!§2.1.2演绎推理.doc

推理与证明“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。一、内容结构文科（10课时）理科（8课时）合情推理：类比、归纳，数学发现；演绎推理：验证结论直接证明：分析法、综合法；间接证明：反证法数学归纳法数学文化：公理化思想数学的基本思维过程文科（10课时）2.1合情推理与演绎推理 约5课时2.2直接证明与间接证明 约4课时小结 约1课时理科（8课时）2.1合情推理与演绎推理 约3课时2.2直接证明与间接证明 约3课时2.3数学归纳法 约2课时推 理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳（部分到整体、特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）二、教学目标1.了解合情推理和演绎推理的含义。2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。4.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法的思考过程、特点。 5.了解间接证明的一种基本方法反证法的思考过程、特点。 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。三、编写特点与教学建议 以已学知识为载体，讲推理和证明方法。证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。 任务：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。 通过具体例子（已学的内容）总结各种证明方法的思考过程和特点、明确它们的内涵，通过应用进行强化，逐步主动、自觉地使用。 1. 结合实例了解推理（引入、应用） 紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例，以具体的例子为载体，了解合情推理和演绎推理，避免空泛地讲推理。归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 1037，20317，301317偶数奇质数奇质数63+3，83+5，105+5，125+7，147+7， 165+11， 1 00029+971， 一个偶数（大于6）总可以表示成两个奇质数之和； 没有发现反例 。歌德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。总结特点： 这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，通常称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的一般步骤： 对某类事物的部分对象(有限的资料)进行观察、分析、整理； 提出猜想； 检验猜想! 类比推理“火星上是否有生命”总结特点： 这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)! 类比推理举例类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想直角三角形3个面两两垂直的四面体C903个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S归纳推理、类比推理统称为合情推理.演绎推理举例归纳出演绎推理的含义特点：前提和推理形式（规则）正确，结论正确！证明函数f(x)=x22x 在(，1）内是增函数分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果f(x)0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增 小前提是f(x) =x22x 在(，1）内满足f(x)0，这是证明本例的关键注：很多情况下，省略大前提。2.纠正典型错误，进一步理解推理 合情推理的结论不一定正确费马猜想：任何形如（nN*）的数都是质数反例： （初步体验证明的必要性）“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形” ； “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行” 类比“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”；“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行” 演绎推理的形式正确，大前提错误，结论也是错误的3.结合实例讲“证明” 通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真正作到“论证有据”： 回忆遇到过的某类证明方法的特点 通过证明典型且简单的数学问题或实际问题，体验证明方法的特点 总结特点，给出证明方法的定义 证明的流程框图（提炼特点） 证明数学命题（强化、自觉使用） 综合法（1）回忆、描述 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的结论（2）举例体验特点（3）总结特点一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 。（4）证明数学命题（强化、自觉使用）分析法（1）回忆、描述 在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个明显成立的条件为止（2）举例、体验特点（3）总结特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法 （4）证明数学命题（强化、自觉使用）反证法反证法的特点(选修1-2)： 选修2-2中的引例稍复杂,解决问题的过程均为: 假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立 应用反证法证明数学命题（强化、自觉使用） 应用反证法的情形： 直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很多类进行讨论（引例）数学归纳法数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。 特点：通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形 归纳出数学归纳法的原理 一个数学问题（需要探索新的证明方法） “对于数列an，已知a1， （n1，2，），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为an ” 逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立 “多米诺骨牌”全部倒下的原理 使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件： 第一块骨牌倒下； 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下 两个条件的作用： 条件：奠基；条件：递推关系 利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜想（经历利用合情推理提出猜想逻辑推理进行证明）数学归纳法的原理：（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜想成立的最小的正整数)；（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k1也成立（kn0）学生普遍存在的问题： 为什么第二步能在假设下进行证明？ 