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数列的通项与求和一. 知识要点1.等差数列 （1）定义：(常数)；（2）通项公式： ；（3）若三个数成等差数列，即，则称为和的等差中项；（4）对任意的两项有；（5）对任意的正整数，若，则；（6）若和都是等差数列，则也是等差数列；（7）前项和公式: ；（8）是等差数列的充要条件是。（9）；（10）；（11）若，则；（12）若则；（13）若是公差的等差数列，且，则。2.等比数列（1）定义：(常数)；（2）通项公式：；（3）若三个数成等比数列，即，则称为和的等比中项；（4）对任意的两项有；（5）对任意的正整数，若，则；（6）若和都是等比数列，则也是等比数列；（7）前项和公式：；（8）无穷递缩等比数列所有项和公式：；（9）对于等比数列：；（10）若各项为正数且公比的等比数列，且，则。3. 递归数列（1）定义：对于任意的正整数，由递推关系确定的关系称为阶递推关系，由阶递推关系及给定的前项的值（初始值）所确定的数列称为阶递推数列。（2）形如的递归式的通项利用累加法可得： ；（3）形如的递归式的通项 利用累乘法可得：；（4）形如的递归式的通项 两端同时除以得，令得，求再求；即利用叠加法易得，从而.主要是形如的递推数列的通项公式的求法：类型一：递推关系形如 的数列 ；类型二：递推关系形如 的数列 ；类型三：递推关系形如 的数列 ；类型四：递推关系形如 的数列 ；（5）形如()的递归式的通项两边取对数有，令， ，仿4得，再求；（6）形如的递归式的通项设，可得，所以为方程的根，若两根，则；若两根，则；其中为常数；(7) 形如的递归式的通项利用不动点法：当时，的取值称为不动点。对于，令，即，此方程的两个根为。若，则有，p可以用待定系数法求解，为。若，则有 ，q可以用待定系数法求解，为。4. 数列求和数列求和法主要有倒序相加法、裂项相消法、错位相相减法等。二. 例题分析例1.数列，求数列的前项和。例2.数列，求数列的前项和。例3.已知正数列的前项和，求的通项公式。例4.数列满足，且，求的通项公式。例5.已知，且，求的通项公式。例6.裴波那契数列各项为，求的通项公式。三、巩固练习1.数列满足，求的通项公式.2.求的和. 3.求+.4.在数列中，（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. 7.8
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