高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件.ppt

第八章平面解析几何 8 5椭圆 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做椭圆的 两焦点的距离叫做椭圆的 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合p为椭圆 2 若 则集合p为线段 3 若 则集合p为空集 椭圆 焦点 焦距 a c a c a c 知识梳理 1 答案 知识梳理 1 知识梳理 1 答案 知识梳理 1 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 答案 点p x0 y0 和椭圆的关系 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 答案 思考辨析 答案 c 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 b 解析答案 1 2 3 4 5 a 故选a 解析答案 1 2 3 4 5 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析设p x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则f1 1 0 f2 1 0 由题意可得点p到x轴的距离为1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1如图所示 一圆形纸片的圆心为o f是圆内一定点 m是圆周上一动点 把纸片折叠使m与f重合 然后抹平纸片 折痕为cd 设cd与om交于点p 则点p的轨迹是 命题点1椭圆定义的应用 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 圆 解析由条件知 pm pf po pf po pm om r of p点的轨迹是以o f为焦点的椭圆 a 椭圆的定义及标准方程 题型一 解析答案 例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的3倍 并且过点p 3 0 则椭圆的方程为 命题点2利用待定系数法求椭圆方程 解析答案 解析设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点p1 p2 点p1 p2的坐标适合椭圆方程 解析答案 思维升华 思维升华 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2 这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 已知圆 x 2 2 y2 36的圆心为m 设a为圆上任一点 且点n 2 0 线段an的垂直平分线交ma于点p 则动点p的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析点p在线段an的垂直平分线上 故 pa pn 又am是圆的半径 pm pn pm pa am 6 mn 由椭圆定义知 p的轨迹是椭圆 b 跟踪训练1 解析答案 解析答案 解析答案 解析答案 即c 4 由c2 a2 b2可得b2 4 解析答案 解析答案 其焦点在y轴上 且c2 25 9 16 c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 由 得b2 4 a2 20 解析答案 解析答案 解析设点b的坐标为 x0 y0 解析答案 解析答案 椭圆的几何性质 题型二 c 解析答案 解析答案 思维升华 又o为线段f1f的中点 f1q om f1q qf f1q 2 om 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 d 跟踪训练2 解析答案 解析答案 命题点1由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 直线与椭圆的综合问题 题型三 解由椭圆的定义 设椭圆的半焦距为c 由已知pf1 pf2 解析答案 2 若 pf1 pq 求椭圆的离心率e 解析答案 解方法一连接f1q 如图 设点p x0 y0 在椭圆上 且pf1 pf2 则 解析答案 由椭圆的定义 pf1 pf2 2a qf1 qf2 2a 从而由 pf1 pq pf2 qf2 有 qf1 4a 2 pf1 解析答案 方法二如图 由椭圆的定义 pf1 pf2 2a qf1 qf2 2a 从而由 pf1 pq pf2 qf2 有 qf1 4a 2 pf1 命题点2由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 解得a2 8 b2 4 解析答案 2 直线l不过原点o且不平行于坐标轴 l与c有两个交点a b 线段ab的中点为m 证明 直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 证明设直线l y kx b k 0 b 0 a x1 y1 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 所以直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 解析答案 思维升华 思维升华 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 2015 北京 已知椭圆c x2 3y2 3 过点d 1 0 且不过点e 2 1 的直线与椭圆c交于a b两点 直线ae与直线x 3交于点m 1 求椭圆c的离心率 跟踪训练3 解析答案 2 若ab垂直于x轴 求直线bm的斜率 解析答案 3 试判断直线bm与直线de的位置关系 并说明理由 解析答案 返回 解直线bm与直线de平行 证明如下 当直线ab的斜率不存在时 由 2 可知kbm 1 所以bm de 当直线ab的斜率存在时 设其方程为y k x 1 k 1 设a x1 y1 b x2 y2 解析答案 解析答案 所以kbm 1 kde 所以bm de 综上可知 直线bm与直线de平行 返回 高频小考点 高频小考点 7 高考中求椭圆的离心率问题 解析答案 解析如图 设左焦点为f0 连接f0a f0b 则四边形afbf0为平行四边形 af bf 4 af af0 4 a 2 故选a 答案a 解析答案 温馨提醒 返回 解析答案 温馨提醒 3b4 4a2c2 温馨提醒 温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表达 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 返回 思想方法感悟提高 方法与技巧 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 解析由题意知 af1 a c f1f2 2c f1b a c 且三者成等比数列 则 f1f2 2 af1 f1b 即4c2 a2 c2 a2 5c2 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 已知f1 1 0 f2 1 0 是椭圆c的两个焦点 过f2且垂直于x的直线与椭圆c交于a b两点 且 ab 3 则c的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c 解析答案 4 已知f1 f2是椭圆的两个焦点 若椭圆上存在点p 使得pf1 pf2 则椭圆的离心率的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b 解析答案 5 已知f1 f2分别是椭圆的左 右焦点 现以f2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点m n 若过f1的直线mf1是圆f2的切线 则椭圆的离心率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意知椭圆的两个焦点f1 f2分别是两圆的圆心 且 pf1 pf2 10 从而 pm pn 的最小值为 pf1 pf2 1 2 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又x2 0 a2 2c2 a2 3c2 解析答案 1 求椭圆c的方程 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 若直线y x m与椭圆c交于不同的两点a b 且线段ab的中点m在圆x2 y2 1上 求m的值 解设点a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 线段ab的中点为m x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 点m x0 y0 在圆x2 y2 1上 解析答案 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 设点c的坐标为 0 b n为线段ac的中点 证明 mn ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明由n是ac的中点知 由 1 的计算结果可知a2 5b2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意可设p c y0 c为半焦距 答案c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若f1c ab 求椭圆离心率e的值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设椭圆的焦距为2c 则f1 c 0 f2 c 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 因为b 0 b f2 c 0 在直线ab上 解析答案 又ac垂直于x轴 由椭圆的对称性 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 1 求椭圆c的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得a2 4 b2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求 abq面积的最大值 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知q x0 y0 解析答案 设a x1 y1 b x2 y2 将y kx m代入椭圆e的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m