高中数学专题复习讲座之二--数列.doc

高考数学专题复习讲座之二数列山西省平遥中学 常毓喜数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考察的重点，分值约占总分的8%10%，考察的重点是等差、等比数列的基础知识，基本技能，基本思想方法，通过数列知识测试学生的逻辑推理能力，运算能力，分析和解决问题的能力，一般有一大一小两个题目，小题测重于数列自身知识的考察，诸如概念，性质，基本量的计算等，要求学生掌握基本概念和基本技能大题多以综合考察为主，如与函数，不等式，方程，几何，向量等数学分支知识组合，中等难度，常体现函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想在复习过程中要注意突出基本知识的深化，基本技能的活用，常用方法的总结，重点知识的再现，注重探索、综合、应用型，加强思维、推理和运算一、等差，等比数列的概念和性质等差数列等比数列定义an+1-an=d或an+1-an=an-an-1an+1/an=q或an+1/an=an/an-1通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1中项A=G =（ab0）前n项和公式Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2Sn=主要性质1.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.2.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍组成等差数列3. am=an+(n-m)d 4.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(an+an+1). 5. 若a10，则an是递增数列，Sn有最小值；若a10，d0，则an是递减数列，Sn有最大值；1.若m+n=p+q,则aman=apaq.2.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍组成等比数列3. am=an qn - m基本量a1，an，n，d，Sna1，an，n，q，Sn【例1】an是等差数列，公差为d，若=72，a1 - a2n = 33，则d=A3 B - 3 C - 2 D - 1分析：由等差数列的定义及已知条件有nd= -18且(-2n-1）d = 33，经整体代换可得d = -3，故而选B.【例2】已知：1是a2和b2 的等比中项，又是与的等差中项，又U=|，则U的值是（ ）A0 B1 C1或 0 D不存在分析：由已知可有即当ab=1时，a + b =2，a2 + b 2=（a + b）2-2ab = 2，得=1，即U=1；当ab= -1时，a + b = -2，a2 + b 2=（a + b）2-2ab = 6，得=-，即U= 所以U= 1或 0，故而选C【例3】设x，a1 ，a2 ，y成等差，x，b1 ，b2 ，y成等比，则U=的取值范围是（ ）A；B C D分析：由a1 +a2 = x+y，b1 b2 = xy有U = ，又由已知有xy0，若xy0，则U=4；若xy0，则U=2+2 2 =0；综上所述选B.【例4】设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项的和，若Sn是等差数列，则q= .分析：当q=1时，Sn=na1,Sn-Sn-1=na1-(n-1)a1=a1是常数，这时Sn是等差数列；当q1时，Sn=，Sn-Sn-1=a1qn-1不是常数，即Sn不是等差数列，所以q=1.【例5】在等差数列an中，若a10=0，则有a1+ a2+ +a n = a1+ a2+ +a19 - n （n19,nN*），类似于上述性质，相应地在等比数列bn中，若b9=1，则有等式成立分析：等差数列an中， a10=0a9+a11 = a8+a12 = a1 +a19 =0 a1+ a2+ +a 19 =0同理 ，等比数列bn中， b9=1b8b10 = b7b11 = b1b17 =1 b1b2b 17=1（n0且S3=S11，求Sn的最大值【解法1】设an的首项为a，公差为d，则根据题意得：3a+3d=11a+55d,即：d=-a0.所以Sn=an+n(n-1)d= -an2+an,当n=7时Sn取到最大值.【解法2】同解法1得：d=-a0，故当时Sn最大解而得：n=7，即S7最大【解法3】由S3=S11得：a4+a5+a10+a11=0,又a4+a11=a5+a10=a7+a8=0,所以：a7+a8=0. 由已知d=-a0,a80,(n+1)an2-nan2+anan+1=0.分析 1) 由an+1=2an-2,得: an+1-2=2an-4,即an+1-2=2(an-2),所以,故数列an-2是以1为首项,以2为公比的等比数列，从而an-2=2n-1,即=2n-1+2.2)由an+1=得:.即,所以数列是以1为首项,以为公差的等差数列故=1+ (n-1)= n+.an=上述两小题都通过构造特殊数列求得其通项公式 3) a2=a1+1,a3=a2+3,a4=a3+5,an=an-1+(2n-3).上述各式相加,得:a2+a3+an=a1+a2+an-1+(1+3+5+(2n-3),即an=a1+n2, an=n2.4）由(n+1)an2-nan2+anan+1=0得：(an+an+1)(n+1)an+1-nan=0. 而an+an+10, 故(n+1)an+1-nan=0即：所以以上各式相乘，得：，即an=注意：利用递推公式求通项的基本思路是，设法把数列与两类特殊数列联系起来，或者采用一些如迭加法、迭乘法等特殊的的方法【例11】已知数列满足，（）求，； （）证明（）4分（）证明：由已知，故8分 所以证得。设为常数，且（）证明对任意（）假设对任意有，求的取值范围（）证法一：（i）当n=1时，由已知=1，等式成立；（ii）假设当n=k（k1）等式成立，即 ，那么 =，也就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（i）和（ii），可知等式对任何nN+成立6分证法二：如果设，用代入，可解出所以是公比为2，首项为的等比数列，=，即6分（）解法一：由通项公式，等价于-8分（i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为，即为-式对k=1，2，都成立，有10分（ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为，即为-式对k=1，2，都成立，有12分综上，式对任意nN+ 成立，有故的取值范围为（0，）14分解法二：如果成立，特别取n=1，2有 ，因此9分下面证明当时，对任意nN+ 有由通项公式（i）当n=2k1，k=1，2，时， 12分（ii）当n=2k，k=1，2，时， 故的取值范围为（0，）14分三数列的综合问题这类题目出现频率也较高，同样需要引起重视【例12】已知函数f（x）=a1x+ a2x2+ a3x3+ anxn，nN*，且a1，a2， a3，an构成一个数列an，若f（1）=n2，1）求数列an的通项公式；2）证明：0f（）1分析：f（1）=a1+