圆锥曲线知识点.doc

椭圆一、椭圆的定义：椭圆的第一定义： 椭圆的第二定义：， ， ，二、椭圆的标准方程和几何性质：标准方程图形性质范围顶点对称性轴离心率焦点位置准线方程补充：，三、焦点访谈：通径：特别地，当与长轴垂直时，称线段为通径。双曲线一、双曲线的定义：双曲线的第一定义： 双曲线的第二定义：， ， ，二、双曲线的标准方程和几何性质：标准方程图形性质范围顶点对称性轴离心率焦点位置准线方程渐近线补充： ，三、解题秘笈：进而转化成渐近线的斜率的式子.双曲线的共轭双曲线是 ，即 ，二者具有相同的渐近线。共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线，放大的双曲线，共轭放大或放大后共轭的双曲线，所以与双曲线共用渐近线的双曲线方程可设为 ， 当 时，焦点在轴上，当 时，焦点在轴上，等轴双曲线： ，方程为 ，离心率为 ， 渐近线为 ，抛物线一、抛物线的定义：越大，抛物线的形状越 ， 越大，抛物线的形状越 ，二、抛物线的标准方程和几何性质：标准方程图形性质范围开口焦点位置准线方程对称轴顶点离心率三、解题秘笈：焦点的非零坐标是一次项的 倍，准线方程中等式右边是是一次项系数的 倍。 如抛物线方程，则焦点坐标为 ，准线方程为 。顶点在原点，对称轴为轴的抛物线可设为 ，对称轴为轴可设为 此时不具有的几何意义。焦半径为半径的圆：以为圆心、为半径的圆必与准线相 切。所有这样的圆过定点，准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径为直径的圆必与过顶点垂直 于轴的直线相切。所有这样的圆过定点，过顶点垂直于轴 的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。四、焦点访谈：设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为， ， 。焦点弦 = 。最短的焦点弦 ，（这就是为什么抛物线的标准方程为的原因）焦半径： 。 。 , 。直线与圆锥曲线的位置关系知识点一、点与圆锥曲线的关系：曲线条件结论椭圆，点在曲线上，点在曲线外，点在曲线内双曲线，点在曲线上，点在曲线外，点在曲线内抛物线，点在曲线上，点在曲线外，点在曲线内知识点二：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。设，由，消去得：1直线和椭圆的位置关系：(1)0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点2直线和双曲线的位置关系：（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0，则直线和双曲线相离，无公共点注意：（1）0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点； （4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P点在双曲线的含焦点区域外时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两 支相切的两条切线，或有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P点在双曲线上时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的一条切线，共三条； P在两条渐近线上但非原点，一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线，共两条；P点在含焦点区域内时，两条与渐近线平行的直线，共两条； P为原点时不存在这样的直线；3直线和抛物线的位置关系：（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则 (1)若0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直 线与抛物线的平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。知识点三：直线与圆锥曲线相交所得的弦长当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则弦长公式：其中当存在且不为零时, 弦长公式还可以写为注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题知识点四：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。曲线方程求曲线的方程与求轨迹是不同的，若求轨迹不仅要求出方程，而且还要说明所求轨迹的图形的位置，形状等信息。几种常见求轨迹方程的方法（1）直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）动点所满足的几何条件列出等式，再利用坐标代替这等式，化简得出曲线方程。（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程。（3）待定系数法：若已知是何种曲线，再求曲线方程，一般采用待定系数法。（4）相关点法（代换法）：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且可用表示，则将点坐标代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程。（5）参数法：如果