第二步实际上是证明一个命题：“假设n=k（kn0）时命题成立，证明当n=k1时命题也成立” 其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递. .合情推理与逻辑推理的联系与差异通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理所得结论的正确性需要演绎推理（包括数学证明）进行证证明。合情推理往往提供证明思路2.1.2演绎推理教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理教学过程：学生探究过程：一 复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。类比提出猜想二 问题情境。 观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属, 所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数， 所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, tan 是三角函数,所以，tan 是 周期函数。提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？二学生活动 ：1.所有的金属都能导电 大前提铜是金属, -小前提所以，铜能够导电 结论2.一切奇数都不能被2整除 大前提(2100+1)是奇数，小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. 结论3.三角函数都是周期函数, 大前提tan 是三角函数, 小前提所以，tan 是 周期函数。结论三， 建构数学 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.四，数学运用例1.把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提） 例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1） lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, 大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90 -小前提所以ABD是直角三角形 结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为 DM是直角三角形斜边上的中线, 小前提 所以 DM= AB 结论 同理 EM=AB所以 DM=EM.由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略再来看一个例子例4.证明函数在内是增函数分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增 小前提是的导数在区间内满足，这是证明本例的关键证明：. 当时，有，所以. 于是，根据“三段论”得，在内是增函数在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数是增函数，大前提而是指数函数， 小前提所以是增函数 结论(1)上面的推理形式正确吗？ (2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当时，指数函数是减函数），所以所得的结论是错误的“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想例如，欧几里得的原本就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法继原本之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域例如，牛顿在他的巨著自然哲学的数学原理中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理思考: 合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想巩固练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。教学反思：演绎推理具有如下特点:课本第33页 。演绎推理错误的主要原因是(1)大前提不成立；(2) 小前提不符合大前提的条件。 在课堂上，要让学生领悟到：解答演绎推理题时的方法技巧：1、紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰。试题中所给的陈述有的合乎常理，有的可能不太合乎常理。但你心中必须明确，这段陈述在此次考试中被假设是正确的、不容置疑的。考生不能对试题所陈述的事实的正误提出怀疑，也不能自作聪明地以自己具备的这方面的知识进行推理，得出答案，而完全忽视试题中所陈述的事实。2、依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系。在演绎推理题中，前提与结论之间有必然性的联系，结论不能超出前提所界定的范围。因此，在解答此种试题时，必须紧扣题干部分陈述的内容，正确答案应与所给的陈述相符。必须注意的是，此类试题的备选答案具有很强的迷惑性，即各个选项几乎都是有道理的，但有道理并不等于与这段陈述直接相关。正确的答案应与陈述直接有关，即从陈述中直接推出。3、必要时，可以在草稿纸上用自己设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论。演绎推理【教学目标】： 1、通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性； 2、掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。【教学过程】：一、 问题引入：（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能导电；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道饶太阳运行。冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星是以 椭圆型轨道饶太阳运动。（3）三角函数都是周期函数，是三角函数。因此是周期函数。问：上述推理有什么共同特征？