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2 拉伸和压缩2.1 轴向拉伸和压缩的概念及实例活塞杆拉杆P图2.1 悬臂吊车的拉杆 图2.2 液压传动机构中油缸的活塞杆在工程实际中，常见很多直杆，例如图2.1所示的悬臂吊车的拉杆，图2.2所示的液压传动机构中油缸的活塞杆，还有桁架结构中的每根杆等，略去次要受力后，它们所受到的外力的作用线或外力的合力作用线都是与杆件的轴线重合的，所引起的杆件变形均主要是沿轴线方向的伸长或缩短。我们称这种变形为轴向拉抻或轴向压缩，工程上，常称发生这种变形的杆件为拉杆或压杆。拉压图2.3 轴向拉伸、压缩杆件的计算简图2.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力2.2.1 轴向拉伸和压缩时横截面上的内力杆件受到外力作用时，其内部各质点的相对位置发生改变引起内力，该内力随外力增加而增大，达到某一限度时杆件发生破坏。2.2.1.1内力的名称和符号规定假想地用一截面m-m将杆件截开，分为和两部分。取其中的任一部分，例如为研究对象，弃去的部分对的作用以截开面上的内力代之。因为整个杆件处于平衡状态，故部分也应满足平衡方程，即P与截开面上的内力构成平衡力系，由此显易得出截开面上的内力也必定与轴线重合（图2.4c），且由 得 为了区别拉伸和压缩，我们对轴力N作如下符号规定，即：轴力的指向离开所作用的截面时为正号，也称为拉力；指向朝着作用的截面时为负号，也称为压力。2.2.1.2 内力的图形表示轴力图当外力沿杆件轴线连续分布时，轴力是轴坐标x的连续函数，即。该图形中以横坐标表示横截面的位置，以纵坐标表示轴力的大小，以该方式绘制的图形称为轴力图。【例题2.1】例题2.1a图所示为一双压手铆机的活塞缸示意图。作用于活塞杆上的力分别为P1=2.62kN, P2=1.3kN, P3=1.32kN, 计算简图为例题2.1b所示。这里P2和P3分别是以压强p2和p3乘以作用面积得出的。试求活塞杆横截面1-1和2-2上的轴力，并作活塞杆的轴力图。解：（一）用截面法求1-1，2-2面上的轴力。a. 求1-1面上的轴力。将杆沿1-1面截开，取左半部分为研究对象，并画受力图（例题2.1c图）。为了使所得结果与轴力的符号规定一致，此处将1-1面上的轴力先画为拉力。由平衡方程得负号说明1-1面上的轴力实际为压力。b.求2-2面上的轴力。同理将杆沿2-2面截开，取左半部分为研究对象，右半部分对其的作用以N2（暂画为拉力）替代（例题2.1d图），由平衡方程, 得 同样说明2-2面上的轴力为压力。如果取2-2面的右半部分为研究对象（例题2.1e图），求2-2面上的轴力N2时，有所得结果与前面相同，计算却比较简单。所以计算时应选取受力比较简单的一段作为研究对象。（二）画轴力图轴力图一般应与原计算简图上下对应（原计算简图竖直方向时为左右对应），这样可使杆件横载面上轴力的大小一目了然。另外在轴力图中，将拉力绘在x轴的上侧，压力绘在x轴的下侧。2.2.2 轴向拉伸和压缩时杆件横截面上的应力2.2.2.1平面假设根据上述表面现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形后，横截面仍保持为平面，并且仍垂直于杆轴线，只是各横截面沿杆轴作相对平移。此假设称为平面假设。如果将杆件设想成由无数根纵向“纤维”所组成，则由平面假设可知，任意两横截图2.5 轴向拉伸杆件横截面上的应力分布规律 例题2.2图 求AB杆横截面上的应力面间的所有纤维的伸长（缩短）均相同。对于均匀性材料，如果变形相同，则受力也相同。由此可得横截面上各点处的应力大小相等，方向均垂直于横截面(图2.5c)，即为正应力。