浙江省嘉兴外国语学校高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

浙江省嘉兴外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科 ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=x|x0，b=x|1x2，则ab=（）ax|x1bx|x2cx|0x2dx|1x22（5分）若a、b是任意实数，且ab，则（）aa2b2bclg（ab）0d3（5分）已知等差数列an中，a2=7，a4=15，则前10项的和s10=（）a100b210c380d4004（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）a2b3c4d95（5分）“x3”是x24“的（）a充分不必要条件b充分必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件6（5分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a=，a=，b=1，则c=（）a1b2c1d7（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）a若m，则mb若=m，=n，mn，则c若，则d若m，m，则8（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）a9b10c11d129（5分）设tan、tan是方程x2+3x+4=0的两根，且，则+的值为（）abcd10（5分）若点o和点f分别为椭圆=1的中心和上焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）a2b3c6d8二填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分请将答案填写在答题卷上11（4分）双曲线=1的渐近线方程为12（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为13（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=14（4分）函数y=sin（x+）（xr，0，02）的部分图象如图所示，则=，=15（4分）直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长等于16（4分）已知x，yr+，且满足x+y=1，则的最小值为17（4分）给出下列结论：函数y=tanx在区间（，）上是减函数；不等式|2x1|3的解集是x|x2；m=是两直线2x+my+1=0与mx+y1=0平行的充分不必要条件；函数y=x|x2|的图象与直线y=有三个交点其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题（共5题，18-20题每题14分，21-22每题15分，共72分）18（14分）已知向量=（sinb，1cosb），向量=（2，0），且与的夹角为，其中a，b，c是abc的内角（1）求角b的大小；（2）求sina+sinc的取值范围19（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，abcd，dab=60，ab=ad=2cd=2，侧面pad底面abcd，且pad为等腰直角三角形，apd=90，m为ap的中点（1）求证：dm平面pcb；（2）求直线ad与平面pbd所成角的正弦值；（3）求三棱锥pmbd的体积20（14分）设椭圆c：过点（0，4），离心率为（）求c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标21（15分）已知f（x）=3x22x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，tn是数列bn的前n项和，求使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m22（15分）设点p（x，y）（x0）为平面直角坐标系xoy中的一个动点（其中o为坐标原点），点p到定点m（，0）的距离比点p到x轴的距离大（1）求点p的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）若直线l与点p的轨迹相交于a、b两点，且=0，点o到直线l的距离为，求直线l的方程浙江省嘉兴外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=x|x0，b=x|1x2，则ab=（）ax|x1bx|x2cx|0x2dx|1x2考点：并集及其运算 分析：根据并集的求法，做出数轴，求解即可解答：解：根据题意，作图可得，则ab=x|x1，故选a点评：本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解2（5分）若a、b是任意实数，且ab，则（）aa2b2bclg（ab）0d考点：不等式比较大小 专题：综合题分析：由题意可知ab，对于选项a、b、c举出反例判定即可解答：解：a、b是任意实数，且ab，如果a=0，b=2，显然a不正确；如果a=0，b=2，显然b无意义，不正确；如果a=0，b=，显然c，lg0，不正确；满足指数函数的性质，正确故选d点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题3（5分）已知等差数列an中，a2=7，a4=15，则前10项的和s10=（）a100b210c380d400考点：等差数列的通项公式 分析：由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果解答：解：d=，a1=3，s10=103+frac10942=210，故选b点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解4（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）a2b3c4d9考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最小值解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域abc，a（2，0），b（1，1），c（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选b点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解5（5分）“x3”是x24“的（）a充分不必要条件b充分必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：求解x24，得出x2或x2，运用充分必要条件的定义可判断解答：解：x24，x2或x2，根据充分必要条件的定义可判断：“x3”是x24“的充分不必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件的定义，简单的不等式的解法，属于容易题6（5分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a=，a=，b=1，则c=（）a1b2c1d考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用 