一元二次方程训练策略.doc

浅析一元二次方程问题的训练策略在数学教学中，训练是经常的，是老师根据教学的实际情况精心设计的一项教学活动，主要针对学生在知识和方法上的缺陷进行训练，拓展学生思维空间，培养学生自主分析能力和创新意识。一元二次方程问题由于涉及的知识多，综合性强，题型丰富而且灵活性强，因此学生在解决一元二次方程问题的时候会感到有难度，可能会出现这样或那样的遗漏。笔者在一元二次方程问题的综合训练方面做了一些探索，现谈谈自己肤浅看法，设想能对今后的教学有所启发和帮助。一、加强对比训练，掌握解题方法。对一元二次方程的意义、解法、判别式及根与系数的关系基本掌握以后，有的学生对方程“有实数根”和“有两个实数根”这两个问题却混淆不清。针对这种情况，我设计了两个问题进行对比训练。问题1、若关于x的方程（k2-1）x2+(2k-i) x+1=0有两个实数根，求k的取值范围。问题2、若关于x的方程（k2-1）x2+(2k-i) x+1=0有实数根，求k的取值范围。同时出现这两个问题，不少同学都很惊讶，怎么老师出了两个同样的问题呢？我提醒同学对这两个问题进行比较，看看他们有什么区别？这时候学生恍然大悟，这两个问题关键字词不同。象这样的问题必须仔细审题，不能忽视关键字词的辨析，正确辨别“有实数根”和“有两个实数根”的含义是解决问题的关键所在。通过对比，学生更加明白仔细审题在解答数学问题中的作用，明确了关于x的方程（k2-1）x2+(2k-i) x+1=0有两个实数根意味着该方程是一元二次方程并且0；而关于x的方程（k2-1）x2+(2k-i) x+1=0有实数根则包括该方程有2个实数根和1个实数根两种情况，所以要分k2-10且0和k2-1=0且2k-10两种情形加以讨论。通过这样的对比训练，学生掌握了这类问题的解题方法，更加重视一元二次方程中二次项系数不为0的条件，加强了对关键字词的辨析，有助于养成良好的审题习惯。象这样运用对比的方法把几个相关联的问题集中进行训练，有助于学生抓住问题的本质，掌握正确的解题思路和解题方法。针对学生在应用根与系数关系求一元二次方程待定系数时常常因为忽略对一元二次方程的判别式加以考察而导致错误的情况，可以采用错解辨析，并把正、误两种方法进行对比，引导学生分析导致错误的原因，有助于学生掌握正确的解题方法和解题思路。问题3、已知关于x的方程x2-(m-2)x+m2=0是否存在正数m，使方程两个实数根的平方和等于224，若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由。对这个问题，我先出示下面错误的解法，让学生判断这种解法对吗？并分析为什么？解：假设存在证数m，使方程两个实数根的平方和等于224。x1+x2=4(m-2) x1 x2=4m2 又+=22416(m-2)2-2=224 解之得，m=10 或 m= -2， m0 m=10所以，存在m=10使方程两个实数根的平方和等于224。 不少同学都觉得解法是正确的，原因在于平时做这类题型忽略了对方程判别式进行考察。我引导学生对m=10这个结果进行检验，大部分同学都发现了当m=10时，原方程没有实数根这个事实，回过来对上面的解题过程进行反思，错误的原因是忽略了0这个重要的隐含条件。找到了这类问题的正确解法，再通过对正、误两种方法的比较，学生认识到应用应用根与系数关系求一元二次方程待定系数的时候必须对判别式进行考察，以避免掉入一元二次方程的陷阱之中。在数学教学中，经常进行这样的对比训练可以提高学生的分析判断能力，有助学生掌握正确解题方法，提升学生的数学能力。二、加强题组训练，提高解题技巧。一元二次方程的问题综合性强，题型丰富。把有一定挑战性、相关联的几个问题集中在一起进行题组训练，有助于学生触类旁通，举一反三，提高提高解题技巧。针对判别式、根与系数关系等重要内容，我设计了下面的训练题组：1、已知：x1，x2 是关于x的方程4x2-(3m-5)x-6m2=0的两个实数根，且=,求m的值。2、设x1 ，x2是方程2x2-2x+3m-1=0的实数根，且1求m的取值范围。