第八届数学建模资料2.doc

华南师范大学第八届大学生数学建模竞赛宣传资料 共青团华南师范大学数学科学学院委员会应用数学研究会一、应数会简介应用数学研究会（简称应数会）其前身为成立于1982年的中学数学研究会。在2004年，中学数学研究会正式改名为应用数学研究会，成为数学科学学院团委的一个部门。协会一直以来在校团委、校社联、数科院团委的关心和支持下成长，每年承办由校团委主办的跨越至少两个校区的华南师范大学大学生数学竞赛及华南师范大学大学生数学建模竞赛，迄今已成功举办第七届数学建模竞赛及第十五界数学竞赛。数学竞赛和数学建模活动已经成为数学科学学院的两个品牌活动，活动的开展极大地丰富了校园的数学文化和促进了校园数学文化的交流，得到了领导、老师、同学的一致肯定。*华南师范大学第五届应用数学研究会主要干部通讯绿简介：应数会唐光灿会长男沁园20115989068943668943应数会陈泽娜秘书长女西六23513824483588613588应数会陈志丹副部长女西六23513760861432661432应数会陈康武副部长男西三405 13760889445669445应数会刘广伟干事男西三507 15017509203619203应数会张俏霞干事女西四41315017506548616548应数会卢梦飞干事女西四30915017527391637391应数会王磊干事男西三507 15017527380627380二、历届的成绩1、近几年协会承办校数学竞赛的参赛情况： 2005-2006学年，第十二届报名人数为1500人，实考人数860人； 2006-2007学年，第十三届报名人数为2359人，实考人数1684人； 2007-2008学年，第十四届报名人数为2860人，实考人数1940人； 2008-2009学年，第十五届报名人数为4203人，实考人数2900人。2、近几年协会承办校数学建模的参赛情况： 2004-2005学年，第四届全校实际参赛有65队，共180人； 2005-2006学年，第五届全校实际参赛有127队，共361人； 2006-2007学年，第六届全校实际参赛有230队，共630人； 2007-2008学年，第七届全校实际参赛有303队，共837人。3、广东省数学建模赛绩 2006年：4个一等奖，3个二等奖，6个三等奖 2008年：3个一等奖，5个二等奖，3个三得奖4、全国大学生数学建模竞赛获奖成绩 1999年：1个全国二等奖 （创维杯）2000年：1个全国一等奖，6个全国二等奖 （网易杯）2001年：2个全国一等奖，2个全国二等奖2003年：3个全国一等奖，4个全国二等奖 （高教社杯）2004年：1个全国一等奖，3个全国二等奖 （高教社杯）2005年：4个全国一等奖 （高教社杯）2006年：1个全国一等奖，2个全国二等奖 （高教社杯） 2007年：4个全国二等奖 （高教社杯）2008年：1个全国一等奖，2个全国二等奖5、美国数学建模竞赛2006年：参赛队伍共7队，一等奖1对，二等奖4队，成功参赛2队2007年：参赛队伍共6队，一等奖1队，二等奖3队，成功参赛2队2008年：参赛队伍共7队，一等奖2队，二等奖4队，三等奖1队2009年：参赛队伍共8队，一等奖1队，二等奖2队，三等奖5队三、第八届数学建模赛程表项目时间备注报名4月17号4月25号到各班团支书处报名竞赛5月4号上午8点5月13号上午8点论文作品不得抄袭，否则取消资格上交作品5月13号上午10点前交到院系团委联系人处成绩公布6月上旬关注数科院主页注意事项：1.每个参赛队伍最多由三人组成，可跨院系、年级自由组队。2.队长认真填写整队的队员资料。若跨院系组队，则请到参赛队队长所在院系报名，请注意:报名时以队为单位报名。3.参赛队伍如有疑问可以到其所在学院负责人处咨询，或登录 数科院团委主页：/shuxue/index.asp 应用数学研究会主页：/shuxue/type.asp?typeID=26四、数学建模的步骤和论文的写作数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型解决实际问题的全过程。现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答建立求解检验分析数学建模的全过程1、数学模型的建立，就是指从现实对象的信息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的数量关系，表述成数学模型。