课例：函数模型的实际应用.doc

课例：函数模型的实际应用福州屏东中学 林宏一、教学目标：知识与技能 能利用图形计算器作出散点图，进行比较选择函数模型；根据例题的解决方法总结出建立函数模型解决实际问题的一般方法。过程与方法 针对收集到的实际数据利用图形计算器，画出散点图，选择适当的函数模型，通过小组讨论、比较，以获得更精确的函数模型。情感、态度、价值观 通过实际问题的解决，深入体会数学函数模型在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣二、教学重、难点：重点 收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型，解决实际问题难点 对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正三、教学方法采用学生小组合作，组间交流、教师点拨的方式，借助于图形计算器，感受建立函数模型解决问题的过程，掌握建立函数模型的数学思想方法，培养用数学方法解决实际生活中的问题的能力。四、教学准备 教学课件一份；图形计算器；实物投影仪五、教学过程（一）导入新课师：通过上一阶段的学习，我们已经掌握了如何利用已知函数模型解决实际问题的数学方法，感受到函数模型的重要作用。在现实生活中，当我们遇到问题时，往往没有现成的函数模型可以直接套用，需要自己去建立模型来解决问题。如何建立函数模型？如何建立较为合理的函数模型呢？让我们带着这个问题进入今天的学习！（二）探究新知1问题情景，感受建模师：上周，学校组织大家进行了体检，大家都想了解自己的身高、体重是否正常，老师查阅了相关资料，发现了这张不同身高的未成年男性的体重平均值表，并说明体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦。你能从表格中判断出自己的身高、体重是否正常呢？我们能否从这些已知的数据中，发现规律，进而判断自己的身高、体重是否正常呢？不同身高的未成年男性的体重平均值表（单位：身高cm；体重kg）身高60708090100110体重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120130140150160170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.05注：若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦生：(经过一段时间思考、讨论后)：表中数据反映的是两个变量身高x与体重y的变化关系，随着身高值的增大体重值也在增大，要想进一步发现它们间的规律需要建立直角坐标系。画出数组（x,y）的对应点来观察这些点的变化规律有了点的变化趋势，就能大概确定用什么函数来近似反映它师：分析得很好!生活中的数据大多是近似值，这给我们的作图带来极大的不便，大家可以先用图形计算器描点画图。生：（学生两人一组，动手操作）将表中数据输入图形计算器，以身高为x轴，体重为y轴建立坐标系，得到散点图。（数据输入） （得到散点图）师：（PPT呈现散点图）观察点的变化趋势，有什么样的规律？生：随着身高值x的增大体重值y也在增大，y是关于x的单调增函数。师：有哪些函数的图象与这些散点图的变化趋势比较接近？生：一次函数，二次函数，指数型函数师：那大家就分组尝试一下用这些函数来拟合，比较一下哪个最好！生：（动手操作，小组讨论；请个别小组的代表上台交流展示：你尝试了用哪些函数来拟合？其中，你觉得拟合的最好的是哪个？为什么？）组1：我们小组选择了一次函数与二次函数来拟合，发现二次函数较一次函数拟合的效果好的多。因为直线仅经过一个点，而且其他点都偏离直线较远，而二次函数的图象经过了两个点，其余点都比较均匀地分布在图象的附近。（一次函数） （二次函数） 组2：我们小组选择了二次函数与指数型函数来拟合，发现指数型函数拟合的效果比二次函数拟合的效果更好一些。因为指数型函数的图形经过了六个点，其他点也分布在图象的附近。（指数型函数） 组3：我们小组在已应用二次函数与指数型函数来拟合的基础上，有尝试了用三次函数来拟合，发现三次函数拟合的效果也很不错，图象经过了七个点，所以我们觉得三次函数妮黄的效果最好！（三次函数） 师：虽然大家选择的函数模型不同，但是大家判断最佳函数模型的标准却是相同的，看的是拟合的函数图象与已知点的位置关系：图象能经过尽量多的点，同时让其余点尽量分布在图象的左右。这是判断拟合好坏的标准之一，但还不够精确、严谨。我们使用的这款图形计算器为我们提供了另一种区分拟合优劣的方法，用相关系数R来刻画拟合的优劣，当R越接近于1，说明函数的拟合的效果越好。（使用说明：“2 nd”+“0”“D”寻找“DiagnosticOn”“Enter”“Enter”）生：（学生操作，得到相应的R值，教师负责记录，确定函数模型）（一次函数） （二次函数） （指数型函数） （三次函数） 师：通过比较各函数模型拟合后的R值，发现最接近1的是指数型函数，所以我们就选择作为未成年男生的身高与体重的函数。师：选择好函数模型，我们判断自己的体重是否正常吗？（学生输入自己的身高值，得到对应体重的平均值，进而进行判断）生甲：（身高176cm，体重65kg）输入身高176，得到体重的平均值64.35，64.351.2=77.22，由此可以判断该生的体重值介于超出平均值的0.81.2之间，身材很标准。 师：通过这道例题，相信大家已经感受到如何建立数学建模解决实际应用问题的基本方法和步骤，请大家回忆一下，我们分了几个步骤来完成这道例题。生：小组讨论，相互补充。师：请一位同学来回答一下我们用了哪些步骤生：收集数据画散点图选择函数模型建立函数模型检验相关系数解决实际问题（学生的回答，教师板书）师：很好！这些步骤实际上就是“如何建立函数模型”的步骤。2关注生活，掌握建模某科技工业区新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件。由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量。