高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用课件 文.ppt

第八章立体几何 8 5平行与垂直的综合应用 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 证明方法 1 证明平行关系的方法 证明线线平行的常用方法a 利用平行公理 即证明两直线同时和第三条直线平行 b 利用平行四边形进行转换 c 利用三角形中位线定理证明 d 利用线面平行 面面平行的性质定理证明 知识梳理 1 证明线面平行的常用方法a 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证线线平行 b 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证面面平行 证明面面平行的方法证明面面平行 依据判定定理 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可 从而将证面面平行转化为证线面平行 再转化为证线线平行 2 证明空间中垂直关系的方法 证明线线垂直的常用方法a 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形等得到线线垂直 b 利用勾股定理逆定理 c 利用线面垂直的性质 即要证线线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可 证明线面垂直的常用方法a 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证明线线垂直 b 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证面面垂直 c 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 2 应特别注意的几个易错点 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等 则直线与平面平行 2 若直线a p 则过点p且平行于a的直线有无数条 3 若a b b c 则a c 4 为三个不同平面 5 若 且 l 则l 6 a b a b 答案 思考辨析 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 1 教材改编 如图 已知平面 且 ab pc 垂足为c pd 垂足为d 则直线ab与cd的位置关系是 解析 pc pc ab 又 pd pd ab ab 平面pcd ab cd ab cd 2 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为b1c1 a1d1 a1b1的中点 则平面ebd与平面fga的位置关系为 解析答案 1 2 3 4 5 平行 解析答案 1 2 3 4 5 3 如图所示 边长为a的正 abc的中线af与中位线de相交于g 已知 a ed是 aed绕de旋转过程中的一个图形 下列命题中错误的是 动点a 在平面abc上的射影在线段af上 恒有平面a gf 平面bced 三棱锥a fed的体积有最大值 异面直线a e与bd不可能互相垂直 解析答案 1 2 3 4 5 解析由题意知 de 平面a fg 又de 平面abc 所以平面a fg 平面abc 且它们的交线是af 过a 作a h af 则a h 平面abc 所以a 在平面abc上的射影一定在线段af上 且平面a gf 平面bced 故 均正确 1 2 3 4 5 当平面a de 平面abc时 a h最大 故三棱锥a efd的体积有最大值 故 正确 连结cd eh 当cd eh时 bd eh 又知eh是a e在平面abc内的射影 所以bd a e 因此异面直线a e与bd可能垂直 故 错误 答案 4 已知点p是等腰三角形abc所在平面外一点 且pa 平面abc pa 8 在 abc中 底边bc 6 ab 5 则p到bc的距离为 解析答案 1 2 3 4 5 解析取bc的中点d 连结ad pd ad bc pa bc 且ad pa a bc 平面pad bc pd 5 教材改编 如图 在三棱锥v abc中 vab vac abc 90 则平面vba与平面vbc的位置关系为 解析 vab vac abc 90 1 2 3 4 5 解析答案 返回 bc ab va ac va ab va bc bc ab 又bc 平面vbc 平面vbc 平面vba 垂直 题型分类深度剖析 题型一线 面平行垂直关系的判定 解析答案 例1 1 如图所示 在直棱柱abc a1b1c1中 若d是ab的中点 则ac1与平面cdb1的关系为 ac1 平面cdb1 ac1在平面cdb1中 ac1与平面cdb1相交 无法判断关系 解析连结bc1 bc1与cb1交于e点 如图 连结de 则de ac1 又de 平面cdb1 ac1 平面cdb1 ac1 平面cdb1 答案 2 已知m n为直线 为平面 给出下列命题 解析答案 思维升华 解析对于 n可能在 内 对于 m与n可能异面 易知 是真命题 答案 思维升华 思维升华 对线面平行 垂直关系的判定 1 易忽视判定定理与性质定理的条件 如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件 2 结合题意构造或绘制图形 结合图形作出判断 3 可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确 1 在正方形sg1g2g3中 e f分别为g1g2 g2g3的中点 现在沿se sf及ef把这个正方形折成一个四面体 使点g1 g2 g3重合 记为点g 则sg与平面efg的位置关系为 跟踪训练1 解析答案 解析翻折后sg eg sg fg 从而sg 平面efg 垂直 2 已知三个平面 若 a b 且直线c c b 判断c与 的位置关系 并说明理由 判断c与a的位置关系 并说明理由 解析答案 解 c 与 没有公共点 又 c c与 无公共点 故c c a 与 没有公共点 又 a b