2.2.2.2正应力的计算拉（压）杆横截面上的正应力应合成为轴力N，而又处处大小相等，所以有即 (2.1)轴向拉伸时，横截面上的应力为拉应力；轴向压缩时，横截面上的应力为压应力。正应力的符号规定随轴力的符号规定，即拉应力为正，压应力为负。【例题2.2】例题2.2图为一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷Q=15kN。当Q移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：1. 首先由静力平衡方程求Q移到A点时，AB杆所受到的外力（即载荷），取横梁AC为研究对象，其受力如例题2.2c图，由 得 ，由三角形ABC的几何关系有故有 2. 求斜杆AB的轴力。因AB杆只在两端受力,故轴力处处相等，且例题2.3图 求阶梯轴各段应力3. 求斜杆AB横截面上的应力。由（2.1）式有 【例题2.3】一受轴向荷载的阶梯轴，如例题2.3a图所示。求各段横截面上的应力。并画轴力图。解：1.求轴力。将截面法分别应用于阶梯轴的AB、BC、CE及EF段（为何这样分段，建设读者自行思考），容易得出： 2. 轴力图如例题2.3b图。3. 求应力。应力的计算应根据轴力、横截面积的不同来分段进行计算。 显然最大正应力并不一定发生在最大轴力处。当截面的尺寸也沿轴线变化时（图2.6），公式（2.1）仍可使用。此时把它写成 (2.2)式中、N(x)和A(x)表示这些量都是横截面位置坐标x的函数。2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力图2.7所示的拉杆，若横截面面积为A，则横截面上的应力 。 (2.3) (2.4) 图2.8 剪应力的正负号规定一般称为全应力，将其分解为垂直斜截面的正应力和沿斜截面的剪应力 (2.5) (2.6)例题2.4图 求解拉杆横截面和斜截面上的应力其中剪应力的符号规定为对所取部分上任一点的矩为顺时针方向时为正，反之为负，如图2.8所示。 【例题2.4】有一受轴向荷载P=100kN作用的拉杆（见例题2.4a图），其横截面面积A=1000mm2。试分别计算、和时各截面上的和的数值。解：显然各横截面上的轴力均为N=P（1） 的截面即杆的横截面，由（2.5）和（2.6）式分别得 （2） 的截面为与杆轴线平行的纵向截面（见例题2.4c图的2-2面），同样可得 （3） 时，类似可得 将上面算得的正应力和剪应力分别表示在它们所作用的截面上，如例题2.4b.c.d图所示。 分析上题可得如下结论，即：当时，即横截面上，为最大，其值为 （2.7）当即与轴线成角的斜截面上，为最大，其值为 （2.8）当即在平行于轴线的纵向截面上，无任何应力。在所有的斜截面上，既有正应力，又有剪应力。根据材料抗拉能力和抗剪能力的强弱，轴向受拉（压）杆在轴力较大时，可能沿横截面发生拉断破坏，也可能沿45斜截面发生剪断破坏。2.4 材料在拉伸时的机械性质材料的机械性质也称力学性质是指材料在外力作用过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特征。这些试验是在室温下、以缓慢加载的方式进行的，通常称常温静载试验。拉伸试验是测定材料机械性质的基本试验。要弄清楚的几个问题： 材料试验的标准 试验的条件（温度、压强、加载方式） 加载过程的界定 力学参量的测定为了方便比较不同材料的试验结果，试验所用的试件通常按国家标准金属拉力试验法（GB228-76）规定的标准试件有两种形式：圆截面的标准试件（图示2.9a）矩形截面的标准试件（图2.9b）。试件的两端为试验机夹紧部分。