2、数学模型的求解，就是指运用所选择的数学方法求解数学模型，采用适当的计算机软件能够扩大可解决的问题的范围，并能减少计算错误，常用于求解数学模型的计算机软件有：Maple、Mathematica等计算机代数系统（computer algebra system，CAS）；MATLAB、Lingo等数值计算软件；SAS、SPSS等统计软件；Excel等电子表格处理软件。3、数学模型的分析，就是指对数学模型的解答进行数学分析，包括对结果的误差分析或统计分析、模型对数据的灵敏性分析、模型对假设的强健性分析。4、数学模型的检验，就是指把数学模型的解答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的分析、预报、决策或控制的结果，检验现实对象的解答是否符合现实对象的信息（实际的现象、数据或计算机仿真），从而检验数学模型是否合理、是否适用。如果检验的结果说明该数学模型不够合理、不适用于实际对象，首先要考虑最初从实际对象的信息提出的数学问题以及选择的数学方法是否适当，是否要重新提出数学问题、重新选择数学方法；其次要考虑模型建立的阶段所提出的简化假设是否合理，是否足够，通过修改假设，或补充假设，重新建模。数学建模的过程往往需要经历反复和完善，直到满意。数学建模取得满意的结果以后，可以根据实际对象的需要进一步应用所建立的数学模型来解决其它实际问题，这就是模型应用。最后，我们要理解数学建模的局限性：数学模型是对现实对象简化之后得到的抽象化、理想化的产物，所以数学模型应用于实际问题的时候，结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。数学建模竞赛论文可以包括以下几个部分（论文结构应根据需要灵活地安排）：1、题目（title）：要简练准确、高度概括、恰如其分地向读者传递论文的范围和水平；2、摘要（summary）：在论文之前，简明扼要的介绍研究的课题、建立的模型和取得的结果，使读者能迅速地了解论文的论题和成果，判断值不值得继续阅读全文；3、问题重述（restatement of the problem），或者问题澄清（clarification of the problem），或者引言（introduction）：按照作者对问题的理解，陈述论文要研究的实际问题，包括背景和任务；4、问题分析（analysis of the problem）：陈述作者对实际问题的分析和提出的数学问题，陈述作者为建立数学模型选择采用的数学方法，陈述建立数学模型的动机和思路；5、符号说明（exposition of variables）：列表说明论文所用到的变量和常量的数学符号及意义和单位制；6、模型假设（exposition of assumptions and hypotheses）：用简练准确的语言列举建立数学模型所用到的简化假设，包括考虑哪些主要因素、忽略那些次要因素、变量满足什么数量关系；7、模型建立和求解（design and solution of the model）：根据模型假设推导出数学模型（表达式、算法或图表），运用所选择的数学方法以及相应的计算机软件，得到数学模型的解答；8、模型分析和检验（analysis and testing of the model）：给出对模型的误差分析、统计分析、灵敏性分析、强健性分析等，把数学模型的解答翻译成现实对象的解答，根据现实对象的信息来进行检验，或者根据题目要求通过计算机仿真进行检验； 9、模型评价（discuss of the model）：实事求是地讨论模型的优点和缺点、改进方向、推广应用价值等；10、参考文献（reference）：列举论文当中引用的文献资料或数据的来源，包括序号、作者、文献名称、文献类型标识、出版地、出版者、出版年、被引用部分的起止页码；（比赛规则规定：如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。）11、附录（appendix）：求解数学模型用到的计算机程序源代码、不适合放置在正文的图形和表格。另外，由于数学建模往往是跨学科跨领域合作研究的一个组成部分，因此还可能需要用非技术性的语言撰写报告，避免使用数学符号和数学术语，使得无论是其它专业领域的专家，还是公众，只要是能理解原来的现实对象的人，就能够理解数学建模的成果。所有的数模竞赛都不允许在题目、摘要、正文、文献、附录、报告这些部分出现参赛队的学校、学院、专业、班级以及姓名（包括教练和队员）的任何信息，否则取消评奖资格。所有的数模竞赛都不允许抄袭、剽窃他人的文献，不允许伪造实验数据，一旦发现，取消评奖资格。全国赛和校赛对论文有具体的规范，包括字体、字号、页面、颜色等，一定要符合规定。所有的数模竞赛都对装订次序有具体规定，一定要符合规定。