a b 且a b a b 又c b a c 命题点1线面平行的证明 题型二平行与垂直关系的证明 解析答案 例2在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱bc c1d1的中点 求证 ef 平面bb1d1d dc d1c1 dc d1c1 f为d1c1的中点 oe d1f oe d1f 四边形d1feo为平行四边形 ef d1o 又 ef 平面bb1d1d d1o 平面bb1d1d ef 平面bb1d1d 证明如图所示 连结ac交bd于点o 连结oe 命题点2面面平行的证明 解析答案 例3如图所示 已知正方体abcd a1b1c1d1 1 求证 平面a1bd 平面b1d1c 证明 b1b dd1 b1b d1d 四边形bb1d1d是平行四边形 b1d1 bd 又bd 平面a1bd b1d1 平面b1d1c bd 平面b1d1c 同理a1d 平面b1d1c 又 a1d bd d a1d bd 平面a1bd 平面a1bd 平面b1d1c 解析答案 2 若e f分别是aa1 cc1的中点 求证 平面eb1d1 平面fbd 证明由bd b1d1 得bd 平面eb1d1 如图所示 取bb1的中点g 连结ag gf 易得ae b1g 又 ae b1g 四边形aeb1g是平行四边形 b1e ag 同理gf ad 又 gf ad 四边形adfg是平行四边形 ag df b1e df df 平面eb1d1 又 bd df d 平面eb1d1 平面fbd 命题点3直线与平面垂直的证明 例4如图 在多面体abcdef中 四边形abcd是菱形 ac bd相交于点o ef ab ab 2ef 平面bcf 平面abcd bf cf 点g为bc的中点 1 求证 og 平面efcd 解析答案 证明 四边形abcd是菱形 ac bd o 点o是bd的中点 点g为bc的中点 og cd 又 og 平面efcd cd 平面efcd og 平面efcd 2 求证 ac 平面ode 解析答案 证明 bf cf 点g为bc的中点 fg bc 平面bcf 平面abcd 平面bcf 平面abcd bc fg 平面bcf fg bc fg 平面abcd ac 平面abcd fg ac og ef og ef 四边形efgo为平行四边形 解析答案 fg eo fg ac fg eo ac eo 四边形abcd是菱形 ac do eo do o eo do在平面ode内 ac 平面ode 命题点4面面垂直的证明 例5如图所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 e为bb1的中点 求证 截面a1ce 侧面acc1a1 解析答案 证明如图所示 取a1c的中点f ac的中点g 连结fg ef bg 因为be eb1 a1b1 cb a1b1e cbe 90 所以 a1b1e cbe 所以a1e ce 因为f为a1c的中点 所以ef a1c 且be bg 所以四边形befg是矩形 所以ef fg 解析答案 因为a1c fg f 所以ef 侧面acc1a1 又因为ef 平面a1ce 所以截面a1ce 侧面acc1a1 命题点5平行 垂直的综合证明 例6如图 四边形abcd是正方形 de 平面abcd 1 求证 ac 平面bde 解析答案 证明因为de 平面abcd 所以de ac 因为四边形abcd是正方形 所以ac bd 又bd de d 从而ac 平面bde 解析答案 思维升华 证明如图 延长ef da交于点g 又am 平面bef gb 平面bef 所以am 平面bef 思维升华 思维升华 1 空间线面的位置关系的判定方法 证明直线与平面平行 设法在平面内找到一条直线与已知直线平行 解答时合理利用中位线性质 线面平行的性质 或构造平行四边形 寻求比例关系确定两直线平行 证明直线与平面垂直 主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直 解题时注意分析观察几何图形 寻求隐含条件 2 空间面面的位置关系的判定方法 证明面面平行 需要证明线面平行 要证明线面平行需证明线线平行 将 面面平行 问题转化为 线线平行 问题 证明面面垂直 将 面面垂直 问题转化为 线面垂直 问题 再将 线面垂直 问题转化为 线线垂直 问题 如图 四边形aa1c1c为矩形 四边形cc1b1b为菱形 且平面cc1b1b 平面aa1c1c d e分别为边a1b1 c1c的中点 求证 1 bc1 平面ab1c 跟踪训练2 解析答案 证明 四边形aa1c1c为矩形 ac c1c 又平面cc1b1b 平面aa1c1c 平面cc1b1b 平面aa1c1c cc1 ac 平面cc1b1b bc1 平面cc1b1b ac bc1 又四边形cc1b1b为菱形 b1c bc1 b1c ac c bc1 平面ab1c 2 de 平面ab1c 解析答案 证明取aa1的中点f 连结df ef 四边形aa1c1c为矩形 e f分别为c1c aa1的中点 ef ac ef 平面ab1c ac 平面ab1c ef 平面ab1c d f分别为边a1b1 aa1的中点 df ab1 df 平面ab1c ab1 平面ab1c df 平面ab1c ef df f ef 平面def df 平面def 平面def 平面ab1c de 平面def de 平面ab1c 例7 2015 安徽 如图 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 1 ab 1 ac 2 bac 60 1 求三棱锥p abc的体积 题型三平行与垂直的应用 解析答案 解由题设ab 1 ac 2 bac 60 由pa 平面abc 可知pa是三棱锥p abc的高 又pa 1 解析答案 证明在平面abc内 过点b作bn ac 垂足为n 在平面pac内 过点n作mn pa交pc于点m 连结bm 由pa 平面abc知pa ac 所以mn ac 由于bn mn n 故ac 平面mbn 又bm 平面mbn 所以ac bm 思维升华 思维升华 1 利用平行关系可以转移点到面的距离 