国标规定标矩与横截面尺寸的比例有两种规格：圆截面试件 l=10d和l=5d （2.9）矩形截面试件和 (2.10)试验时，将试件两端装入试验机夹头内，开动试验机对试件缓慢施加载荷。由于材料的品种很多，不可能做到一一研究，现仅对具有代表性的典型材料低碳钢和铸铁的试验进行介绍，用以说明材料在拉伸时的机械性质。图2.9 轴向拉伸试验用试件 图2.10 低碳钢试件的拉伸图2.4.1低碳钢拉伸时的机械性质低碳钢是指含碳量低于0.3%的碳素钢。2.4.1.1拉伸图在低碳钢拉伸试验中，载荷P的数值可由试验机上的测力装置读出，标距段l内的伸长可用测量变形的仪表（引伸仪或变形仪）量得。由所获得的P和相应的变形绘制的曲线称为拉伸图或曲线（图2.10）2.4.1.2应力应变曲线曲线曲线 图2.11 低碳钢的应力应变曲线 图2.12 表面抛光试件拉伸时的滑移线上述拉伸图显然与试件的尺寸有关，应用不便。为了消除试件尺寸的影响，一般将载荷P除以横截面的原始面积A，得；将伸长量l除以标距的原始长度l，记为。那么根据曲线绘制的曲线称应力应变曲线（图2 .11），其形状与拉伸图相似，只是坐标比例发生了变化。2.4.1.3 低碳钢拉伸的四个阶段根据试验结果，低碳钢的位伸可分为如下四个阶段：(1) 弹性阶段 (2.13)(2) 屈服阶段通常把下屈服极限作为屈服极限或流动极限，记为s。(3) 强化阶段强化阶段的最高应力值即e点对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，记为，是衡量材料强度的另一重要指标。(4) 局部变形阶段应当指出，在曲线中，是名义应力，是名义应变，而试件的真正应力应是拉伸过程的载荷P除以试件瞬时的横截面面积At，即 ( 2.14 )关于试件的真实应力应变曲线（曲线），应通过实测获得。图2.11中虚线所示即为低碳钢的曲线的大致形状。2.4.1.4材料的塑性指标由图可知，试件在f点被拉断后，作用于试件上的载荷瞬间内卸为零值，这时弹性变形随之消失，而of 为不可消失的变形即塑性变形或永久变形。我们把称作材料的延伸率， (2.15)式中l为试验前试件的标距，l1为拉断后衔接起来的标距长度（图2.13）。对于低碳钢。延伸率是衡量材料塑性的一个重要指标，工程上，常根据其大小来区别材料的塑性与脆性，通常规定的材料为塑性材料，如钢、铜、铝等；的材料为脆性材料，如铸铁石料，混凝土等。衡量材料塑性的另一指标是截面收缩率 (2.16) 拉伸前拉断后图2.13 低碳钢试件拉断前后比较式中A为试验前试件的横截面面积，A1为试件拉断后，颈缩处的最小横截面面积。对于低碳钢，左右。2.4.1.5卸载定律及冷作硬化如把试件拉伸到超过屈服极限的d点（图2.11）然后再逐渐卸载，应力应变曲线将沿着与oa几乎平行的斜直线回到点。这说明材料在卸载过程中应力与应变成直线关系，此种性质称为卸载定律，载荷完全卸除后，试件中的弹性变形消失，剩下塑性变形。2.4.2铸铁拉伸时的机械性质铸铁拉伸时的应力应变曲线是一段微弯的曲线（图2.14），只在应力较小的初始部分，接近直线。其变形直至拉断基本是弹性的，且很小；塑性变形甚小，整个拉伸过程无屈服现象，不出现局部颈缩。它在较小的拉应力下就被拉断，是典型的脆性材料。由于铸铁拉伸时应力与应变是非线性关系，则弹性横量E的数值随应力的大小而变，与应力对应的各点的弹性模量值可由曲线上各点切线的斜率表示（图2.14）即 （2.17）但在工程实际中铸铁的拉应力不可能很高，而在较低的拉应力下，则可近似地认为服从虎克定律。2.4.3其它材料在拉伸时的机械性质T10A高碳钢螺纹钢16Mn玻璃钢铸铁黄铜退火球墨铸铁A3钢硬铝聚氯乙稀ABS橡胶 图2.14 铸铁拉伸时的应力应变曲线 图2.15 几种常用材料拉伸时的应力应变曲线其它塑性及脆性材料的拉伸试验，其方法基本上与前述相同，现将常用的一些材料的应力应变曲线画在同一坐标中（图2.15），以便比较。