始归还 问每年应还多少元 解题导引 10次还款连同利息之和等于本金10年后的本息 规范解答 设每年还款x元 需10年还清 那么各年还款利息情况如下 第10年付款x元 这次还款后欠款全部还清 第9年付款x元 过1年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 元 第8年付款x元 过2年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 2元 第1年付款x元 过9年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 9元 10年后应还款总数为20000 1 10 10 依题意得 x x 1 10 x 1 10 2 x 1 10 9 20000 1 10 10 解得答 每年应还3255元 一题多解 第1次还款x元之后欠银行20000 1 10 x 20000 1 1 x 第2次还款x元后欠银行 20000 1 10 x 1 10 x 20000 1 12 1 1x x 第10次还款x元后 还欠银行20000 1 110 1 19x 1 18x x 依题意得 第10次还款后 欠款全部还清 故可得20000 1 110 1 19 1 18 1 x 0 解得答 每年应还3255元 规律方法 解答数列实际应用问题的步骤 1 确定模型类型 理解题意 看是哪类数列模型 一般有等差数列模型 等比数列模型 简单的递推数列模型 基本特征见下表 2 准确解决模型 解模就是根据数列的知识 求数列的通项 数列的和 解方程 组 或者不等式 组 等 在解模时要注意运算准确 3 给出问题的回答 实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案 在解题中不要忽视了这点 易错提醒 解决数列应用问题 要明确问题属于哪一种类型 即明确是等差数列问题还是等比数列问题 是求an还是sn 特别是要弄清项数 变式训练 某市2015年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2015年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 解析 1 设中低价房的面积构成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 解得n 10 答 到2024年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房的面积构成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08n 1 0 85 当n 5时 a50 85b6 即满足上述不等式的最小正整数n为6 答 到2020年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 加固训练 1 2016 成都模拟 张丘建算经 卷上第22题为 今有女善织 日益功疾 且从第2天起 每天比前一天多织相同量的布 若第1天织5尺布 现在一月 按30天计 共织390尺布 则每天比前一天多织尺布 解析 选c 由题可知 每天织布的尺数组成等差数列 an 首项是5 设公差为d 因为前30项和为390 根据等差数列的前n项和公式 有解得d 2 某工业城市按照 十二五 2011年至2015年 期间本地区主要污染物排放总量控制要求 进行减排治污 现以降低so2的年排放量为例 原计划 十二五 期间每年的排放量都比上一年减少0 3万吨 已知该城市2011年so2的年排放量约为9 3万吨 1 按原计划 十二五 期间该城市共排放so2约多少万吨 2 该城市为响应 十八大 提出的建设 美丽中国 的号召 决定加大减排力度 在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下 自2013年起 so2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p 为使2020年这一年so2的年排放量控制在6万吨以内 求p的取值范围 解析 1 设 十二五 期间 该城市共排放so2约y万吨 依题意 2011年至2015年so2的年排放量构成等差数列 an 且a1 9 3 公差d 0 3 所以y 5 9 3 0 3 43 5 万吨 答 按原计划 十二五 期间该城市共排放so2约为43 5万吨 2 由已知得 2012年的so2年排放量为9 3 0 3 9 万吨 所以2012年至2020年so2的年排放量构成等比数列 bn 且b1 9 公比q 1 p 由题意得9 1 p 84 94 答 so2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为 4 94 1 考向四数列与函数 不等式的综合问题 考情快递 考题例析 命题方向1 数列与函数的综合问题 典例4 2014 陕西高考 设fn x x x2 xn 1 n n n 2 1 求f n 2 2 证明 fn x 在内有且仅有一个零点 记为an 且0 an 解题导引 1 求导后代值 利用错位相减法求得数列的前n项和即可得解 2 首先求导 确定函数单调性 利用零点的存在性定理说明零点的唯一性 并确定其范围 规范解答 1 由题设f n x 1 2x nxn 1 所以f n 2 1 2 2 n 2n 1 所以2f n 2 1 2 2 22 n 2n 得 f n 2 1 2 22 2n 1 n 2n所以f n 2 n 1 2n 1 2 因为fn 0 1 0 所以fn x 在内至少存在一个零点 又所以fn x 在内是增加的 因此 fn x 在内有且仅有一个零点an 由于所以由此可得故所以 典例5 2015 重庆高考 在数列中 a1 3 an 1an an 1 0 n n 1 若 0 2 求数列的通项公式 2 若 k0 n k0 2 1 证明 命题方向2 数列与不等式的综合问题 解题导引 1 由题意结合递推关系可以直接证明数列为等比数列 从而可求出数列的通项公式 2 利用题意及放缩法证明 规范解答 1 由 0 2 有an 1an n n 若存在某个n0 n 使得 0 则由上述递推公式易知重复上述过程可得a1 0 此与a1 3矛盾 所以对任意n n an 0 从而an 1 2an n n 即是一个公比为q 2的等比数列 故an a1qn 1 3 2n 1 2 由 1 数列的递推关系变为an 1an an 1 0 变形为由上式及a1 3 0 归纳可得3 a1 a2 an an 1 0 因为 所以对n 1 2 k0求和得 另一方面 由上已证的不等式知得综上 技法感悟 1 解决函数与数列的综合问题的基本思路 1 数列是一类特殊的函数 它的图象是一群孤立的点 因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题 2 可将数列问题转化为函数问题 借助函数的知识 如单调性 最值来解决 2 数列中不等式的处理方法 1 函数方法 即构造函数 通过函数的单调性 极值等得出关于正实数的不等式 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 2 放缩方法 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 3 比较方法 作差或者作商比较 4 数学归纳法 使用数学归纳法进行证明 题组通关 1 2016 黄冈模拟 已知等比数列 an 的首项a1 201