五、浅谈数学建模竞赛浅谈数学建模竞赛数学建模是解决实际问题的一种方法。对实际问题进行分析和简化，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把实际问题转化成数学问题并求出数学解答，然后经过检验后形成实际问题的解答，这个过程就称为数学建模。当前，由于数学建模成本较低而灵活性较强，加上电子计算机技术的飞速发展和普及，所以数学建模被各行各业广泛采用，很受重视。当今社会不仅仅是需要能攻克数学难题的数学家，也不仅仅是需要能传承数学文明的数学教师，更多的是需要在各部门中从事实际工作的人能善于运用数学知识及数学方法来解决他们面临的实际问题，取得经济效益和社会效益。为了适应社会的需要，大学生都应该多学习一些数学建模知识，培养数学应用意识。但凡一种知识或者技能的普及，举办竞赛都能起到很大的促进作用，同样的，为了促进数学建模的普及，数学建模竞赛就应运而生。数学建模竞赛源于美国。从1985年开始，由美国工业与应用数学学会举办数学建模竞赛(MCM/ICM)，每年一届，题目新颖活泼，吸引了包括美国、中国、欧洲等的众多大学生参加，在国际上影响最大。而我国的全国大学生数学建模竞赛(CUMCM)则始于1992年，是由教育部高等教育司和中国工业与数学学会主办、面向全国高等院校的、每年一届的通讯竞赛。其宗旨是：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争。自从创办以来，得到了教育行政部门、高等院校和社会各界的大力支持和关心，呈现出迅速的发展发展势头。可以说，全国大学生数学建模竞赛已经成为全国高校规模最大的课外科技活动。这项赛事对于培养学生的创新意识与实践能力具有重要作用。正因此，教育部特别重视数学建模竞赛，把它的成绩作为反映各高校大学生综合素质的一项重要数据。现在，全国大学生数学建模竞赛是教育部积极倡导的国家级学科竞赛之一。而在考研和毕业找工作方面,很多研究生导师或应聘单位也更愿意要从事过数学建模竞赛的学生。有的知名学府甚至免试接受获得过全国数模竞赛一等奖的毕业生为该校硕士研究生。自1992年至今，我校每年都有组队参加全国大学生数学建模竞赛，起初成绩一般，后来从1999年开始，原数学系系领导亲自挂帅，组建了数模竞赛教练组，并大力培养青年教师。数模竞赛教练组专门负责数学建模课程建设和竞赛培训工作。在学校领导的关怀下，在教务处和学生工作部（处）的大力支持下，教练组的工作顺利开展，竞赛成绩、校级精品课程、省级教学成果一等奖接踵而来。从2000年开始至今，几乎每年都有学生获得全国一等奖（2002年除外），2005年更是取得了四个一等奖的好成绩。此外，我校还于2002年首次参赛美国数学建模竞赛，从2005年开始至今年已连续三年获得一等奖。今年，我校数学科学学院的一支队伍还在美国ICM（即交叉学科数学建模竞赛，C题）首次获得二等奖，是个历史性的突破。这些优异的成绩，在一定程度上反映了我校近些年在本科教学改革和创新人才培养等方面的成就。为了促进我校数学建模活动的开展，并为全国赛选拔参赛选手，我校从2002年开始举办华南师范大学数学建模竞赛，由校团委主办，数学科学学院应用数学研究会承办，数学科学学院数学建模教练组指导，每年一届，参赛规模也越来越大。在今年举办的华南师范大学第六届数学建模竞赛活动中，共有来自11个院系的782位同学组成的294支队伍报名参赛，参赛规模是去年的2.3倍，创下历史新高。数学建模竞赛是创新能力培养的一个极好载体，是科学研究工作的一次初步体验。参赛的同学们热情高涨，认真思索，甚至熬夜战斗。竞赛中，一个细小的问题，也会让他们苦思冥想，废寝忘食；一个小小的进步，也会让他们欢呼雀跃，激动不已。队友们时而分头行动，时而聚首交流，有时也会争论，更多的是和衷共济。这不仅仅是智力的比拼，更是意志力的较量、团队合作能力的竞赛。不少同学都说：“在这个过程中，我们学到了很多以前书本上没有的东西，培养了我们的综合素质，比如英语阅读能力，计算机应用能力，文献检索能力，学习新知识的意识与能力，论文撰写能力等等，获益匪浅。这些经历，是我们的宝贵财富，是作为一名优秀大学生所应具备的，也为我们参加全国和美国数学建模竞赛打下了很好的基础。” 2007年华南师范大学第六届数学建模竞赛成绩已经揭晓，许多参赛论文都闪烁着智慧与创新的火花。希望我们学校的数学建模竞赛越办越成功、越办越有特色、越办越有影响力，同学们也能不断进步，在校赛、全国赛和美国赛取得更好的成绩。数学科学学院数学建模教练组2007年5月20日六、优秀论文（注：以下论文不得作商业用途，非法传播违反者追究其法律责任）电梯控制优化调度模型数学科学学院 梁嘉劲 丁培雄 邢润丹（华南师范大学第六届数学建模一等奖论文）摘要本文旨在设计电梯控制的优化调度模型。