3、设x1 ，x2 是关于x的方程x2+bx+c=0的二实数根，x3 ，x4是关于x的方程x2+b2x+20=0的二实数根，且x2-x3=x1-x4=3，求b、c的值。4、如果关于x的方程x2+kx+2=0与方程x2-x-2k=0均有实数根，那么方程x2+kx+2=0与方程x2-x-2k=0是否有相同的根，若有，请求出来；若没有，请说明理由。这个题组实质上是问题3的变式训练组，把一元二次方程的问题和其它数学知识进行了组合，在这里不是让学生把每个题目都做一遍，而只是让学生从方法、思路和技巧上进行思考和归纳，这样就可以用较少的时间让学生掌握更多问题的解法，提高解题技巧。三、加强一题多变，提高解题能力。一题多变是数学教学中常用的训练手段，从一个基本的问题出发，把题目的条件做一定的改变，把学生引入一个新的境界，调动学生去迎接新的挑战，促进学生方法的迁移和思维的升华，提高解题能力。问题4、已知a、b满足a2-2a-1=0 ， b2-2b-1=0 且ab 求的值。变式训练1、已知a、b满足a2-2a-1=0 ，b2-2b-1=0 ， 求的值。变式训练2、已知a、b满足a2-2a-1=0 ，b2-2b-1=0 ， 求a2+b2的值。这组问题中，可以先引导学生思考问题4的解法，由题设条件可知， a ，b为方程x2-2x-1=0的二实数根，根据根与系数的关系很容易求出的值。后面的两个变式训练题则要分这时ab 和a=b 两种情形来讨论。三个问题还可以进行一次对比，以便学生掌握题目条件改变以后解题方法的调整，促进学生在解题方法上的类比和迁移，提高解题能力。 四、加强反思拓展，提高创新意识。训练往往不是一蹴而就的，因此，教师在训练的过程中让学生自觉反思解题的过程或对进行解题的思路、方法进行拓展，就能收到事半功倍的效果。为了强调挖掘题目隐含条件的重要性，我特别设计了下面这个问题，让学生经历了一个解答、反思、完善的全过程。问题5、设x1 ，x2是关于x的方程x2-(2m-1)x+(m2+2m)=0两个实数根，求y=+的最小值。对于这个问题，学生由 y=+= 得到y=2 m28m，配方得y=，于是就有学生说最小值是-。这时我引导学生对这个结果进行反思，不少学生都发现y=+的最小值不可能是-这一事实，大家都围绕y=+的最小值究竟是多少？又该怎样来求出这个最小值展开激烈讨论，渐渐有同学发现还没有用0这个条件。由0可求m1，而当m1时，y，所以 函数 y=+的最小值是。这样的反思和拓展，有助学生养成自觉检验和反思的解题习惯，有助于学生在反思的过程中发现问题并创造性地来解决问题，提高了创新的意识。五、加强知识的链接，提高应变能力。在教学中，老师应该不断地把新旧知识进行整和，把新知识，新方法纳入学生的认知结构中。为了把一元二次方程问题与其它数学知识联系起来，加强知识的链接，提高应变能力，我设计下面的问题：问题6、设关于x的方程2x2-(m+1)x+=0的二实数根是一个直角三角形两个锐角的正弦值，求m的值 这个问题是一元二次方程知识与解直角三角形知识的综合题，由题设条件求得m=。且当m=时，0，所以得到m=这个结论。但是，在这个问题中，只考查判别式的符号是不够的，还必须对两根的符号加以考查。本题隐含0x1 1 ， 0x21两个条件，因此只有m=才符合题意。六、加强数学思想方法，提高数学能力。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。教师在教学活动中应该重视对数学思想和方法的提炼与升华，提高学生的数学能力。问题7、已知a,b, c是ABC的三边，且b+c=8，bc=a2-12a+52，试判断ABC是什么三角形？并证明你的结论。这个问题先把b，c转化为方程x2-8x+(a2-12a+52)=0的二实数根，于是又转化为0，得(a-6)20，所以a=6，b=c=4，因而ABC是等腰三角形。当然我们关注并不是这个结果，而是以训练为桥梁，一方面通过解题和反思活动，提炼和抽象成数学思想；另一方面在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。七、加强实际应用，提高应用能力。建构一元二次方程解决生活实际问题，让学生