河南省许昌新乡平顶山高三数学下学期第二次模拟试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013许昌二模）合集u=0，1，2，3，um=2，则集合m=（）a0，1，3b1，3c0，3d2考点：子集与交集、并集运算的转换专题：计算题分析：利用全集和补集的定义，确定集合m元素的构成解答：解：合集u=0，1，2，3，cum=2，m是把全集u中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合，集合m=0，1，3，故选 a点评：本题考查全集和补集的定义，确定m是把全集u中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合是解题的关键2（5分）（2013许昌二模）若ar，则a=1是复数z=a21+（a+1）i是纯虚数的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：当a=1时，可以得到复数的实部等于0，得到复数是一个纯虚数；当复数是一个纯虚数时，根据复数的有关概念，得到实部为0且虚部不为0，得到a=1，得到是一个充要条件解答：解：a=1，z=2iz是纯虚数z是纯虚数故选c点评：本题考查复数的概念，考查条件的判断，是一个基础题，注意推导充要条件时，从两个方面入手，本题是一个必得分题目3（5分）（2013许昌二模）图中所示的是一个算法的流程图，已知a1=3，输出的b=7，则a2的值是（）a11b7c14d3考点：程序框图专题：图表型分析：本题框图是一个顺序结构，其功能是求出输入的两个数的平均数，由a1=3，输出的b=7，易求得a2解答：解：由框图知其功能是求出输入的两个数的平均数，a1=3，输出的b=7，3+a2=14，a2=11故选a点评：本题考查顺序结构，解题的关键是上框图得出算法的运算规则，根据其运算规则求值4（5分）（2012浙江）设l是直线，是两个不同的平面（）a若l，l，则b若l，l，则c若，l，则ld若，l，则l考点：平面与平面之间的位置关系专题：证明题分析：利用面面垂直的判定定理可证明b是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题解答：解：a，若l，l，则满足题意的两平面可能相交，排除a；b，若l，l，则在平面内存在一条直线垂直于平面，从而两平面垂直，故b正确；c，若，l，则l可能在平面内，排除c；d，若，l，则l可能与平行，相交，排除d故选 b点评：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题5（5分）（2013许昌二模）函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=acosx的图象，只需将f（x）的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得，函数的周期为，由此求得=2，由g（x）=acosx=sin2（x+）+，根据y=asin（x+）的图象变换规律得出结论解答：解：由题意可得，函数的周期为，故=，=2要得到函数g（x）=acosx=sin2（x+）+的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选a点评：本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，y=asin（x+）的周期性，属于中档题6（5分）（2013许昌二模）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）abcd考点：简单空间图形的三视图专题：计算题分析：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据所给的锥体的体积和锥体的高，得到这个锥体的底面面积的值，根据面积确定图形，这是选择题目特有的方法解答：解：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据锥体的体积是知=，s=1，即底面面积是1，在所给的四个图形中，只有正方形是一个面积为1的图形，故选d点评：本题考查由几何体确定俯视图，本题是一个基础题，题目的解决方向非常明确，只要得到一个底面面积是1的图形就可以7（5分）（2013许昌二模）点p为双曲线c1：和圆c2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2pf1f2=pf2f1，其中f1，f2为双曲线c1的两个焦点，则双曲线c1的离心率为（）abcd2考点：双曲线的应用专题：计算题分析：由题意：pf1pf2，且2pf1f2=pf2f1，故pf1f2=30，pf2f1=60设|pf2|=m，则|pf1|=m，|f1f2|=2m由e=，能求出双曲线的离心率解答：解：由题意：pf1pf2，且2pf1f2=pf2f1，pf1f2=30，pf2f1=60设|pf2|=m，则|pf1|=m，|f1f2|=2me=+1故选c点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化8（5分）（2013许昌二模）已知三棱锥pabc的四个顶点均在半径为3的球面上，且pa、pb、pc两两互相垂直，则三棱锥pabc的侧面积的最大值为（）a18b24c18d24考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由已知，三棱锥pabc的四个顶点均在半径为3的球面上，且pa，pb，pc两两垂直，球直径等于以pa，pb，pc为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥pabc的侧面积的最大值解答：解：pa，pb，pc两两垂直，又三棱锥pabc的四个顶点均在半径为3的球面上，以pa，pb，pc为棱的长方体的对角线即为球的一条直径36=pa2+pb2+pc2，则由基本不等式可得pa2+pb22papb，pa2+pc22papc，pb2+pc22pbpc，即36=pa2+pb2+pc2papb+pbpc+papc则三棱锥pabc的侧面积s=（papb+pbpc+papc）18，则三棱锥pabc的侧面积的最大值为18，故选a点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以pa，pb，pc为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键9（5分）（2013许昌二模）若实数x，y满足|x1|lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）abcd考点：函数的图象专题：数形结合分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案解答：解：|x1|lg=0，f（x）=（ ）|x1|其定义域为r，当x1时，f（x）=（ ）x1，因为01，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有b正确故选b点评：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题10（5分）（2013许昌二模）在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为dx=（）a1bcd考点：概率的应用；定积分；二项式系数的性质专题：综合题；概率与统计分析：先确定展开式的有理项，求出概率，再计算定积分解答：解：的展开式的通项为=r取3，9时，为有理项任取一项，设所取项为有理项的概率为=dx=dx=故选b点评：本题考查概率的计算，考查定积分，确定被积函数是关键11（5分）（2013许昌二模）已知点p是椭圆：+=1（x0，y0）上的动点，f1，f2是椭圆的两个焦点，o是坐标原点，若m是f1pf2的角平分线上一点，且=0，则|om|的取值范围是（）a0，3）b（0，2）c2，3）d0，4考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：结合椭圆 =1的图象，当点p在椭圆与y轴交点处时，点m与原点o重合，此时|om|取最小值0当点p在椭圆与x轴交点处时，点m与焦点f1重合，此时|om|取最大值由此能够得到|om|的取值范围解答：解：由椭圆 =1 的方程可得，c=由题意可得，当点p在椭圆与y轴交点处时，点m与原点o重合，此时|om|取最小值0当点p在椭圆与x轴交点处时，点m与焦点f1重合，此时|om|趋于最大值 c=2xy0，|om|的取值范围是（0，）故选b点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍12（5分）（2013许昌二模）已知x1，x2是函数f（x）=ex|lnx|的两个零点，则（）ax1x21bx1x21c1x1x2ed1x1x210考点：函数的零点与方程根的关系专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意f（x）=ex|lnx|的零点，即方程ex=|lnx|的实数根因此在同一坐标系内作出函数y=ex与y=|lnx|的图象，并设x1x2，可得lnx2lnx1，推出x1x21再根据x1且x21得到x1x2，由此即可得到本题的答案解答：解：函数f（x）=ex|lnx|的零点，即方程ex=|lnx|的实数根同一坐标系内作出函数y=ex与y=|lnx|的图象，如图所示不妨设x1x2，可得0x11且x210lnx11，lnx11，可得x1x21，x1x2又y=ex是减函数，可得lnx2lnx1，lnx2+lnx10，得lnx1x20，即x1x21综上所述，可得x1x21故选：b点评：本题给出含有指数和对数的基本初等函数，求函数的两个零点满足的条件，着重考查了指数函数、对数函数的图象与性质，以及函数的零点与方程根的关系等知识点，属于中档题二、填空题：本大题共4小每小题5分13（5分）（2010浙江）已知平面向量，|=1，|=2，（2），则|2+|的值是考点：平面向量的坐标运算分析：先由（2）可知（2）=0求出=，再根据|2+|2=42+4+2可得答案解答：解：由题意可知（2）=0，结合|2=1，|2=4，解得=，所以|2+|2=42+4+2=8+2=10，开方可知|2+|=故答案为点评：本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题14（5分）（2013许昌二模）已知n（0，2），且p（20）=0.4，则p（2）=0.1考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：概率与统计分析：由正态分布的关于x=0对称的性质先求出p（20）=0.4，再由对称性求出p（22）=0.8，即可解出结果解答：解：由题意知变量符合一个正态分布，随机变量n（0，2）且p（20）=0.4，p（20）=0.4，p（22）=0.8p（2）=（10.8）=0.1故答案为：0.1点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是理解并掌握正态分布的关于x=对称的特征与概率的关系，由此解出答案，本题是一个基础题15（5分）（2006重庆）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a考点：简单线性规划的应用专题：计算题；压轴题；数形结合分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值解答：解：画出可行域如图所示，其中b（3，0），c（1，1），d（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