前期准备阶段通过对第一课室大楼电梯的运行情况和学生使用电梯的情况进行测量、调查研究，得到建立模型的相关数据。问题分析和建立模型阶段通过对实际情况作合理假设，将问题归结为：建立电梯优化调度模型，使师生的不满意度达到最小，同时，为建设节约型华师，应当考虑使电梯的能量损耗尽可能小。模型在两者之间利用近似加权，折中考虑，建立出一课电梯的优化调度方案。其中，师生的不满意度集中表现为师生的等待电梯、乘坐电梯的时间以及爬行楼梯所需时间。模型对以上三项指标进行综合考虑，将等待电梯时间，乘坐电梯时间，爬行楼梯时间按照一定比例量化，对目标函数利用Visual C+ 面向对象程序设计语言进行枚举求解，穷尽各种情况，取得最优解。而模型是对模型的改进与完善，并将电梯能量损耗作为目标函数的一部分，求解出东侧电梯在第8，10层停靠，西侧电梯在第7，9层停靠的结果。此结果基本上能够使师生的不满意度达到最小，同时保证电梯的能耗相对较小。在模型讨论与分析阶段中，本文根据实际情况对电梯的优化调度方案进行理论剖析，并对极端情况进行分解。从数据处理方面，本文给出了模型参数灵敏度分析和测量的误差分析，提高结果的可信度。在模型的科学预测模块中，文章根据具体情况，结合数学方法分析该方案可能会对在第一课室大楼上课的学生多带来的影响，深入解析其优化结果。并从四个方面分析模型的优越之处，同时也指出了模型的不足和需要改进的地方，在文章中提出了改进的具体方向，希望通过今后的学习与实践对模型进行进一步的拓展与优化。我们认为，本文的模型假设简单但合乎情理，推理论证的方法科学、逻辑严密，利用Visual C+ 面向对象程序设计语言，对各种情况进行枚举，所得到的结果具有科学性，令人满意。如果要考虑更复杂的情况，该模型也可以对假设和其他各方面进行改进，容易进行推广。因此这是一个比较理想的优化模型。关键词 优化调度 近似加权求和模型 最小二乘法拟合 枚举法 Visual C+编程1. 问题重述1.1 基本情况华南师范大学石牌校区第一课室大楼北楼共11楼，其大厅两侧共有6部电梯，其中2部是教师专用的，另外4部供学生使用的。等电梯的人给出上、下楼的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。1.2 问题由来由于华师学生人数较多，并且上课比较集中于第一课室大楼，致使电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上、下课的时候，教师和学生通常要等待很长的时间，所以埋怨声很多。1.3 问题提出根据实际情况，现要求解决下列问题：任务1: 目前学校一课管理中心的电梯控制为：东侧供学生使用的2部电梯只能停止8楼和10楼，西侧供学生使用的2部电梯则只能停在9楼和11楼。分析问题，进行建立模型的前期准备。建立数学模型，设计一个电梯调度方案，减少大家的等待时间，减少师生的不满。任务2：就建模的研究结果，给学校一课管理中心写一份报告，阐述所设计的优化调度方案，并给出一些行之有效的建议。任务3：对所提出的建议可能会带来的效果进行科学预测和评价。2. 问题分析问题要求针对第一课室大楼的具体情况，给出电梯调度的优化方案。2.1 简化问题，抓住研究的重点要求对电梯的调度情况进行优化，目的是为了减少师生的不满，而在乘坐电梯的平峰时间（非高峰时段），一般不会引起乘坐者的不满，因此模型只考察高峰时间的情况，特别在上、下课的特殊时段。同时，由于高峰时段基本上电梯内都会满载，因此引起师生的不满的因素不考虑电梯内的拥挤程度。2.2 调查研究电梯运行的具体情况第一课室大楼共有11楼，其大厅两侧共有6部电梯，其中2部是教师专用的，另外4部是供学生使用的。通常认为，电梯从第i层到达第j层（ij）需要经过“加速匀速减速”的过程，可以假定电梯加速、减速的时间恒定，且匀速运行时的速度为常量。通过多次测量，可以得到电梯的加速、减速的时间，以及匀速运动的速度。首先，考虑供学生使用的电梯A、B、C、D，其中A与B为并联电梯，同理，C与D并联，而A、B与C、D之间并无直接联系。等电梯的人给出上、下的信号时，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受此指令。那么，考察电梯A与B，可以通过测量得到某一个时间点等待乘坐电梯的人数的数据，以及电梯在停靠层所停的时间（主要是学生进出电梯的时间）。其次，考虑A、B所构成的系统M与C、D所构成的系统N之间的相互协调。