高考数学一轮复习 第十三章 选考部分 第1讲 几何证明选讲课件 理.ppt

第1讲几何证明选讲 考试要求1 平行线等分线段定理和平行截割定理 a级要求 2 相似三角形的判定定理及性质定理 b级要求 3 直角三角形射影定理 a级要求 4 圆周角定理及其推论 弦切角定理及其推论 b级要求 5 圆的切线的判定定理及性质定理 b级要求 6 相交弦定理 割线定理 切割线定理 b级要求 7 圆内接四边形的判定定理与性质定理 b级要求 知识梳理 1 平行截割定理 1 平行线等分线段定理如果一组在一条直线上截得的线段 那么在任一条 与这组平行线相交的 直线上截得的线段也 2 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段成 平行线 相等 相等 比例 2 相似三角形的判定与性质 1 相似三角形的判定定理 两角对应的两个三角形 两边对应成且夹角的两个三角形 三边对应成的两个三角形 2 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 相等 相似 比例 相等 相似 比例 相似 相似比 相似比 相似比的平方 3 直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于 斜边上的高的平方等于 该直角边在斜边上的射 影与斜边的乘积 两条直角边在 斜边上的射影的乘积 4 圆中有关的定理 1 圆周角定理 圆周角的度数等于其所对弧的度数的 2 圆心角定理 圆心角的度数等于的度数 3 切线的判定与性质定理 切线的判定定理过半径外端且与这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理圆的切线于经过切点的半径 4 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 切线长 一半 它所对弧 垂直 垂直 相等 6 相交弦定理圆的两条相交弦 每条弦被交点分成的两条线段长的积 7 割线定理从圆外一点引圆的两条割线 该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 8 切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的 相等 等比中项 相等 5 弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 一半 9 圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接四边形判定定理 如果四边形的对角 则此四边形内接于圆 如果四边形的一个外角它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角 圆内接四边形的外角它的内角的对角 互补 等于 互补 等于 诊断自测 1 2016 南通调研 如图所示 已知pa与 o相切 a为切点 pbc为割线 弦cd ap ad bc相交于点e f为ce上一点 且de2 ef ec 求证 p edf 证明因为de2 ef ec 所以de ce ef ed 因为 def是公共角 所以 def ced 所以 edf c 因为cd ap 所以 c p 所以 p edf 2 2015 苏 锡 常 镇四市调研 如图 o为四边形abcd的外接圆 且ab ad e是cb延长线上一点 直线ea与圆o相切 3 如图 abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e 1 证明由已知条件 可得 bae cad 因为 aeb与 acd是同弧所对的圆周角 所以 aeb acd 故 abe adc 考点一相似三角形的判定及性质 例1 2015 江苏卷 如图 在 abc中 ab ac abc的外接圆 o的弦ae交bc于点d 求证 abd aeb 证明因为ab ac 所以 abd c 又因为 c e 所以 abd e 又 bae为公共角 可知 abd aeb 规律方法 1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 训练1 如图 bd ce是 abc对应边上的高 求证 ade abc 考点二圆周角 弦切角及圆的切线问题 例2 如图所示 o的直径为6 ab为 o的直径 c为圆周上一点 bc 3 过c作圆的切线l 过a作l的垂线ad ad分别与直线l 圆交于d e 1 求 dac的度数 2 求线段ae的长 解 1 由ab是 o的直径 知 abc是直角三角形 易知 cab 30 由于直线l与 o相切 由弦切角定理知 bcf 30 由 dca acb bcf 180 又 acb 90 图1 知 dca 60 故在rt adc中 dac 30 2 法一连接be 如图1所示 由 1 知 eab 60 cba ab为公共边 则rt abe rt bac 所以ae bc 3 法二连接ec oc 如图2所示 则由弦切角定理 知 dce cae 30 又 dca 60 故 eca 30 又因为 cab 30 故 eca cab 从而ec ao 图2 由oc l ad l 可得oc ae 故四边形aoce是平行四边形 又因为oa oc 故四边形aoce是菱形 故ae ao bc 3 规律方法 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 训练2 2015 全国 卷 如图 ab是 o的直径 ac是 o的切线 bc交 o于点e 1 若d为ac的中点 证明 de是 o的切线 2 若oa ce 求 acb的大小 1 证明连接ae 由已知得 ae bc ac ab 在rt aec中 由已知得 de dc 故 dec dce 连接oe 则 obe oeb 又 acb abc 90 所以 dec oeb 90 故 oed 90 de是 o的切线 考点三与圆有关的比例线段 例3 2014 新课标全国 卷 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 2 由切割线定理得pa2 pb pc 因为pa pd dc 所以dc 2pb bd pb 由相交弦定理得ad de bd dc 所以ad de 2pb2 规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 常利用圆周角或弦切角证明三角形相似 在相似三角形中寻找比例线段 也可以利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比例 在实际应用中 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 1 证明因为de为 o直径 则 bed edb 90 又bc de 所以 cbd edb 90 从而 cbd bed 又ab切 o于点b 得 dba bed 所以 cbd dba 考点四圆内接四边形的判定及应用 例4 如下图 已知ab为圆o的一条直径 以端点b为圆心的圆交直线ab于c d两点 交圆o于e f两点 过点d作垂直于ad的直线 交直线af于h点 1 证明因为ab为圆o的一条直径 所以 afb 90 所以 bfh 90 又dh bd 所以 hdb 90 所以 bfh hdb 180 所以b d h f四点共圆 规律方法 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 训练4 2016 银川一中月考 如图 已知ap是 o的切线 p为切点 ac是 o的割线 与 o交于b c两点 圆心o在 pac的内部 点m是bc的中点 1 证明 a p o m四点共圆 2 求 oam apm的大小 1 证明连接op om 因为ap与 o相切于点p 所以op ap 因为m是 o的弦bc的中点 所以om bc 于是 opa oma 180 由圆心o在 pac的内部 可知四边形apom的对角互补 所以a p o m四点共圆 2 解由 1 得a p o m四点共圆 所以 oam opm 由 1 得op ap 因为圆心o在 pac的内部 所以 opm apm 90 所以 oam apm 90 思想方法 1 解决几何证明问题需用各种判定定理 性质定理 推理和现有的结论 要熟悉各种图形的特征 利用好平行 垂直 相似 全等的关系 适当添加辅助线和辅助图形 这些知识都有利于问题的解决 2 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 3 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据 解题时