专题：计算题分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinb，进而求出c，要注意判断角的范围解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c22bccosa得：3=1+c22c1cos=1+c2c，c2c2=0，c=2或1（舍）解法二：（正弦定理）由=，得：=，sinb=，ba，b=，从而c=，c2=a2+b2=4，c=2点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握7（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）a若m，则mb若=m，=n，mn，则c若，则d若m，m，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：阅读型分析：对于选项a直线m可能与平面斜交，对于选项b可根据三棱柱进行判定，对于选项c列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于d根据面面垂直的判定定理进行判定即可解答：解：对于选项d，若m，则过直线m的平面与平面相交得交线n，由线面平行的性质定理可得mn，又m，故n，且n，故由面面垂直的判定定理可得故选d点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题8（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）a9b10c11d12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为s=412+122+213=12故选d点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题9（5分）设tan、tan是方程x2+3x+4=0的两根，且，则+的值为（）abcd考点：两角和与差的正切函数 分析：先求出tan+tan、tantan的值确定tan、tan的符号，进而可以缩小和的范围，再根据两角和的正切公式和求出tan（+）的值得到答案解答：解：tan、tan是方程x2+3x+4=0的两根tan+tan=3，tantan=4tan0、tan0，（，0），（，0）+（，0）tan（+）=+=故选a点评：本题主要考查正切函数的两角和的公式属基础题但要注意角的范围10（5分）若点o和点f分别为椭圆=1的中心和上焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）a2b3c6d8考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的参数方程与数量积运算性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性即可得出解答：解：由椭圆=1可得a=2，b2=3，=1点o和点f分别为椭圆=1的中心和上焦点，o（0，0），f（0，1）设p，0，2）则=3cos2+4sin22sin=（sin1）2+26当且仅当sin=1时取等号的最大值为6故选：c点评：本题考查了椭圆的参数方程与数量积运算性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分请将答案填写在答题卷上11（4分）双曲线=1的渐近线方程为y=x考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的渐近线方程公式即可得到结论解答：解：双曲线的方程=1a2=16，b2=8，即a=4，b=2，则双曲线的渐近线方程为y=x，故答案为：y=x点评：本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键比较基础12（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27考点：球的体积和表面积 专题：计算题；综合题分析：正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积解答：解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l=3，故答案为：27点评：本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题13（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=7考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律 专题：计算题分析：先利用两个向量的数量积的定义求出，根据|5|=，求得结果解答：解：由题意可得=13cos120=，|5|=7故答案为：7点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题14（4分）函数y=sin（x+）（xr，0，02）的部分图象如图所示，则=，=考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：根据函数的图象求出函数的周期，然后求出，利用（）求出即可解答：解：由函数的图象可知，t=4，所以=；因为函数图象过（）所以1=sin（），所以=故答案为：；点评：本题是基础题，考查三角函数的图象及其性质，三角函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型15（4分）直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长等于4考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可解答：解：圆x2+y26x8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长为：2=4故答案为：4点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力16（4分）已知x，yr+，且满足x+y=1，则的最小值为考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用“乘1法”基本不等式的性质即可得出解答：解：x，yr+，且满足x+y=1，=（x+y）=7+=，当且仅当=6时取等号的最小值为故答案为：点