再次，由于教师与学生的比例大约为1：40，而教师电梯在每个楼层停靠，一般不会对学生上课造成影响，而且也方便教师上课，因此只需呼吁学生不要使用教师电梯。本模型认为教师电梯应该在每一楼层停靠。2.3 明确建模目的建立电梯优化调度模型的目的：减少师生的不满意度。由于模型仅限于考虑高峰时期的情况，则师生的不满意度集中表现为师生的等待电梯、乘坐电梯的时间以及爬行楼梯的时间，即所需时间越长，师生的不满意度越大。可以对以上三项指标制定相应合理的权重，因此师生的不满意度与此三项指标的组合成正比。建立优化模型的目的在于，减少相应的时间，降低师生的不满意度。等待时间是教师或者学生从进入一课直到进入电梯所需的时间。乘坐电梯的时间是由电梯的运行时间以及电梯在停靠的楼层停留的时间所构成的。爬行楼梯的时间是指，由于电梯只在某些楼层停靠，人们不一定能够通过乘坐电梯到达期待的楼层，只能通过爬行部分楼层的楼梯，到达目的地所需要的时间。但是，以上三项指标对于目标函数（师生的不满意度）的影响并不是同等地位，应该对此三项指标赋予相应权重，建立优化模型。同时，为了响应目前提倡节约型华师的号召，模型应该将电梯的能量损耗考虑在内。可以认为，电梯的能耗与停留的层数成正比（考虑电梯马达的能量损耗），停留层数越多，能耗越大。而建立电梯优化调度方案的主要目的是降低师生的不满意度，因此引入近似加权函数，使师生到达期待楼层所需时间的权重较大，降低电梯能耗的影响。2.4 搜集相关数据，建模求解通过前期准备，搜集一下数据：a) 电梯运行时间，包括加速、减速时间，以及匀速运行时路程为1层的时间；b) 爬行1层楼梯所需时间；c) 高峰时段等待乘坐电梯的人数，每趟电梯所能容纳的人数；d) 在电梯停靠的楼层，电梯停留的时间。e) 上网搜索关于电梯能量损耗的有关数据。将以上数据代入所建模型中，通过计算机模拟算法，对所建立的模型进行求解。3. 模型假设制定电梯的优化调度方案需要考虑的因素很复杂，并且有很多因素是随机的。为了抓住重点，简化模型以及方便求解，必须作一定的简化假设，设定如下：A. 假设周一至周五的上课高峰时段中，等待电梯、乘坐电梯的人数是均匀分布的；B. 临近上课、下课的高峰时间，等待电梯、乘坐电梯的人数随时间呈均匀分布；C. 为方便教师上课，教师电梯在每一楼层停靠；D. 等电梯的人给出上、下楼的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。E. 电梯从第i层到达第j层（ij）需要经过“加速匀速减速”的过程，可以假定电梯加速、减速的时间恒定，且匀速运行时的速度为常量。F. 在第i层楼上课的学生，总是选择坐电梯到达距离第i层最近的楼层，再通过走楼梯到达目的地（假若学生不乘电梯，则看作他乘坐电梯到达第1层，再走楼梯到达目的楼层）。并假设男生、女生爬行楼梯速度相同。G. 电梯乘坐人数不能超过最大乘载量：18人H. 假设学生到达一课时按顺序排队进入电梯，一般不出现插队现象。I. 电梯的能耗与停留的层数成正比（一般仅限于考虑电梯马达的能量损耗），停留层数越多，能耗越大。4. 前期准备根据问题分析过程，以及模型建立所需参数，我们对第一课室大楼的电梯运行和使用情况进行调查研究。调查方法：随机抽样测量，多次测量，利用最小二乘法或者平均选择最适合数据工具：秒表，记录本所取得数据如下：表1 电梯运行时间数据表楼层/层运行时间数据/秒起始层终止层数据1数据2数据3数据418243124.4024.7224.488124.7524.9824.4024.6981010.7110.4810.4410.591089.5810.9010.4710.3311029.2528.9729.4729.2310129.3129.9429.7629.591926.9627.0427.1926.429127.0627.3127.9827.5691110.9110.8110.7710.7811910.5610.3410.6510.7311132.2432.0633.3332.5711132.1932.5532.7433.89通过对上表数据的分析，可以利用Excel统计工具描绘出电梯运行时间与楼层间隔的关系，从而得出加速、减速的时间，以及匀速运动的速度，即求解除匀速运行一层所需时间。表2 步行楼梯所需时间表男步行层数/层上/下时间女步行层数/层上/下时间3上51.761上14.953上49.051上15.882上33.301上15.832上34.341上16.084下1：04.772上33.874下1：02.751上17.353下52.151下13.181下18.201下13.811下17.631下9.881下15.372下31.571下15.071下14.081下16.98通过对上表数据的分析计算，可以得出学生步行楼梯的平均时间。