高考数学一轮总复习 第九章 直线和圆的方程 9.2 圆的方程课件 理 新人教B版.ppt

9 2圆的方程 高考理数 1 圆的标准方程 1 方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 表示圆心为 a b 半径为r的圆的标准方程 2 特别地 以原点为圆心 r r 0 为半径的圆的标准方程为x2 y2 r2 2 圆的一般方程方程x2 y2 dx ey f 0可变形为 1 当d2 e2 4f 0时 方程表示以为圆心 为半径的圆 2 当d2 e2 4f 0时 方程表示一个点 3 当d2 e2 4f 0时 方程不表示任何图形 3 p x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 知识清单 1 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆外 2 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆上 3 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆内 知识拓展 1 确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程 都有三个字母 a b r或d e f 的值需要确定 因此需要三个独立的条件 利用待定系数法得到关于a b r 或d e f 的三个方程组成的方程组 解之得到待定字母系数的值 从而确定圆的方程 2 若a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 abc外接圆半径的求解 可利用正弦定理 2r a b c为 abc对应三边的长 r为 abc外接圆的半径 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 1 选形式 若已知条件多与圆心 半径 与直线相切 弦长 弧长 三角形 扇形 面积 距离等几何性质有关 常选用圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 若已知条件与圆上的普通点相关 则常选用圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 2 定参数 若已知条件与圆的几何性质相关 则采用几何法 若已知条件与圆心 半径有关 则采用待定系数法 但是不论哪种形式 都要确定三个独立参数 所以应该有三个独立等式 例1 2015课标 7 5分 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn a 2b 8c 4d 10解析解法一 待定系数法 选标准方程形式求圆的参数 设圆心为p a b 由点a 1 3 c 1 7 在圆上 知b 2 再由 pa pb 得a 1 则p 1 2 pa 5 于是圆p的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y 2 2 则 mn 2 2 2 2 4 突破方法 方法1圆的方程 解法二 待定系数法 选一般方程形式求圆的参数 设过a b c三点的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 代入a b c三点的坐标 得解得 圆的方程为x2 y2 2x 4y 20 0 令x 0 得y2 4y 20 0 ym yn 4 ym yn 20 mn ym yn 4 解法三 几何法 利用几何性质确定圆的参数 由已知得kab kcb 3 所以kab kcb 1 所以ab cb 即 abc为直角三角形 其外接圆圆心为 1 2 半径为5 所以外接圆的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y 2 2 所以 mn 4 答案c1 1求圆心在直线y 4x上 并且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 的圆的方程 解析解法一 设圆心c a 4a 则c到l的距离d 点p在圆上 pc 即a2 2a 1 0 解得a 1 圆心c 1 4 d r 2 圆的标准方程为 x 1 2 y 4 2 8 解法二 过切点p且与l垂直的直线是y 2 x 3 即x y 5 0 由得圆心坐标为 1 4 于是r 2 圆的标准方程为 x 1 2 y 4 2 8 处理与圆有关的最值问题 应充分考虑圆的几何性质 并根据代数式的几何意义 借助数形结合思想求解 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 1 形如 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 也可用三角代换求解 3 形如 x a 2 y b 2的最值问题 可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 例2 2015内蒙古一机一中期中 15 已知实数x y满足 x 2 2 y2 3 则的最大值为 解题思路考虑的几何意义 求过原点且与圆相切的直线的斜率 结论解析 表示连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率 易知取最大值时 该直线与圆相切 设 k 则kx y 0 方法2与圆有关的最值问题 由 得k 故 答案