，a解得a故答案为a点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解16（5分）（2013许昌二模）设，对xn的任意非空子集a，定义f（a）为a中的最大元素，当a取遍xn的所有非空子集时，对应的f（a）的和为sn，则sn=（n1）2n+1考点：子集与真子集专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：由题意得对m的任意非空子集a一共有2n1个：在所有非空子集中每个元素出现2n1次可以推出有2n1个子集含n，有2n2个子集不含n含n1，有2n3子集不含n，n1，含n2有2k1个子集不含n，n1，n2k1，而含k，进而利用错位相减法求出其和解答：解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n1次故有2n1个子集含n，有2n2个子集不含n含n1，有2n3子集不含n，n1，含n2有2k1个子集不含n，n1，n2k1，而含有k定义f（a）为a中的最大元素，sn=2n1n+2n2（n1）+212+1sn=1+212+223+234+2n1n又2sn=2+222+233+244+2nn错位相减，可得sn=1+21+22+23+2n12nnsn=（n1）2n+1s3=（31）23+1=17故答案为：（n1）2n+1点评：解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可，找出规律是关键，此题难度比较大三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2013许昌二模）在abc中，角a、b、c的对边分别为a，b，c，且满足（1）求角b的大小；（2）若，求abc面积的最大值考点：解三角形；三角函数的化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用专题：计算题分析：（1）利用向量数量积的运算法则化简已知可得，然后利用正弦定理化简后，根据sina不为0得到cosb的值，根据b的范围及特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（2）根据向量的减法法则由得到即得到b的平方等于6，然后根据余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac的最大值，根据三角形的面积公式，利用ac的最大值及b的度数求出sinb的值，即可得到面积的最大值解答：解：（1）可化为：，即：，根据正弦定理有，即，因为sina0，所以，即；（ii）因为，所以，即b2=6，根据余弦定理b2=a2+c22accosb，可得，有基本不等式可知，即，故abc的面积，即当a=c=时，abc的面积的最大值为点评：此题考查学生灵活运用平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题18（12分）（2013许昌二模）在平面直角坐标系xoy中，平面区域w中的点的坐标（x，y）满足x2+y24，从区域w中随机取点m（x，y）；（）若xz，yz，令=x2+y2，求的分布列与数学期望；（）已知直线l：y=x+b（b0）与圆x2+y2=4相交所截得的弦长为2，求yx+b的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；几何概型；离散型随机变量及其分布列专题：计算题分析：（i）先一一列举出平面区域w中的整点的个数，再看看在第四象限的有多少个点，最后利用概率公式计算即得；（ii）因满足：“yx+b”的平面区域是一个弓形区域，欲求yx+b的概率，只须求出弓形区域的面积与圆的面积之比即可解答：解：（）若xz，yz，则点m的个数共有21个，列举如下：（2，0），（1，1），（1，0），（1，1），（0，2），（0，1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，1），（1，0），（1，1），（2，0）p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=4）=，的分布列为 01 24pe=（）由已知可知区域w的面积是4直线l：y=x+b（b0）与圆x2+y2=4相交所截得的弦长为2，如图，可求得扇形的圆心角为 ，所以扇形的面积为 ，则满足yx+b的点m构成的区域的面积为，所以yx+b的概率为点评：本题主要考查了古典概型和几何概型，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件a出现m种结果，那么事件a的概率p（a）=如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型19（12分）（2013许昌二模）将如图1的直角梯形abef（图中数字表示对应线段的长度）沿直线cd折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示（）求证：be面adf；（）求二面角dbfe的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角分析：（i）取df的中点m，连结am、em，可证出emab且em=ab，从而得到四边形abem是平行四边形，得ambe根据线面平行的判定定理，可证出be平面adf；（ii）分别以以da、dc、df所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系dxyz，如图所示得到a、b、c、e、f各点的坐标，从而得到、和的坐标，利用垂直的两个向量数量积为零列式，解出=（1，1，1）是平面bef的一个法向量，而=（1，1，0）是平面bdf的一个法向量，用公式算出、的夹角为90，从而得到