女生：16.8608333秒；男生：15.254秒；平均值：16.05741667秒。表3 电梯停留时间数据表时间点楼层/层停留时间时间点楼层/层停留时间8：08910.198：27812.788：1087.128：28910.638：1289.928：30914.218：13917.108：31913.678：15108.978：32811.088：16106.588：3399.878：18106.378：3599.358：2188.2811：0017.988：22810.6411：0018.788：23910.8811：01112.588：24913.9711：02112.688：26814.9911：03117.12通过对上表数据的处理和计算，可以得到电梯停留的平均时间。取平均值，得到电梯停留的平均时间为：11.0725秒表4 高峰时段每趟电梯所能容纳的人数次数电梯A电梯B电梯C电梯D11013131021413143151341316517156171771716815159141017通过对上表数据的处理分析，可以得到每趟电梯所能容纳的总人数。剔除奇异值，再对数据取平均值，得到每趟电梯所能容纳的总人数：16人。5. 符号及表达式说明5.1 符号说明N：课室大楼的总楼层数。M：电梯每一趟所容纳的平均乘客数量。r：人步行上、下一层楼梯所用的平均时间。a：电梯每次停靠时所停留的平均时间。T：每一批乘客（把电梯平均每次能容纳最大数目的乘客当成一批）最终到达目的层时，电梯里这一批乘客所花的时间之和。：电梯停留了k层所消耗的能量。：假设电梯最终停靠在1、此若干层，用半开半闭区间表示从到其间的层楼。：第层和第层之间的楼层数，即。S：目标函数（由两部分构成），包括时间T和电梯的能量损耗。：师生等待电梯+乘坐电梯所需时间的权重，无量纲。：师生爬行楼梯所需时间的权重，无量纲。：电梯能量损耗的权重，量纲为s/J。5.2 在模型建立及求解的过程中常用的数学表达式在楼段，每一次电梯从静止、加速到匀速、再到减速停靠在目的层所花去的时间t可以认为跟电梯经过的楼层数成一次函数的关系，式子如下： （1）其中p，q为待定常数。根据表1中的数据，利用Excel软件图表工具可以得到以下图以及常数p，q： 表5 图1即得到：常数p=2.7469，q=5.1136。另外， （2）6. 模型建立与求解根据调查研究所得数据，针对第一课室大楼电梯使用高峰时段师生等待电梯时间长、人流拥挤的实际情况，从对问题所作的假设出发，我们建立了电梯优化调度模型I，模型。模型I：时间规划模型。模型：近似加权求和模型。6.1 关于模型的建立根据假设，本模型考虑在上课高峰期学生使用电梯的情况。每一批乘客（把电梯平均每次能容纳最大数目的乘客当成一批，按假设是M人）最终到达目的层时，电梯里这一批所有乘客所花的时间之和T。由于假设要前往每一层的乘客数量一样多，所以可以先考虑每一层进一个人的情况下的时间，再乘以系数。我们把大楼分段，分法如下：把大楼分成（即）, ，。用表示所有在(其中，即不包括)这一楼段下电梯并到达各自的目的层的乘客所花去的时间之和；而由以下几部分组成：1. 进入电梯之前在层（即第一层）等待所花去的时间；2. 进入电梯之后直到到达电梯所能停靠的楼层（或）所花去的时间；3. 出电梯之后，有些人可能需要通过爬行楼梯若干层才能到达目的层（目的层在刚好在电梯停靠层的乘客不用考虑），这些人所花去的时间。于是。由于假设要前往每一层的乘客数量一样多，所以可以先考虑并求出每一层进一个人的情况下的时间，再乘以系数。在建立模型之前必须先明确以下几点：1. 所涉及的楼层是，表示从到其间的层楼，并不包括这一层，这一层归在上一段考虑；2. 在电梯不停靠的楼层，乘客选择最临近目的层的电梯停靠层下电梯。于是，目的层在的乘客选择在层下电梯，然后爬上目的层；而目的层在1，的乘客选择在下电梯，然后走到目的层；6.1.1 第一步：求： 6.1.2 第二步：求：注意：此处先不求 ，因为在求电梯里每一批乘客所花的时间之总和T时一起计算，会使计算难度降低。6.1.3 特殊楼段考虑：在这一段上，不能再用以上两道式子来求和，因为电梯最终不一定会停在第层，另求如下：6.1.4 最终求出： 由最终函数可见最终结果是相当复杂的，基本上很难用纯数学的方法求解这个函数关于的自变量、的k元函数的最小值，而且表达式中包含取整运算符，也是很难处理的地方。由于实际中楼层是有限的，所以可以考虑用计算机编程利用枚举法来处理这个问题。 6.1.5 对进行化简：虽然无法用严谨的数学方法加以分析，但是考虑函数的每一部分然后用简单的粗略的分析方法也是可能的。