二、新授：关于类比推理的几种题型：1、演绎推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2、三段论法：如果一个推理规则能用符号表示为“如果”。那么这种推理规则叫做三段论推理（1）三段论式推理是演绎推理的主要形式，它包括： 大前提第一个命题，它提供了一个一般性的原理 小前提第二个命题，它指出了一个特殊对象 结论前两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到的第三个命题（2）一般格式： （3）：集合观点：若集合中的每一个元素都具有属性且是的子集,那么集合中的每一个元素都具有属性3、演绎推理的特点：（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系。只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因此，演绎推理是数学中严格证明的工具；（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少有创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。例1：指出下列推理中的错误：（1）因为对数函数是增函数（大前提），而是对数函数（小前提）， 所以是增函数（结论）。（2）因为过不共线的三点有且仅有一个平面（大前提），而为空间三点（小前提）， 所以过只能确定一个平面（结论）。（3）因为金属铜、铁、铝能导电（大前提），而金是金属（小前提），所以金能导电（结论）。例2 用三段论写出下题的证明过程。如图，分别是上的点，求证：注：为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式。故引入中的三个推理，可分别写成“因为铀是金属，所以铀能导电”、“因为冥王星是太阳系的大行星，所以冥王星是以椭圆型轨道饶太阳运动”、“是三角函数。因此是周期函数”。对于复杂的论证，常常采用一连串的三段论，并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提。4、合情推理与演绎推理的区别：（1）合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用； 演绎推理是按照严格的逻辑法则，得到新结论的推理过程。（2）归纳推理：由部分到整体，由个体到一般； 类比推理：由“特殊”到“特殊”； 演绎推理：由“一般”到“特殊”。（3）合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明； 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。（4）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程； 合情推理可发现新的数学结论、证明思路等。5、利用“三段论”证明数学问题：（1）应用三段论证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提。例3：用三段论证明：方程（为实数）有两个相异实根。例4、已知在上单调递增，求证：（2）复合三段论法：例5、已知均为正实数，求证：例6： 在梯形ABCD中，求证：平分，平分 例7：已知求证： 例8 已知点是四面体的棱的中点，过的截面将四面体分成两部分。求证：这两部分体积相等.2.1.3 推理案例赏析【学习目标】1 在学习了合情推理与演绎推理的基础上，进一步体会两种推理的应用价值会用合情推理对问题进行分析并作出归纳和类比,同时作出猜测与推断,会用演绎推理对问题进行推理论证,对合情推理作出的猜测与推断能给予科学的,明确的肯定或否定的答复。明确合情推理与演绎推理的一般过程及常用方法。 2 通过案例赏析，能正确认识合情推理与演绎推理在数学中的重要作用，养成认真观察问题、分析问题、发现事物之间的联系的良好品质，认识数学在日常生活中的重要作用，培养学好数学的意识，树立学好数学的信心,提高解决问题的综合能力.【学习重点】通过案例赏析，加强对两种推理的理解，注意比较不同之处，不要混用能正确认识两种推理在数学中的重要作用，提高解决问题的综合能力.【学习难点】两种推理的理解与应用，综合解决问题能力的培养与提高.【学习过程】一、 课前热身 1、数列，由此猜想第个数为、如图，已知垂直于矩形所在的平面，、分别为、的中点，以下是证明的过程。（在括号里填写适当的小前提、大前提）证明： ，（ ）（）（ ）（ ） ，（ ） 二、 问题情境 问题1、在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题，你能说出他的想法用的是什么推理吗？ 问题2、数列的前4项分别是有些同学说，数列的通项公式，你认为正确吗？问题3、归纳推理和类比推理有何相似之处？ 问题4、合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理呢？三、 例题精讲例1、 推导正整数平方和公式。提出问题：我们知道，前个正整数的和为， 那么，前个正整数的平方和数学活动：思路1（归纳法）思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在整个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在整个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？合情推理与演绎推理题组一归 纳 推 理1.(2010临汾模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij(i， 1jN*)是位于这个三角形数表中从上往 2 4下数第i行、从左往右数第j个数，如 3 5 7a428.若aij2 009，则i与j的和为 6 8 10 12() 9 11 13 15 17A105 B106 14 16 18 20 22 24C107 D108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32 个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i63，因为第63行的第一个数为296211 923,2 0091 9232(m1)，所以m44，即j44，所以ij107.答案：C2已知：f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(n1且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_解析：由f1(x)f(x)和fn(x)fn1(n1且nN*)，得f2(x)f1，f3(x)f2，由此猜想fn(x)(nN*)答案：f3(x)fn(x)(nN*)3对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2213 32135 4213572335 337911 4313151719根据上述分解规律，则52_，若m3(mN*)的分解中最小的数是21，则m的值为_解析：第一空易得；从23起，k3的分解规律恰为数列3,5,7,9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，21是53的分解中最小的数，m5.