平面bdf与平面bef互相垂直，即得二面角dbfe的大小为90解答：解：（i）取df的中点m，连结am、em，则dm=ec=1且dmec四边形cdme是平行四边形，可得emcd且em=cd又abcd且ab=cd，得emab且em=ab四边形abem是平行四边形，可得ambeam平面adf，be平面adf，be平面adf；（ii）连结ac平面abcd平面dcef，abcd为正方形，dcef为直角梯形，以da所在直线为x轴、dc所在直线为y轴、df所在直线为z轴，建立空间直角坐标系dxyz，如图所示可得a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，0，1），e（0，1，1），f（0，0，2）acbd，acdf，bd、df是平面bdf内的相交直线ac平面bdf，可得=（1，1，0）是平面bdf的一个法向量设平面bef的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=1得x=y=1，可得=（1，1，1）cos，=0，即平面bdf的法向量与平面bef的法向量互相垂直因此，平面bdf与平面bef互相垂直，可得二面角dbfe的大小为90点评：本题以折叠问题为载体，在四棱锥中证明线面平行，并求二面角的大小着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题20（12分）（2013许昌二模）已知椭圆的离心率为，并且直线y=x+b是抛物线c2：y2=4x的一条切线（i）求椭圆c1的方程（）过点的动直线l交椭圆c1于a、b两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点t，使得以ab为直径的圆恒过定点t？若存在求出t的坐标；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题；压轴题分析：（i）先跟据直线y=x+b是抛物线c2：y2=4x的一条切线，求出b的值，再由椭圆离心率为，求出a的值，则椭圆方程可得（）先假设存在一个定点t，使得以ab为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量，的数量积为0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在解答：解：（i）由得x2+（2b4）x+b2=0直线y=x+b是抛物线c2：y2=4x的一条切线所以=0b=1所以椭圆（5分）（）当直线l与x轴平行时，以ab为直径的圆方程为当直线l与y轴重合时，以ab为直径的圆方程为x2+y2=1所以两圆的切点为点（0，1）（8分）所求的点t为点（0，1），证明如下当直线l与x轴垂直时，以ab为直径的圆过点（0，1）当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：由 得（18k2+9）x212kx16=0设a（x1，y1），b（x2，y2）则所以，即以ab为直径的圆过点（0，1）所以存在一个定点t，使得以ab为直径的圆恒过定点t（13分）点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析21（12分）（2013许昌二模）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x0）（）设f（x）=ax2+f（x）（ar），讨论函数f（x）的单调性；（）若斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于a（x1，y1）、b（x2，y2）（x1x2）两点，求证：x1x2考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明专题：导数的综合应用分析：（）求出函数f（x）的导函数，代入函数f（x）=ax2+f（x）（ar），进一步求出函数f（x）的导函数，然后分a0和a0分析导函数在不同区间内的符号，从而得到函数f（x）的单调性；（）由两点式求出，利用分析法得到证，转化为证，换元后构造函数，利用导函数得到单调性，从而得到要证的结论解答：解：（）由f（x）=x（lnx+1）（x0），得f（x）=lnx+2（x0），f（x）=ax2+lnx+2（x0），（x0）当a0时，恒有f（x）0，故f（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，令f（x）0，得2ax2+10，解得；令f（x）0，得2ax2+10，解得；综上，当a0时，f（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减；（）要证，即证，等价于证，令，则只要证1，由t1，知lnt0，故等价于lntt1tlnt（t0）（*）设g（t）=t1lnt（t1），则（t1），故g（t）在1，+）上是增函数，当t1时，g（t）=t1lntg（1）=0，即t1lnt（t1）设h（t）=tlnt（t1）（t1），则h（t）=lnt0（t1），故h（t）在1，+）上是增函数当t1时，h（t）=tlnt（t1）h（1）=0，即t1（t1）由知（*）成立，故点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式的证明，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了函数构造法，解答的关键在于正确分类，是有一定难度题目22（3分）（2013许昌二模）如图，已知pe切圆o于点e，割线pba交圆o于a，b两点，ape的平分线和ae、be分别交于点c，d（）求证：ce=de；（）求证：=考点：与圆有关的比例线段专题：证明题分析：（）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明