例如考虑到 式子中有上取整和下取整，所以想从这里做文章是很难的，而考虑到第二式子中有项，若为偶数则它的值为1，若为奇数则它的值为1。所以可以设想应该为偶数比较好。如果基于这种设想，函数将可以进一步化简：6.2 关于模型的求解利用Visual C+ 面向对象程序设计语言，对各种情况进行枚举。程序段（见附录）实现此枚举，得到模型结果。6.3 模型的求解结果求解结果如下，其中，k表示所停靠楼层数目，total T表示师生到达目标楼层所花时间。k=2total T=1379.761 9total T=1371.951 7total T=1378.041 8k=3total T=1645.031 8 10total T=1636.861 7 8total T=1631.641 7 9k=4total T=1937.971 6 8 9total T=1936.491 7 9 10total T=1929.791 7 8 9k=5total T=2258.931 6 8 9 10total T=2252.11 5 7 8 9total T=2250.751 7 8 9 10k=6total T=2597.341 5 6 7 8 9total T=2596.731 6 7 8 9 10total T=2589.171 5 7 8 9 10k=7total T=2961.821 6 7 8 9 10 11total T=2950.511 5 6 7 8 9 10total T=2954.261 5 7 8 9 10 11k=8total T=3351.261 4 5 6 7 8 9 10total T=3331.711 5 6 7 8 9 10 11total T=3347.571 4 6 7 8 9 10 11k=9total T=3767.811 3 4 5 6 7 8 9 10total T=3756.681 3 5 6 7 8 9 10 11total T=3748.571 4 5 6 7 8 9 10 11k=10total T=4223.331 2 3 4 5 6 7 8 9 10total T=4181.221 3 4 5 6 7 8 9 10 11total T=4204.761 2 4 5 6 7 8 9 10 11k=11total T=4652.841 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.4 关于模型的建立（对模型的改进）考虑函数为师生到达期待楼层和电梯能耗的线性加权模型其中，分别是：师生等待电梯+乘坐电梯所需时间的权重，无量纲。：师生爬行楼梯所需时间的权重，无量纲。：电梯能量损耗的权重，量纲为s/J。+上式中M，N，p，q，a，r都是常数，分别为：M16N11p=2.7469q=5.1136a=11.0725r=16.05741667而，k，都是变量，且 ，所以k和是由 和决定的，所以最终变量其实就是。函数将可以进一步化简： （把代进去，整理）从后面用C程序得到的解答中，会发现： S值最小的几种情况中，楼层差确实通常是偶数，这跟我们上面的讨论吻合，所以说，我们上面的讨论是相对合理的，对于S的简化也是合乎情理的。6.5 关于模型的求解方法与模型的求解方法基本上一致，Visual C+ 面向对象程序设计语言利用对所有情况进行枚举，可参考附录中的程序段。得到以下结果：k=3total T=1645.031 8 10total T=1636.861 7 8total T=1631.641 7 9可以看到，综合考虑师生到达期待楼层所需时间和电梯能耗的影响，可以得到，电梯停靠次数为2，停留楼层为7，9层和8，10层。东、西两侧电梯停留的层数应该分开，因此，结果为东侧电梯停8，10层，西侧电梯停7，9层。7. 模型结果分析7.1 模型讨论就本问题来说，条件的两个目标是相互矛盾的，因为师生到达目标楼层所需时间越少，即师生依赖电梯得到的便利越多就要求电梯所停靠的层数越多，并且停靠层尽量在高层，但是这样的话电梯的能耗也比较大，不利于电梯的长久使用和节约型华师的要求。因此，我们要根据实际情况对模型进行综合考虑，对两方面影响赋予不同权重，折衷考虑电梯的优化调度。以上已经给出优化模型，下面对极端情况进行考虑：，需要我们自己予以赋值，这需要具体的实际数据作为考证。