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上规定，以作为这类材料的名义屈服极限。在图2.16所示的应力-应变图上，沿横坐标量出塑性应变的c点，自c点画一条与弹性阶段oa平行的直线，并使其交应力应变曲线于B点，B点的应力即为名义屈服极限。名义屈服极限就是卸去载荷后可得到塑性应变为0.2%的那一应力值。2.5 材料在压缩时的机械性质 压缩试验所用的金属试件一般制成短圆柱形，以免被压弯。圆柱高度约为直径的1.53倍。混凝土、石料等则制成立方形的试件。2.5.1低碳钢压缩时的机械性质 图2.17中的实线部分为低碳钢压缩时的应力应变曲线。试验结果表明：低碳钢压缩时的弹性模量E与屈服极限s都与拉伸时大致相同。应力超过屈服极限s以后， 压缩拉伸图2.16 确定条件屈服极限0.2的方法 图2.17 低碳钢压缩时的应力应变曲线压缩拉伸图2.18 铸铁压缩时的应力应变曲线2.5.2 铸铁压缩时的机械性质图2.18为铸铁压缩时的应力应变曲线。试验结果表明：铸铁压缩时的曲线也没有明显的直线部分，没有屈服现象，在较小的变形下突然压断，破坏面与横截面大致成的夹角，这是因为45斜截面上剪应力为最大值，铸铁的抗剪强度弱于抗压强度，而由于摩擦力的存在，使得试件临近破坏时，最大剪应力所在斜面发生了改变，使破坏面的倾角不能正好是45。综上所述，衡量材料的机械性质主要有：比例极限（或弹性极限）、屈服极限，强度极限、弹性模量E、延伸率和断面收缩率等。对很多金属材料而言，这些量往往受温度、热处理等条件的影响。2.6* 温度和时间对材料机械性质的影响现简略介绍温度和时间对材料力学性能的影响。图2.19 温度对材料机械性质的影响2.6.1短期静载下，温度对材料机械性质的影响实践证明，温度对材料的机械性质有很大的影响。图2.19给出了低碳钢的、E、等在高温短期静载下随温度变化的情况。从图中可以看出，弹性模量E和屈服极限随温度的增高而降低；强度极限开始随着温度升高而增加，当温度在之间时较大，温度再升高时，就显著下降；延伸率和断面收缩率在时都较低，以后又随温度上升而增大。2.6.2高温、长期静载下材料的机械性质 图2.20 时间对材料机械性质的影响实践证明在高温下，长期静载荷将影响材料的力学性能。如低于一定温度（例如对碳钢来说，温度在以下）虽长期作用载荷，材料的力学性能并无明显的变化。但如高于一定温度，且应力超过某一限度，则材料在这一固定应力和不变温度下，随着时间的增长，变形将缓慢加大，这种现象称为蠕变。蠕变变形的绝大部分（除）是塑性变形，卸载后不再消失。在高温下工作的零件往往因蠕变而引起事故。例如汽轮机的叶片可能因蠕变发生过大的塑性变形，以致与轮壳相碰而打碎。图2.20中的曲线是金属材料在不变温度和固定应力下，蠕变变形随时间t变化的典型曲线。图中A点所对应的应变是载荷作用时立刻就得到的应变。从A至B蠕变速度(即曲线的斜率)不断减小，是不稳定的蠕变阶段。从B到C蠕变速度最小，且接近于常量，是稳定的蠕变阶段。从C点开始蠕变速度又逐渐增加，是蠕变的加速阶段。过D点后，蠕变速度急剧加大以至断裂。2.7许用应力和安全系数 轴向拉伸和压缩时的强度计算2.7.1许用应力和安全系数脆性材料的强度极限和塑性材料的屈服极限是构件正常工作的极限应力，为了保证构件有足够的强度而正常工作，显然工作时的最大工作应力应低于上述的极限应力，工程上通常将极限应力除以大于1的系数n，将所得结果称为许用应力，用表示。即对塑性材料 (2.18)对脆性材料 (2.19)上式中，大于1的ns或nb称为安全系数。许用应力和安全系数的数值，可在有关业务部门的一些规范中查到。