从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题 2 对于存在性问题的证明与探索有三种途径 途径一 先猜后证 即先观察与尝试给出条件再证明 途径二 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 途径三 将几何问题转化为代数问题 探索出命题成立的条件 跟踪训练3 解析答案 1 当点e为dc边的中点时 判断ef与平面pac的位置关系 并加以证明 解当点e为dc边的中点时 ef与平面pac平行 证明如下 在 pdc中 e f分别为dc pd的中点 ef pc 又ef 平面pac 而pc 平面pac ef 平面pac 2 证明 无论点e在边dc的何处 都有af ef 证明 pa 平面abcd cd 平面abcd pa cd 四边形abcd是矩形 cd ad ad ap a cd 平面pad 又af 平面pad af cd pa ad 点f是pd的中点 af pd 又cd pd d af 平面pcd ef 平面pcd af ef 即无论点e在边dc的何处 都有af ef 解析答案 3 求三棱锥b afe的体积 解析答案 返回 答题模板系列 典例 14分 2014 北京 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直于底面 ab bc aa1 ac 2 bc 1 e f分别是a1c1 bc的中点 1 求证 平面abe 平面b1bcc1 2 求证 c1f 平面abe 3 求三棱锥e abc的体积 答题模板系列 6 立体几何平行 垂直的证明问题 答题模板 解析答案 温馨提醒 返回 答题模板 温馨提醒 规范解答证明 1 在三棱柱abc a1b1c1中 bb1 底面abc 所以bb1 ab 1分 又因为ab bc 所以ab 平面b1bcc1 2分 又ab 平面abe 所以平面abe 平面b1bcc1 3分 解析答案 2 证明取ab的中点g 连结eg fg 4分 因为e f分别是a1c1 bc的中点 因为ac a1c1 且ac a1c1 所以fg ec1 且fg ec1 所以四边形fgec1为平行四边形 所以c1f eg 8分 又因为eg 平面abe c1f 平面abe 所以c1f 平面abe 10分 解析答案 答题模板 温馨提醒 答题模板 温馨提醒 解因为aa1 ac 2 bc 1 ab bc 答题模板 证明线面平行问题 一 第一步 作 找 出所证线面平行中的平面内的一条直线 第二步 证明线线平行 第三步 根据线面平行的判定定理证明线面平行 第四步 反思回顾 检测关键点及答题规范 证明线面平行问题 二 第一步 在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面 答题模板 温馨提醒 答题模板 第二步 利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行 第三步 证明所作平面与所证平面平行 第四步 转化为线面平行 第五步 反思回顾 检查答题规范 答题模板 温馨提醒 答题模板 证明面面垂直问题第一步 根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线 第二步 结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线 第三步 得出确定的这条直线垂直于另一平面 第四步 转化为面面垂直 第五步 反思回顾 检查答题规范 温馨提醒 返回 温馨提醒 1 证线面平行的方法 利用判定定理 关键是找平面内与已知直线平行的直线 可先直观判断平面内是否已有 若没有 则需作出该直线 常考虑三角形的中位线 平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 若要借助于面面平行来证明线面平行 则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行 此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 思想方法感悟提高 1 在解决线面 面面平行的判定时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 其转化关系为 方法与技巧 在应用性质定理时 其顺序恰好相反 但也要注意 转化的方向总是由题目的具体条件而定 决不可过于 模式化 2 空间中直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直三者之间可以相互转化 每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的 其转化关系为 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 1 在推证线面平行时 一定要强调直线不在平面内 否则 会出现错误 2 线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加 在添加辅助线 辅助面时一定要以某一性质定理为依据 绝不能主观臆断 3 在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时 考生易忽视说明平面内的两条直线相交 而导致被扣分 这一点在证明中要注意 口诀 线不在多 重在相交 4 面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理 这个定理的主要作用是作一个平面的垂线 在一些垂直关系的证明中 很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线 注意定理使用的条件 在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整 同时要注意推理论证的层次性 确定先证明什么 后证明什么 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 设 为两个不重合的平面 l m n为两两不重合的直线 给出下列四个命题 