1) 师生到达目的楼层所需时间最少，电梯能耗最大赋予权重1，1，100，可得结果：k=11total T=4652.841 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112) 电梯能耗最小，师生到达目的楼层所需时间最大赋予权重=100，=100，=1，可得结果：k=2total T=1379.761 9total T=1371.951 7total T=1378.041 87.2 灵敏度分析及误差分析根据以上的计算机程序，我们对参数赋值，观察结果，对模型进行分析，包括灵敏度分析和稳定性分析，即误差分析。7.2.1 灵敏度分析由于问题中对模型结果产生影响的因素很多，在此我们取几个关键参数进行灵敏度分析。1) 步行楼梯时间对模型的影响假设其他条件不变，合理改变步行时间，观察模型结果的变化：表6 步行楼梯时间对模型的影响步行时间（s）16.8615.25方案k=3total T=1656.121 6 8total T=1649.111 7 8total T=1640.981 7 9k=3total T=1633.881 6 8total T=1624.521 7 8total T=1622.241 7 92) 电梯在停靠层停留时间对模型的影响假设其他条件不变，合理改变电梯在停靠层停留时间，观察模型结果的变化：表7 电梯在停靠层停留时间对模型的影响停留时间（s）17.1014.9914.21方案k=3total T=1659.441 6 8total T=1643.771 7 9total T=1652.781 7 8k=3total T=1630.281 6 8total T=1620.551 7 8total T=1619.221 7 9k=3total T=1619.511 6 8total T=1610.141 7 9total T=1608.641 7 87.2.2 误差分析在建立模型之前，我们需要对第一课室大楼的电梯运行和使用情况进行调查研究。而调查方法为随机抽样多次测量，再利用最小二乘法或者平均选择最适合数据，这是对具体数据进行了近似取值，并且其中测量工具为秒表，测量中总存在误差，因此以下我们研究近似取值对模型的求解所产生的误差。我们在计算高峰期电梯容纳人数中对模型的数据作了退零取整的近似取值，近似取值使模型产生了数据误差，造成了模型求解结果不精确，如下表所示：表8（人数）电梯A电梯B电梯C电梯D近似前17.7516.913.510近似值17161310平均近似值16数据的近似值主要是考虑了现实的实际需要，简化了模型的运算量。而本模型中所得结果与用近似值进行计算的结果没有太大差异，即误差对目标值影响不大。因此，此误差可以接受。8. 模型的科学预测、评价与改进8.1 模型的科学预测根据模型的求解结果，西侧电梯在第7，9层停靠，东侧电梯在8，10层停靠，那么在第2、3、4层上课的同学通过步行到达；在第5、6层上课的同学可以通过搭乘西侧电梯到达第7层，再下行楼梯到达；在第7、8、9、10层上课的同学均能够搭乘电梯到达目标楼层；在第11层上课的同学一般通过搭乘东侧电梯到达第10层，上行一层到达，或者搭乘西侧电梯到达第9层，上行两层到达。此时，虽然在第4层上课的同学爬行楼梯的时间最长，但由于减去了等待电梯的时间，因此能使整体的时间缩减。而在高楼层上课的同学，不得不借助电梯到达一定楼层，再通过上行、下行楼梯到达目标楼层。总体上，到达目标楼层的时间达到最小。而考虑电梯能量损耗方面，一般使电梯停留的次数为两次或者三次为最佳。a) 模型的评价i. 模型的优点1) 通过对实际问题的分析，利用数学方法建立模型并分析模型。2) 利用枚举法对各种情况进行分析，用C+编程作为辅助工具，严格对模型进行求解，具有科学性。3) 给出了电梯优化调度方案，易于实施。4) 模型分别对参数和误差进行了灵敏度分析和稳定性分析。ii. 模型的不足1) 模型对某些数据进行了必要的处理，如用Excel工具等对散点添加趋势线，用最小二乘法计算最适合的数据等。另外，对于人数的退零取整近似，这些方法为模型求解带来一定误差。2) 本模型是基于较多的假设建立的，现实情况是复杂的，还需要对实际进行深入调研，改进模型。b) 模型的改进方向对于以上电梯优化调度模型，我们只考虑了高峰时段师生到达期待楼层所需时间和电梯能量损耗的情况，而对于平峰时段则未能顾及，这样，可能会使平峰期学生等待电梯的时间加长，因此，模型的改进应该考虑各种时段的实际情况，利用多目标规划作出优化模型。9. 给一课管理中心的报告关于一课电梯优化调度的报告华南师范大学石牌校区第一课室大楼是华师学生上课的集中场地。现在，为响应学校提倡建设节约型华师的号召，东侧供学生使用的2部电梯只能停止8楼和10楼，西侧供学生使用的2部电梯则只能停在9楼和11楼。然而，由于学生人数过多，乘坐电梯经常出现等待时间过长、人流拥挤等情况，并且有些同学因为时间太赶的原因，乘