目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.22.5。脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取nb=23.5，甚至取到39。2.7.2 轴向拉伸和压缩时的强度计算许用应力是构件正常工作时应力的极限值，即要求工作应力不超过许用应力，这就是构件轴向拉伸或压缩时的强度条件： (2.20)一般而言，式中N应是构件内轴力的最大值，A为杆的横截面面积，对变截面轴，应考虑N与A的比值，其最大值作为上述公式中的。针对不同情形，可利用上述强度条件对拉（压）构件进行下列三种强度计算2.7.2.1强度校核已知拉（压）杆所受的载荷（由它可求得N），杆的横截面尺寸，以及材料的许用应力，检查拉（压）杆是否满足上述强度条件。这是工程中最常见的一种强度计算。2.7.2.2设计截面尺寸已知拉（压）杆所受到的载荷（由它可求得N）和材料的许用应力，按上述强条件设计杆所需横截面尺寸的大小。2.7.2.3确定许用载荷已知拉（压）杆横截面尺寸和材料的许用应力，按上述强度条件确定此杆所能承受的最大轴力，从而计算出许可载荷。应当指出，此处所述是轴向拉伸（压缩）时的强度计算，针对其它的基本变形，也有类似的强度计算问题。下面用例题说明轴向拉（压）的强度计算问题。【例题2.5】若钢材的许用应力=150MPa，试对例题2.2图中的斜杆AB进行强度校核。解：在例题2.2中已经求得斜杆AB的应力为=123MPa，可见斜杆满足强度条件，安全。如果将载荷增加至Q=2kN，则AB杆的应力将达到=164MPa，不满足强度条件，须重新设计。或者增大斜杆的横截面面积，或者限制载荷Q的数值。在工程实际中，如工作应力略高于，但 (2.21)一般是允许的，这是因为许用应力考虑了安全系数n的缘故。【例题2.6】某冷锻机的曲柄滑块机构如例题2.6图所示。锻压工作时，连杆接近水平位置，锻压力P=3780kN，连杆横截面为矩形，高与宽之比h/b=1.4，材料的许用应力=90MPa（由于考虑到稳定效应影响，此处的已相应降低），试设计截面尺寸h和b。解：由于锻压时连杆位于水平，连杆所受压力等于锻压力P, 亦即轴力为N=P=3.78103kN由强度条件得 或 A42103mm2，因为连杆为矩形截面，所以A=bh42103mm2已知h=1.4b，代入上式得 1.4b242103mm解之得b173mm ， h1.4b=1.4173=242mm可选用b=175mm h=245mm工件例题2.6图 设计连杆AB的截面尺寸 例题2.7图 确定悬臂起重机的许可吊重【例题2.7】某工地自制悬臂起重机如例题2.7a图所示。撑杆AB为空心钢管，外径105mm，内径为95mm。钢索1和2互相平行，且设钢索可作为相当于直径d=25mm的圆杆计算。材料的许用应力同为=60MPa。试确定起重机的许可吊重。解：作滑轮A的受力图（例题2.7b图）,假设撑杆AB受压，轴力为N；钢索1受拉，拉力为F1。选取坐标轴x和y如图所示。1. 求外力（内力） 若不计摩擦力，则钢索2的拉力F2与吊重P相等。以F2=P代入第一式，并解以上方程组，求得N和F1为 (压力) (a) (b)求得的N及F1皆为正号，表示假设撑杆AB受压，钢索1受拉是正确的。2. 根据AB杆的强度条件确定许可吊重。由强度条件（式2.20）可得撑杆AB允许的最大轴力为 代入(a)式得相应的吊重为 同理，钢索1允许的最大拉力是 代入(b)式得相应的吊重为比较以上结果，可知起重机的许可吊重应为17kN。2.8轴向拉伸和压缩时的变形由实验可知，直杆在轴向载荷作用下，将会发生轴向尺寸的改变，同时还伴有横向尺寸的变化。轴向伸长时，横向就略有缩小；反之轴向缩短时，横向就略有增大。