高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质课件 北师大版必修1.ppt

4 2二次函数的性质 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像及性质 注 ymax ymin分别表示函数y f x 的最大值 最小值 做一做已知函数f x x2 2x 3 则 1 函数f x 的顶点是 它的图像的对称轴是 2 函数的递增区间是 递减区间是 3 当自变量x为时 函数的图像达到最低点 它的最小值是 4 该函数在 0 2 上的最小值和最大值分别为 解析 把已知函数配方得f x x 1 2 4 1 f x 的顶点是 1 4 对称轴x 1 2 因为a 1 0 所以函数图像开口向上 递增区间为 1 递减区间为 1 3 在x 1时达到最低点 最小值为 4 4 结合图像可知函数在 0 2 上的最小值为 4 最大值为 3 答案 1 1 4 x 1 2 1 1 3 1 4 4 4 3 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 所有的二次函数在定义域r上一定有最大值和最小值 2 如果二次函数f x 的图像关于直线x a对称 则f x 一定满足关系式f a x f a x 3 如果二次函数f x 满足关系式f x f 2a x 则说明该二次函数f x 的对称轴为x 2a 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一二次函数图像的对称性 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 变式训练1如果函数f x x2 bx 1对任意实数x都有f 2 x f 2 x 求f 1 f 2 的值 解 由题意知 函数图像关于x 2对称 故 2 得b 4 所以f x x2 4x 1 f 1 1 4 1 2 f 2 4 8 1 3 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究二二次函数的单调性 例2 导学号91000072已知二次函数f x x2 kx k在区间 2 4 上是单调函数 求实数k的取值范围 分析 首先求出f x 的单调区间 要使f x 在 2 4 上具有单调性 需使区间 2 4 为f x 单调区间的子集 从而建立不等式求解k的取值范围 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 变式训练2已知函数f x x2 mx 1在区间 1 上是减少的 求m的取值范围 解 根据题意画出函数的草图 由于二次函数f x 在区间 1 上是减少的 则其对称轴x 在点 1 0 的左侧或过该点 所以有 1 解得m 2 所以实数m的取值范围是 2 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究三二次函数的最值 值域 例3 已知函数f x x2 2ax 2 1 当a 1时 求函数f x 在区间 5 5 上的最大值和最小值 2 用a表示出函数f x 在区间 5 5 上的最值 分析 将原函数先配方 对于第 2 问还要结合图像进行分类讨论 解 1 当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 因为1 5 5 故当x 1时 f x 取得最小值 f x min f 1 1 当x 5时 f x 取得最大值 f x max f 5 5 1 2 1 37 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 2 函数f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2的图像开口向上 对称轴为x a 当 a 5 即a 5时 函数在区间 5 5 上是增函数 所以f x max f 5 27 10a f x min f 5 27 10a 当 5 a 0 即0 a 5时 函数图像如图 1 所示 由图像可得f x min f a 2 a2 f x max f 5 27 10a 当0 a 5 即 5 a 0时 函数图像如图 2 所示 由图像可得f x max f 5 27 10a f x min f a 2 a2 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 当 a 5 即a 5时 函数在区间 5 5 上是减函数 所以f x min f 5 27 10a f x max f 5 27 10a 综上可得 当a 5时 f x 在区间 5 5 上的最大值为27 10a 最小值为27 10a 当0 a 5时 f x 在区间 5 5 上的最大值为27 10a 最小值为2 a2 当 5 a 0时 f x 在区间 5 5 上的最大值为27 10a 最小值为2 a2 当a 5时 f x 在区间 5 5 上的最大值为27 10a 最小值为27 10a 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 变式训练3求函数f x x2 4x 4在 t t 1 t r 上的最小值g t 解 由f x x2 4x 4 x 2 2 8 x t t 1 知对称轴为直线x 2 当t 2 t 1 即1 t 2时 g t f 2 8 当t 12时 f x 在 t t 1 上是增加的 g t f t t2 4t 4 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究四二次函数的实际应用 例4 导学号91000073某人定制了一批地砖 每块地砖 如图所示 是边长为1米的正方形abcd 点e f分别在边bc和cd上 且ce cf cfe abe和四边形aefd均由单一材料制成 制成 cfe abe和四边形aefd的三种材料的每平方米价格依次为30元 20元 10元 问点e在什么位置时 每块地砖所需的材料费用最省 分析 点e在bc上的位置由ce的长度确定 因此可设ce x 然后用x将每块地砖所需的材料费用表示出来 最后利用函数的知识求最小值 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解 设每块地砖所需的材料费用为w元 ce x米 则be 1 x 米 由于制成 cfe abe和四边形aefd三种材料的每平方米价格依次为30元 20元 10元 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 变式训练4在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个内接矩形草坪 阴影部分 若要使草坪面积最大 则x应为m 解析 设矩形花园的宽为ym 矩形花园的面积s x 40 x x2 40 x x 20 2 400 故当x 20时 矩形花园的面积最大 答案 20 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 因缩小了参数的范围而致误典例已知f x x2 ax 3 a 若x 2 2 f x 0恒成立 求a的取值范围 错解 结合二次函数f x x2 ax 3 a的图像可知 要使f x 0在x 2 2 上恒成立 则只需 a2 4 3 a 0对任意x 2 2 恒成立 而上面错解中误认为f x 0对任意x r恒成立 因此使所求范围缩小了 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 123456 1 已知函数y x2 4x 1 当x 3 3 时的值域是 a 5 b 5 c 20 5 d 4 5 解析 因为y x2 4x 1 x 2 2 5 所以f x 图像的对称轴为x 2 开口向下 所以ymax f 2 5 ymin f 3 20 故函数的值域为 20 5 答案 c 123456 2 若二次函数y 3x2 2 a 1 x b在区间 1 上是减少的 则 a a 2d a 2答案 b 123456 3 若f x x2 a 2 x 3 x a b 的图像关于x 1对称 则b 解析 由题意知a 2 2 即a 4 由1 a b 1 得b 6 答案 6 123456 4 某电子产品的利润y 元 关于产量x 件 的函数解析式为y 3x2 90 x 要使利润获得最大值 则产量应为件 解析 由于y 3x2 90 x 3 x 15 2 675 所以当x 15时 y取最大值 即产