高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 新人教B版.ppt

10 4直线与圆锥曲线的位置关系 高考理数 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时 通常将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入圆锥曲线r的方程f x y 0中 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的方程 即消去y后得ax2 bx c 0 1 当a 0时 若 0 则直线l与曲线r相交 若 0 则直线l与曲线r相切 若 0 则直线l与曲线r相离 2 当a 0时 得到一个一次方程 则直线l与曲线r相交 有且只有一个交点 此时 若r为双曲线 则直线l与双曲线的渐近线平行 若r为抛物线 则直线l与抛物线的对称轴平行或重合 2 直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线l f x y 0 圆锥曲线r f x y 0 l与r有两个不同的交点a x1 y1 b x2 y2 则 x1 y1 x2 y2 是方程组的两组解 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 判别式 知识清单 b2 4ac 应有 0 所以x1 x2是方程ax2 bx c 0的两个根 由根与系数的关系 韦达定理 得x1 x2 x1 x2 所以a b两点间的距离 ab x1 x2 即弦长公式 其中k为直线l的斜率 也可以写成关于y的形式 其弦长公式为 ab y1 y2 k 0 特殊地 如果直线l过抛物线的焦点 抛物线方程以y2 2px p 0 为例 此时 弦长公式 ab x1 x2 p 3 弦ab的中点与直线ab斜率的关系 1 已知ab是椭圆 1 a b 0 的一条弦 其中点m的坐标为 x0 y0 运用点差法求直线ab的斜率 则kab 2 已知ab是双曲线 1 a 0 b 0 的一条弦 且a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 弦中点m x0 y0 则kab 3 已知ab是抛物线y2 2px p 0 的一条弦 且a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 弦中点m x0 y0 则kab 知识拓展 1 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题是解析几何中的主要内容之一 也是高考的一个热点问题 常利用一元二次方程根与系数的关系 韦达定理 直接得到两交点坐标之和与之积 也可用平方差找到两交点坐标之和 直接与中点坐标建立联系 一般有以下三类问题 1 求中点弦所在直线方程 2 求弦中点的轨迹方程问题 3 弦长为定值时 求弦中点的坐标 2 有关曲线关于直线对称的问题 只需注意两点关于一条直线对称的条件 1 两点连线与该直线垂直 两直线都有斜率时 斜率互为负倒数 2 两点所连线段的中点在此直线上 中点坐标适合直线方程 有关直线与圆锥曲线的位置关系存在两类问题 一是判断位置关系 二是依据位置关系确定参数的范围 这两类问题在解决方法上是一致的 都要将直线与圆锥曲线方程联立 利用判别式及根与系数的关系进行求解 例1 2012重庆 20 12分 如图 设椭圆的中心为原点o 长轴在x轴上 上顶点为a 左 右焦点分别为f1 f2 线段of1 of2的中点分别为b1 b2 且 ab1b2是面积为4的直角三角形 1 求该椭圆的离心率和标准方程 2 过b1作直线l交椭圆于p q两点 使pb2 qb2 求直线l的方程 突破方法 方法1直线与圆锥曲线的位置关系 解题导引 1 设标准方程为 1 a b 0 由 ab1b2为直角三角形得 aob2为等腰直角三角形 得b 结合c2 a2 b2 求e 由 4 求a2 b2 标准方程 2 设l的方程为x my 2 与椭圆方程联立 设p x1 y1 q x2 y2 利用根与系数的关系求y1 y2 y1 y2 由pb2 qb2得 0 得关于m的方程 求m 得直线l的方程解析 1 设所求椭圆的标准方程为 1 a b 0 右焦点为f2 c 0 因为 ab1b2是直角三角形 又 ab1 ab2 所以 b1ab2为直角 因此 oa ob2 则b 又c2 a2 b2 所以4b2 a2 b2 故a2 5b2 c2 4b2 所以离心率e 3分 在rt ab1b2中 oa b1b2 故 b1b2 oa ob2 oa b b2 由题设条件 4得b2 4 从而a2 5b2 20 因此所求椭圆的标准方程为 1 6分 2 由 1 知b1 2 0 b2 2 0 由题意知直线l的倾斜角不为0 故可设直线l的方程为x my 2 代入椭圆方程得 m2 5 y2 4my 16 0 设p x1 y1 q x2 y2 则y1 y2是上面方程的两根 因此y1 y2 y1 y2 8分 又 x1 2 y1 x2 2 y2 所以 x1 2 x2 2 y1y2 my1 4 my2 4 y1y2 m2 1 y1y2 4m y1 y2 16 16 10分 由pb2 qb2 得 0 即16m2 64 0 解得m 2 所以满足条件的直线有两条 其方程分别为x 2y 2 0和x 2y 2 0 12分 1 1 2015云南二模 20 已知抛物线c y2 4x的准线与x轴交于点m e x0 0 是x轴上的点 直线l经过m与抛物线c交于a b两点 1 设l的斜率为 x0 5 求证 点e在以线段ab为直径的圆上 2 设a b都在以点e为圆心的圆上 求x0的取值范围 解析由已知得m 1 0 直线l的斜率存在且不为零 设l的方程为y k x 1 k 0 由得k2x2 2 k2 2 x k2 0 由直线l与抛物线c交于a b两点得 4 k2 2 2 4k4 0 解得k2 1 0 k2 1 设a x1 kx1 k b x2 kx2 k 则 1 当k x0 5时 e 5 0 a b x1x2 5 x1 x2 25 x1x2 x1 x2 1 0 即ea eb 点e在以线段ab为直径的圆上 2 a b都在以点e为圆心的圆上 ea eb 设ab的中点为d 则d ea eb de ab k 0 kde k 1 解得x0 1 03 x0的取值范围为 3 中点弦 问题常用 根与系数的关系 和 点差法 求解 关键是构造出x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 从而建立中点坐标与方程的系数 斜率的关系 例2已知一直线与椭圆4x2 9y2 36相交于a b两点 弦ab的中点m的坐标为 1 1 求直线ab的方程 解析解法一 设通过点m 1 1 的直线ab的方程为y k x 1 1 代入椭圆方程 整理得 9k2 4 x2 18k 1 k x 9 1 k 2 36 0 设a b的横坐标分别为x1 x2 则 1 解得k 故直线ab的方程为y x 1 1 即4x 9y 13 0 解法二 设a x1 y1 ab的中点为m 1 1 b点的坐标是 2 x1 2 y1 将a b点的坐标代入方程4x2 9y2 36 得 方法2相交弦的中点问题 4 9 36 0 及4 2 x1 2 9 2 y1 2 36 化简为4 9 16x1 36y1 16 0 得16x1 36y1 52 0 化简为4x1 9y1 13 0 同理可推出4 2 x1 9 2 y1 13 0 a x1 y1 与b 2 x1 2 y1 都满足方程4x 9y 13 0 4x 9