2.8.1轴向变形设等直杆的原长度为l（图2.21），横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，长度由l变成l1。杆件在轴线方向的伸长为图2.21 轴向拉伸杆件的变形情况 (2.22)将l除以l得杆件轴线方向的线应变此处，在杆件横截面上的应力为 虎克定律指出：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 式中弹性模量E的值随材料而不同。若把上两式代入公式（2.22），得 (2.23)2.8.2横向变形设等直杆变形前的横向尺寸为b（图2.21），变形后为b1，则横向缩短为 (2.24)横向应变为 (2.25)试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变1与轴向应变之比的绝对值是一个常数，即 (2.26)称为泊松系数，又称横向变形系数，与E一样，也是材料固有的弹性常数，且是一个没有量纲的量，常用材料的弹性模量和泊松系数见表2.2。表2.2 几种常用材料的E和的约值材料名称E（GPa）碳 钢合 金 钢灰 铸 铁铜及其合金铝 合 金19621618620678.515772.6128700.240.280.250.300.230.270.310.420.33 【例题2.8】例题2.8图所示托架，水平杆BC为钢圆杆，其直径d=30mm。斜杆AB由两根70706mm的等边角钢组成。若=160MPa，E=200GPa, 试校核托架的强度，并求B点的位移。设P=50kN。例题2.8图 求托架结构B点的位移 解:1.求各杆轴力。取节点B为研究对象，由平衡方程可求得1、2杆轴力分别为 2.强度校核 BA、BC杆应力分别为 由此可见托架的两杆都满足强度要求，故整个结构强度是满足要求的。3求B点的位移。根据虎克定律式（2.23）分别求出BA、BC两杆的变形为 这里l1为压缩变形，而l2为拉伸变形。对位移BB3的求解，通常有两种方法： 图解法，即按同一比例作出例题2.8b图所示多边形B2BB1B3，然后直接从图b中量出BB3的值； 解析法，即根据图b所示的三角关系进行求解。下面用解析法求出BB3。从图b中可看出B点的垂直位移 B点的水平位移B点的位移BB3为 4分析讨论。结构在载荷P作用下，由于两杆长度改变，使节点B发生了位移，同样两杆方位也发生了改变，夹角不再为300，这就使得按原夹角300求出的两杆轴力之值与实际数值存在差异。以上讨论是轴力N及横截面面积A沿杆轴线均不变化的情形。当轴力N或横截面面积A为杆轴线坐标x的连续函数时，杆件的轴向变形计算应先取微段dx，其上视，不变，引用虎克定律求得微段的轴向变形为 (2.27)例题2.9图 截面尺寸缓慢变化杆件变形的计算则整个杆件的变形为 (2.28)【例题2.9】例题2.9图中自由悬挂的变截面杆是圆锥体。其上下两端的直径分别为d2和d1。试求由载荷P引起的轴向变形（不计自重的影响）。设杆长l及弹性模量E均已知。解：设坐标为x时，横截面的直径为d，则 轴力是常量，即N（x）=P，由公式（2.28）求得整个杆件的伸长为 2.9 拉伸、压缩静不定问题结构的约束反力或构件的内力均可由静力平衡方程求出，这类问题称静定问题。可是在工程实际中，常常会遇到另一类问题，即结构的约束反力或构件的内力未知量个数多于独立的静力平衡方程数目，则不能单纯凭静力平衡方程来求其解答。这类问题称静不定问题，也称超静定问题。对这类问题设未知量的个数为s，静力平衡方程的数目为n，则： 称为静不定次数（或超静定次数），相应的问题称z次静不定问题。下面以一个简单的例子说明该类问题的求解。