今天大家尝试一下，怎样从实际问题入手，运用学过的知识，通过抽象概括、建立数学模型来解决问题。请你协助厂长，解决这个难题。生（输入数据） （作出散点图） 从点的变化趋势上，可以排除一次函数的情形（组1） （组2） （组3） 生：就选择三次函数还是对数型函数展开了激烈的讨论，最后达成共识用对数型函数拟合最佳。因为函数模型的选择不但要看R值，还要和实际生活相符合。由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而对数型函数恰好反映了这种趋势，因此选用对数型函数拟合比较接近客观实际。3预测未来，熟练建模上周我们布置了作业，让大家从生活中寻找数据，并根据数据预测未来，下面我们各小组交流一下。1）据2001年5月15日参考消息报道，前四届奥运会和2004年（专家预测）奥运会转播费收入如下表所示。请预测2008年奥运会转播费收入为多少？(单位：亿美元)年份198819921996200020042008收入3.996.368.9513.3114.97？（y=2.891x+0.843，r0.99185）2008年预计为18.19亿美元2）请根据19932005年中国GDP总值，预测2007年的GDP总值19932005年中国GDP总值年份1993199419951996199719981999GDP总值（亿元）31380438005773367795747727834582067年份200200120022003200420052007GDP总值（亿元）8944295933102398116499159878182321？（课前布置了任务，由学生收集自己感兴趣的数据，带到课堂上来解决，让学生学以致用）（四）总结回顾（教师引导学生总结） 建立函数模型的一般步骤：收集数据画散点图选择函数模型建立函数模型检验相关系数解决实际问题（五）作业布置近年来，随着生活水平的不断提高，私家车拥有量也在快速增长。方便我们生活的同时也带来了不少的隐忧：加大了对石油的需求量，增加了城市交通的压力等等。请收集相关数据，预测2010年福州的私家车拥有量，并对可能出现的问题给相关部门提出合理的建议。课例“函数模型的实际应用”点评 福州屏东中学 周灵函数是高中数学的一条主线，为了使学生更好地理解函数的概念，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数模型的广泛应用，新教材第一次将函数的应用独立成章。函数模型的应用分为三个层次：一是已知函数模型，去解释实际问题；二是函数模型是确定的，求出这个函数模型，去解释实际问题；三是函数拟合，首先作数据的散点图然后根据散点图考虑选择怎样的函数模型比较合适，通过拟合获得合适的函数模型，之后运用这个函数模型去解释实际问题。福州屏东中学林宏老师的函数模型的实际应用是这一单元的第三课时，就是要实现上述第三层次的要求。这一部分是新教材新增内容，如何在现代教育技术的支持下，使学生亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，是一个值得探讨的问题。因而本节课是新教材的一个亮点，也是教学中的一个难点。这节课在教学中进行了有益的尝试，我认为主要有以下几个优点：(1)信息技术的有效应用。在过去的教材中，由于没有技术的支持，函数的应用形式上比较单一，都是模型已经给定的，虽然看起来是一个实际问题的应用，但因模型给定，实际上将其变成一种运算，学生既不知道所给模型是如何来的，也不知道所选的模型是否合适，运用函数模型解决问题的真实过程没有体现出来。这节课中图形计算器为学生提供了一个探索数学，发现知识、探究知识和表达观点的有力工具，借助图形计算器，学生绘散点图，自主研究，发现所蕴含的规律，不断提出假设，选择比较合适的函数，方便快捷地拟合散点，并进行验证，直到解决问题。学生通过自己的动手操作，对建立函数模型解决实际问题的过程有切身的感受，不但提高了教学效果，还增强了学生学习数学的兴趣和成就感，获得了对数学的良好感受。这在没有技术支持的教学中是根本不可能实现的。（2）本节课的实际问题的设计和选择恰当，能注意结合学生的实际，选择学生熟悉的背景。首先从学生感兴趣的身高、体重的关系问题入手，创设问题情景，有利于激发学生的学习兴趣，激起学生探求函数模型的欲望，从而将问题的解决过程变为主动的探求过程在解决实际问题的过程中引导学生归纳出数学建模的一般方法；接着抛出服装厂的定单问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个“厂长助理”的身份对身边简单的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际问题；最后给出一份拓展作业：收集相关数据，预测2010年福州的私家车拥有量，并对可能出现的问题给相关部门提出合理的建议。通过这些系列的问题设计，让学生亲历建立函数模型的全过程，体验数学在解决实际生活问题中的作用，体会数学的应用价值，拓展学生的视野，培养他们分析问题、解决问题的能力。(3)这节课的教学重点突出，各环节安排合理。这节课把重点放在如何建立函数模型这个关键问题上，引导学生绘制散点图，根据散点图选择函数模型，通过不断拟合，从而得到比较合适的描述这一实际问题的数学模型，然后用此模型解释这一实际问题，并根据实际修正数学模型。这节课教学过程的设计遵循从具体到一般再到具体的认识过程，先结合实例引导学生积极开展观察、思考和探究，总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，并用准确的数学语言表述出来。接着让学生运用数学建模的思想方法去解决实际生活中的热点问题，预测未来，指导决策，培养他们解决问题的能力，并使学生深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。较好地达成达成学习目标。本节课的不足之处：（1）没有留给学生足够的思考与交流的时间。如在引例中要求学生归纳“如何建立函数模型”时，教师一抛出问题，马上就指定一学生回答。（2）这节课中学生不够踊跃表达自己的观点，课堂气氛比较沉闷。这