若 l 则l 若m n m n 则 若l l 则 若m n是异面直线 m n 且l m l n 则l 其中真命题的序号是 解析答案 解析 由 l 知 l与 无公共点 故l 当m n m与n相交 m n 时 由l 知 内存在l 使得l l 因为l 所以l 故 易知 内存在m n 使得m m n n 且m n 相交 由l m l n知 l m 且l n 故l 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 已知平面 直线m n 给出下列命题 若m n m n 则 若 m n 则m n 若m n m n 则 若 m n 则m n 其中是真命题的是 填写所有真命题的序号 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析对于 平面 与 可能相交 故 错 对于 若 m n 则直线m与n可能平行 可能相交 也可能异面 故 错 对于 由面面垂直的判定可知 正确 对于 由面面垂直的性质可知m n 故 正确 因此真命题的序号为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 底面各边都相等 m是pc上一动点 当m满足是 时 平面mbd 平面abcd 解析当m是pc中点时 连结ac bd交于o 由题意知 o是ac的中点 连结mo 则mo pa pa 平面abcd mo 平面abcd mo 平面mbd 平面mbd 平面abcd pc的中点 4 如图 abcd是空间四边形 e f g h分别是四边上的点 且它们共面 并且ac 平面efgh bd 平面efgh ac m bd n 当efgh是菱形时 ae eb 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析设ae a eb b 由题意知 ef ac 5 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc 底面是以 abc为直角的等腰直角三角形 ac 2a bb1 3a d是a1c1的中点 点f在线段aa1上 当af 时 cf 平面b1df 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析由题意易知 b1d 平面acc1a1 所以b1d cf 要使cf 平面b1df 只需cf df即可 令cf df 设af x 则a1f 3a x 易知rt caf rt fa1d 整理得x2 3ax 2a2 0 解得x a或x 2a 答案a或2a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 如图 四棱锥p abcd的底面abcd是平行四边形 平面pbd 平面abcd pb pd pa pc cd pc o m分别是bd pc的中点 连结om 求证 1 om 平面pad 证明连结ac 因为四边形abcd是平行四边形 所以o为ac的中点 在 pac中 因为o m分别是ac pc的中点 所以om pa 因为om 平面pad pa 平面pad 所以om 平面pad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 om 平面pcd 证明连结po 因为o是bd的中点 pb pd 所以po bd 因为平面pbd 平面abcd 平面pbd 平面abcd bd po 平面pbd 所以po 平面abcd 从而po cd 因为cd pc pc po p pc 平面pac po 平面pac 所以cd 平面pac 因为om 平面pac 所以cd om 因为pa pc om pa 所以om pc 因为cd 平面pcd pc 平面pcd cd pc c 所以om 平面pcd 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 1 证明 平面adc1b1 平面a1be 证明如图 因为abcd a1b1c1d1为正方体 所以b1c1 面abb1a1 因为a1b 面abb1a1 所以b1c1 a1b 又因为a1b ab1 b1c1 ab1 b1 所以a1b 面adc1b1 因为a1b 面a1be 所以平面adc1b1 平面a1be 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 在棱c1d1上是否存在一点f 使b1f 平面a1be 证明你的结论 解当点f为c1d1中点时 可使b1f 平面a1be 所以ef b1o且ef b1o 所以四边形b1oef为平行四边形 所以b1f oe 又因为b1f 面a1be oe 面a1be 所以b1f 面a1be 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱dd1 c1d1的中点 1 证明 平面adc1b1 平面a1be 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 证明如图 连结ab1 因为abcd a1b1c1d1为正方体 所以b1c1 平面abb1a1 因为a1b 平面abb1a1 所以b1c1 a1b 因为a1b ab1 b1c1 ab1 b1 所以a1b 平面adc1b1 因为a1b 平面a1be 所以平面adc1b1 平面a1be 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 证明 b1f 平面a1be 证明如图 连结ef dc1 oe b1f 设ab1 a1b o 所以ef b1o且ef b1o 所以四边形b1oef为平行四边形 所以b1f oe 因为b1f 平面a1be oe 平面a1be 所以b1f 平面a1be 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 若正方体棱长为1 求四面体a1 b1be的体积 解析答案 9 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 给出下面三个结论 bc 平面pd