答案：1357954已知：sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明证明：一般性的命题为sin2(60)sin2sin2(60).证明如下：左边右边结论正确题组二类 比 推 理5.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 ()A三角形 B梯形 C平行四边形 D矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行答案：C6若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积Sr(abc)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V_.解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和答案：R(S1S2S3S4)7已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m、nN*)，则amn；现已知等比数列bn(bn0，nN*)，bma，bnb(mn，m、nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.解析：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的.故bmn.答案：8在ABC中，射影定理可以表示为abcosCccosB，其中a，b，c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想解：如图，在四面体PABC中，S1、S2、S3、S分别表示PAB、PBC、PCA、ABC的面积，、依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cosS2cosS3cos.题组三演 绎 推 理9.(2009广东高考)广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 ()ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A.20.6 B21 C22 D23解析：首先以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过1次的可能性有A种，即ABCDE，ABDCE，ACBDE，ACDBE，ADBCE，ADCBE，分别计算得ACDBE最短，且最短距离为21.答案：B10下面几种推理过程是演绎推理的是 ()A两条直线平行，同旁内角互补，由此若A，B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提A，B是两条平行直线被第三条直小前提AB180结论故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理答案：A11“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而y()x是指数函数(小前提)，所以y()x是增函数(结论)”，上面推理的错误是 ()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提错都导致结论错解析：yax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错答案：A12为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密密钥为yloga(x2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为 ()A12 B13 C14 D15解析：loga(62)3，a2，即加密密钥为ylog2(x2)，当接到的密文为4时，即log2(x2)4，x224，x14.答案：C合情推理与演绎推理(一)复习指导1推理：，这种思维方式就是推理推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理合情推理的推理过程为：(1)归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)(2)类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)由此可知：归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，由这两种推理方式即合情推理得到的结论未必正确，因此只能作为猜想，其正确与否需要通过演绎推理加以证明3演绎推理：根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。“三段论”推理是演绎推理的主要形式，也就是由大前提、小前提推出结论的推理。演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，你得到的结论一定正确演绎推理常用的四种推理形式是：假言推理，三段论推理，关系推理和完全归纳推理(二)解题方法指导1学会归纳，大胆猜想例1已知数列an的第1项a1=1，且，猜想a2008=例2将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左到右的第3个数是2学会类比，学会猜想例3平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如：两组对边分别平行的四边形为平行四边形类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：_；充要条件：_(写出你认为正确的两个充要条件)例4已知函数y=f(x)(xR)，a为非零常数，且有试问：函数y=f(x)是否可能成为周期函数，如果有可能，请给出你的证明；如果不可能，请说明理由3学会演绎推理，完善证明过程例5已知：a，b，cR*求证：103 综合法与分析法(一)复习指导数学常用的证明方法有直接证明与间接证明直接证明是以论题的已知条件和已知定义、公理、定理等作为依据，利用逻辑推理法则直接推出论题结论真实性的证明方法直接证明的两种基本方法是分析法和综合法综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列已确定真实性的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明的方法叫综合法综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因导果分析法：分析法的推理方向是由结论到已知，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如逐步归结到已知的条件或已经成立的事实，表现为执果索因(二)解题方法指导例1如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：()直线EF平面ACD()平面EFC平面BCD例2设a，b，c为正实数，求证：例3在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，求证：例4如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线于BC交于点D求证：ED2=ECEB例5在数列an中，a1=1，an1=2an2n()设，证明数列bn是等差数列；()求数列an的前n项和Sn104 反证法(一)复习指导我们知道反证法是间接证明的一种基本方法，也是数学中较重要的一种证明方法反证法是从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立的一种证明方法也就是说，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、定义、或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾。应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真(二)解题方法指导例1若a，b，c均为实数，且求证：a，b，c中至少有一个大于0例2已知函数f(x)是R上的增函数，且对任意的a，bR，都有f(a)f(b)f(a)f(b)求证：ab0例3已知函数()证明：函数f(x)在(1，)内为增函数；()用反证法证明方程f(x)=0没有负数根例4等差数列an的前n项和为()求数列an的通项an和前n项和Sn；()设，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列例 题 解 析第十章 推理与证明10.1 数系的扩充与复数的引入例1解：()所以复数的实部是2() 所以复数的虚部是()(ai)2i(a212ai)i2a(a21)i因为(ai)2i为正实数故可令由解得a1或a1，又由可知a0，故所求实数a的值为1()因为(a23a2)(a1)i是纯虚数故可得，解得a2故所求实数a的值为2(V)设zabi(a，bR)，则由可得解得或当时当时故所求的值为i或i()根据题意，设zai，则因为0a2，所以所以复数z的模长|z|的取值范围是小结：无论我们研究复数的概念复数的实部、虚部、模、共轭复数，还是确定复数的分类实数、虚数、纯虚数，都应首先给出复数z的代数形式，即zabi(a，bR)，而后再进一步深入探讨复数的构成及其分类情况例2解：()i3(1i)2i(2i)2i22() ()因为z1i，所以z22i所以()设的平方根是xyi(x，y R)，则由可得解得或所以的平方根是和(V) 又所以所以所以()所以所以z31且1zz20所以1zz2z2009(1zz2)z3(1zz2)z2007(1zz2)0小结：复数运算的结果最终要写成abi(a，bR)的形式；注意in的周期性，即i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)注意1的立方根1，的妙用(其中)我们有例3分析：求a，b的值构造关于a、b的方程组利用两个复数相等的定义，即解：因为z1i所以az2ba(1i)2b(1i)(a2b)(a2b)i(a2z)2(a22i)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i因为a，b均为实数故由az2b(a2z)2得消去b整理得：a26a80解得a2或a4相应地b1或b2所以实数a，b的值为或10.2 合情推理与演绎推理1学会归纳，大胆猜想例1分析：我们由初值a11及数列an的递推关系式势必可以逐个写出a2，a3，a4，一般我们写出一个数列的前四至五项后，就可设法建立an与n之间的函数关系，即猜想数列an的通项公式，既而猜想到a2008的值解：令n1，得令n2，得令n3，得；令n4，得归纳发现：数列an的第n项即为由此猜想：既而得到：我们由不完全归纳法得到：，那么是否对任意自然数nN*，都有我们又如何对此加以证明呢？思路1：先猜后证，代入检验分析：我们通过前5项归纳出的，可直接代回原题，特别是递推公式进行全面检验证明：当n1时，与已知相符当n2时，n2时，满足综上可知：对任意nN*成立思路2：目标变形，构造转化分析：通过归纳，我们发现：数列an既非等差、亦非等比数列而：1，2，3，4，5为自然数列于是我们希望回归定义证明是等差数列，通过解决的通项公式，进而达到解决an的通项公式的目的证明：因为所以即，且所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以即所以即所求数列的通项公式为例2分析：思路1：我们控制三角形数阵中的每行的第一个数，于是观察1，2，4，7，11，我们发现第n行第1个数为即第n行第1个数为故第n行的从左到右的第3个数为:即思路2：总体上看，前n1行共有123(n1)即个正整数，故第n行第3个数应为，即2学会类比，学会猜想例3分析：运用类比推理：平面空间四边形四棱柱平行四边形平行六面体类比：两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出：两组相对侧面分别平行的四棱柱为平行六面体类比：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出：一组相对侧面平行且全等的四棱柱为平行六面体小结：我们可以将长方形的许多性质类比到长方体中，得到长方体的边、角关系的“好”性质；我们可以将圆中的许多性质类比到球中，得到球的弧长、面积、体积的“好”性质例4分析：通常证明一个函数yf(x)为周期函数的基本方法是：回归定义，即证“若存在一个正数T，满足对定义域中的任意一实数x，都有f(xT)f(x)，则称yf(x)是一个周期函数，并称T为yf(x)的一个周期”；而此处yf(x)是一个抽象函数，我们很难猜想出它的周期，对f(xT)f(x)的证明则更是无从谈起说到周期函数，我们想到的第一个函数模型是三角函数，特别地，由联想到即由的周期为即。类比猜想yf(x)的周期为4a下面我们给出证明证明：f(x)是以4a为周期的周期函数3学会演绎推理，完善证明过程例5分析：我们首先抓住不等式中a，b，c的轮换对称性特征；定位：寻求的大小关系；进一步定位：以不等式a2b22ab为突破口，进行目标变形证明：因为a2b22ab，(a，bR*)所以2(a2b2)(ab)2所以所以同理:所以10.3 综合法与分析法例1分析：此题证明线面平行的基本思路：用中点造中位线，由线线平行证线面平行(即：找中点造中位线证线线平行出线面平行)此题证明面面垂直的基本思路：由线线垂直证线面垂直证面面垂直证明：()连结EF在ABD中，因为E、F分别为AB、BD的中点，所以EFAD，又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD()连结CF、CE在ABD中，因为ADBD，EFAD，所以EFBD在BCD中，因为CBCD，F为BD的中点，所以CFBD因为EF平面EFC，CF平面EFC，EFCFF，所以BD平面EFC，又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD小结：对于立体几何中的简单证明问题，我们都可以从已知条件和定理出发，运用综合法实现证明其核心在于：建立积极、有效的思维定势，顺