图2.22所示为一个三杆桁架结构，在节点A受到集中力P的作用，通过受力分析知结构的未知量为三杆的内力（或B、C、D处的约束反力），以节点A为研究对象考虑静力平衡得： 显然独立的平衡方程数目只有两个，无法解出三个未知量N1 、N2 、N3，此乃一次静不定问题。为了求得问题的解答，必须寻求静力平衡方程之外的补充方程，经验告诉我们，可从变形的角度考虑。设1，2杆的抗拉（压）刚度相同，则桁架变形是关于3杆对称的，即节点A竖直地移动到某点A1，A点位移AA1也就是杆3的伸长l3。为了保证1杆变形后仍与3杆在A点铰接，以B点为圆心，杆1的原长为半径作圆弧，圆弧以外的线段即为杆1的伸长。由于变形很小，可用垂直于A1B的直线AE代替上述弧线，且仍认为，则由于上述关系是从变形协调角度考虑结构须满足的条件，所以通常称上式为变形协调条件（方程）它是求解静不定问题至关重要的方程之一。物理方程 式中E1 A1 为1、2杆的抗拉（压）刚度，E3 A3 为3杆的抗拉（压）刚度；l1 ，l3 分别为1、2和3杆的长度。将物理方程代入变形协调方程有 即为静力平衡方程之外的补充方程，将其与静力平衡方程联立即可解得： 如需进一步求解各杆应力、变形，进行强度计算等，则与静定问题的求解方法是一样的。从以上例子可看出，静不定问题的求解是综合考虑静力平衡、变形协调以及物理等三方面的关系而求得解答的，这也是与静定问题求解的不同之处。下面以例题详细说明静不定问题构件内力的求解方法。图2.22 静不定桁架 例题2.10图 求解双层螺旋弹簧的内力 【例题2.10】内燃机的气阀弹簧和车辆的缓冲弹簧经常采用双层圆柱螺旋弹簧（例题2.10图）。若内弹簧的刚度为C1，外弹簧的刚度为C2，压力为P，试求内、外弹簧各自分担的压力。解：设内、外弹簧所承担的压力分别为P1 、P2 ，静力平衡关系显然为：Y=0， P1+P=P因为s=2，n=1，z=s-n=1，所以此乃一次静不定问题。将弹簧看作杆件，则轴力分别为N1= P1、N2= P2。因弹簧采用双层内外结构，显然两部分受压变形应相等，故变形协调关系应为：联系受力与变形的物理关系应为：联立求解以上三部分方程得：可见，内、外弹簧所承担的力与各自的刚度成正比。而刚度C1和C2又与弹簧的尺寸和材料的机械性质等有关（详见4.6）。例题2.11图 静不定的刚性梁板结构 【例题2.11】在图示结构中，假设AC梁为刚杆，杆1、2、3的横截面面积均为A，材料相同。试求三杆的轴力。 解：取横梁AB及1、2、3杆的部分为研究对象（例题2.11C图），静力平衡方程为：本题中s=3，n=2，则z=s-n=1，故此题也是一次静不定问题，有三个未知量N1、N2、N3，以上仅得到两个独立的平衡方程，故还不能求得解答。现考虑变形协调方面，设在载荷P作用下，横梁移动到AB（例题2.11b图），则杆1、2、3的伸长量分别为l1、l2、l3。从而，根据图b可得变形协调关系为：联系受力与变形的物理关系即虎克定律为：联立求解以上三方面方程可得：上述的求解方法和步骤，对一般的超静定问题都是适用的，现总结如下：列出静力平衡方程，确定静不定次数。列出变形协调条件，其数目应与静不定次数相等。 列出物理方程。 联立求解以上方程，得到全部未知量。2.10 温度应力和装配应力2.10.1 温度应力温度的变化将引起结构物或其部分构件的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，因此当温度在整个结构上均匀变化时，不会在结构杆件内产生应力。但在静不定结构中，由于“多余约束”，结构的变形部分或全部受到约束，温度变化将会引起杆内的应力，这种应力称为温度应力。计算温度应力的方法与静不定问题的解法相似，不同之处在于杆的变形包括由温度引起的变形和应力引起的弹性变形两部分。下面以例题说明温