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题17（4分）给出下列结论：函数y=tanx在区间（，）上是减函数；不等式|2x1|3的解集是x|x2；m=是两直线2x+my+1=0与mx+y1=0平行的充分不必要条件；函数y=x|x2|的图象与直线y=有三个交点其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：，利用函数y=tanx在区间（，）上是增函数可判断；，利用绝对值不等式的解法可得不等式|2x1|3的解集是，可判断；，利用充分必要条件的概念及应用可判断；，作出函数y=x|x2|的图象与直线y=的图象，可判断解答：解：对于：函数y=tanx在区间（，）上是增函数；函数y=tanx在区间（，）上是减函数，故正确；对于：|2x1|3，2x13或2x13，解得：x2或x1，不等式|2x1|3的解集是x|x2或x1，故错误；对于：线2x+my+1=0与直线mx+y1=0平行，2m2=0，解得m=，即m=两直线2x+my+1=0与mx+y1=0平行，充分性成立；反之，不可，即必要性不成立，m=是两直线2x+my+1=0与mx+y1=0平行的充分不必要条件，即正确；对于：作出函数y=x|x2|的图象与直线y=的图象，如下：由图可知，函数y=x|x2|的图象与直线y=有三个交点，故正确故答案为：点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查正切函数的单调性质、绝对值不等式的解法、充分必要条件的概念及应用，考查数形结合思想与转化思想三、解答题（共5题，18-20题每题14分，21-22每题15分，共72分）18（14分）已知向量=（sinb，1cosb），向量=（2，0），且与的夹角为，其中a，b，c是abc的内角（1）求角b的大小；（2）求sina+sinc的取值范围考点：数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数 专题：计算题分析：（1）由向量=（sinb，1cosb），向量=（2，0），且与的夹角为，我们可以构造一个关于角b的三角方程，解方程后，即可求出一个关于b的三角函数，结合b的取值范围，即可求出b的大小；（2）由（1）的结论，我们可得，则sina+sinc=，然后结合a的取值范围，根据正弦型函数的性质，我们即可求出sina+sinc的取值范围解答：解：（1）=（sinb，1cosb）与向量=（2，0）所成角为，4sin2b=22cosb，即4（1cos2b）=22cosb，即（cosb1）（2cosb+1）=0解得：cosb=1（舍），或cosb=，又由b为三角形内角，；（2）由（1）知，点评：是向量中求夹角的唯一公式，要求大家熟练掌握函数y=asin（x+）（a0，0）中，最大值或最小值由a确定，由周期由决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|a|，最小值为|a|，周期t=进行求解如果求其在区间上的值域和最值，则要结合图象进行讨论19（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，abcd，dab=60，ab=ad=2cd=2，侧面pad底面abcd，且pad为等腰直角三角形，apd=90，m为ap的中点（1）求证：dm平面pcb；（2）求直线ad与平面pbd所成角的正弦值；（3）求三棱锥pmbd的体积考点：用空间向量求直线与平面的夹角；三垂线定理；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）如图所示，取pb的中点n，连接mn，cn利用三角形的中位线定理及其梯形的性质可得四边形mncd是平行四边形，于是mdnc再利用线面平行的判定定理即可证明（2）如图所示，取ap的中点o，连接po，ob利用已知可得oa、ob、op两两垂直a（1，0，0），d（1，0，0），b，p（0，0，1）=，=，=（2，0，0）设平面pbd的法向量为=（x，y，z），利用，可得设直线ad与平面pbd所成角为，利用sin=|cos|=即可得出（3）利用v三棱锥pmbd=v三棱锥bmpd=即可得出解答：（1）证明：如图所示，取pb的中点n，连接mn，cn由m为pa的中点，cd，mncd四边形mncd是平行四边形，mdnc又md平面pcb，nc平面pcbmd平面pcb（2）解：如图所示，取ap的中点o，连接po，obap=pd，poad，又侧面pad底面abcd，则po平面abcd，ad=ab，bad=60，abd是等边三角形obad，ob平面apdoa、ob、op两两垂直a（1，0，0），d（1，0，0），b，p（0，0，1）=，=，=（2，0，0）设平面pbd的法向量为=（x，y，z），则，令y=，则z=3，x=3设直线ad与平面pbd所成角为，则sin=|cos|=（3）bo平面apd，bo=又smpd=v三棱锥pmbd=v三棱锥bmpd=点评：本题综合考查了三角形的中位线定理及其梯形的性质、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、平面的法向量、线面角、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）设椭圆c：过点（0，4），离心率为（）求c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系 专题：计算题分析：（）根据题意，将（0，4）代入c的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程（）根据题意，可得直线的方程，设直线与c的交点为a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x23x8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案解答：解：（）根据题意，椭圆过点（0，4），将（0，4）代入c的方程得，即b=4又得=；即，a=5c的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与c的交点为a（x1，y1），b（x2，y2），将直线方程代入c的方程，得，即x23x8=0，解得，ab的中点坐标，即中点为点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决21（15分）已知f（x）=3x22x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，tn是数列bn的前n项和，求使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出an=6n5，nn*（2）由=，利用裂项求和法求出tn=，由此能求出满足要求的最小整数m=10解答：解：（1）f（x）=3x22x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图象上，当n2时，an=snsn1=（3n22n）3（