高中数学 第二章 圆锥曲线与方程测评B 新人教A版选修21.doc

【优化设计】2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程测评b 新人教a版选修2-1 (高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015福建高考)若双曲线e:=1的左、右焦点分别为f1,f2,点p在双曲线e上,且|pf1|=3,则|pf2|等于()a.11b.9c.5d.3解析:由双曲线的定义知,|pf1|-|pf2|=6.因为|pf1|=3,所以|pf2|=9.答案:b2.(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为f,不经过焦点的直线上有三个不同的点a,b,c,其中点a,b在抛物线上,点c在y轴上,则bcf与acf的面积之比是()a.b.c.d.解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),由抛物线定义,得|af|=x1+1,|bf|=x2+1,则,故选a.答案:a3.(2015广东高考)已知双曲线c:=1的离心率e=,且其右焦点为f2(5,0),则双曲线c的方程为()a.=1b.=1c.=1d.=1解析:因为双曲线c的右焦点为f2(5,0),所以c=5.因为离心率e=,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线c的方程为=1.答案:c4.(2015天津高考)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()a.=1b.=1c.=1d.=1解析:因为双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,所以.又因为抛物线y2=4x的准线为x=-,所以c=.由,得a2=4,b2=3.故所求双曲线的方程为=1.答案:d5.(2015四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于a,b两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点m,且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()a.(1,3)b.(1,4)c.(2,3)d.(2,4)解析:如图所示,设a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0),则两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=.由cmab,得kcm=-,即x0=3.因为点m在抛物线内部,所以4x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即012.因为点m在圆上,所以(x0-5)2+=r2,即r2=+4.所以4r216,即2rb0,椭圆c1的方程为=1,双曲线c2的方程为=1,c1与c2的离心率之积为,则c2的渐近线方程为()a.xy=0b.xy=0c.x2y=0d.2xy=0解析:由题意,知椭圆c1的离心率e1=,双曲线c2的离心率为e2=.因为e1e2=,所以,即,整理可得a=b.又双曲线c2的渐近线方程为bxay=0,所以bxby=0,即xy=0.答案:a9.(2014课标全国高考)已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与c的一个交点.若=4,则|qf|=()a.b.3c.d.2解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|fm|=4.过q作qhl于h,则|qh|=|qf|.由题意,得phqpmf,则有,|hq|=3.|qf|=3.答案:b10.(2014重庆高考)设f1,f2分别为双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p使得|pf1|+|pf2|=3b,|pf1|pf2|=ab,则该双曲线的离心率为()a.b.c.d.3解析:根据双曲线的定义|pf1|-|pf2|=2a,可得|pf1|2-2|pf1|pf2|+|pf2|2=4a2.而由已知可得|pf1|2+2|pf1|pf2|+|pf2|2=9b2,两式作差可得-4|pf1|pf2|=4a2-9b2.又|pf1|pf2|=ab,所以有4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得4a=3b,平方得16a2=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9c2,所以e=,故选b.答案:b二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(2015湖南高考)设f是双曲线c:=1的一个焦点.若c上存在点p,使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点,则c的离心率为.解析:不妨设f(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为b(0,b),依题意得点p为(-c,2b),又点p在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e1,所以e=.答案:12.(2015山东高考)平面直角坐标系xoy中,双曲线c1:=1(a0,b0)的渐近线与抛物线c2:x2=2py(p0)交于点o,a,b.若oab的垂心为c2的焦点,则c1的离心率为.解析:双曲线的渐近线为y=x.由得a.由得b.f为oab的垂心,kafkob=-1.即=-1,解得,即可得e=.答案:13.(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.解析:双曲线x2-y2=1的焦点为f1(-,0),f2(,0).抛物线的准线方程为x=-.因p0,故-=-,解得p=2.答案:214.(2015江苏高考)在平面直角坐标系xoy中,p为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点p到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.由图形知,双曲线右支上的动点p到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c 即可,故c的最大值为.答案:15.(2014江西高考)过点m(1,1)作斜率为-的直线与椭圆c:=1(ab0)相交于a,b两点,若m是线段ab的中点,则椭圆c的离心率等于.解析:由题意可设a(x1,y1),b(x2,y2),则可得-,并整理得=-.(*)m是线段ab的中点,且过点m(1,1)的直线斜率为-,x1+x2=2,y1+y2=2,k=-.(*)式可化为,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即.e=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(2015安徽高考)设椭圆e的方程为=1(ab0),点o为坐标原点,点a的坐标为(a,0),点b的坐标为(0,b),点m在线段ab上,满足|bm|=2|ma|,直线om的斜率为.(1)求e的离心率e;(2)设点c的坐标为(0,-b),n为线段ac的中点,点n关于直线ab的对称点的纵坐标为,求e的方程.解:(1)由题设条件知,点m的坐标为,又kom=,从而,进而得a=b,c=2b,故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线ab的方程为=1,点n的坐标为.设点n关于直线ab的对称点s的坐标为,则线段ns的中点t的坐标为.又点t在直线ab上,且knskab=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆e的方程为=1.17.(6分)(2015湖南高考)已知抛物线c1:x2=4y的焦点f也是椭圆c2:=1(ab0)的一个焦点,c1与c2的公共弦的长为2.(1)求c2的方程;(2)过点f的直线l与c1相交于a,b两点,与c2相交于c,d两点,且同向.若|ac|=|bd|,求直线l的斜率;设c1在点a处的切线与x轴的交点为m.证明:直线l绕点f旋转时,mfd总是钝角三角形.解:(1)由c1:x2=4y知其焦点f的坐标为(0,1).因为f也是椭圆c2的一个焦点,所以a2-b2=1.又c1与c2的公共弦的长为2,c1与c2都关于y轴对称,且c1的方程为x2=4y,由此易知c1与c2的公共点的坐标为,所以=1.联立,得a2=9,b2=8.故c2的方程为=1.(2)如图,设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4).因同向,且|ac|=|bd|,所以,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.将,代入,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直线l的斜率为.由x2=4y得y=,所以c1在点a处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.令y=0得x=,即m,所以.而=(x1,y1-1),于是-y1+1=+10,因此afm是锐角,从而mfd=180-afm是钝角.故直线l绕点f旋转时,mfd总是钝角三角形.18.(6分)(2014江西高考)如图,已知抛物线c:x2=4y,过点m(0,2)任作一直线与c相交于a,b两点,过点b作y轴的平行线与直线ao相交于点d(o为坐标原点).(1)证明:动点d在定直线上;(2)作c的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点n1,与(1)中的定直线相交于点n2,证明:|mn2|2-|mn1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设ab方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则有x1x2=-8,直线ao的方程为y=x;bd的方程为x=x2.解得交点d的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y=-2.因此d点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得n1,n2的坐标为n1,n2.则|mn2|2-|mn1|2=+42-=8,即|mn2|2-|mn1|2为定值8.19.(7分)(2015天津高考)已知椭圆=1(ab0)的左焦点为f(-c,0),离心率为,点m在椭圆上且位于第一象限,直线fm被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|fm|=.(1)求直线fm的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点p在椭圆上,若直线fp的斜率大于,求直线op(o为原点)的斜率的取值范围.解:(1)由已知有,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线fm的斜率为k(k0),则直线fm的方程为y=k(x+c).由已知,有,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为=1,直线fm的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点m在第一象限,可得m的坐标为.