第8章 第3节.docVIP

第八章第三节1设A、B、C、D、P、Q为点，、为平面，下面叙述正确的是()A.PQB.PQC.CDD.解析：选D对于A，符号运用错误，正确的表述是PQ；对于B，两个平面与不一定相交；对于C，符号运用错误，正确的表示为CD.故选D.2已知A、B、C、D是空间四个点，命题甲：A、B、C、D四点不共面，命题乙：直线AB和直线CD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD不相交，A、B、C、D四点不一定不共面选A.3.如图，平面平面l，A、B，C，Cl，直线ABlD，过A、B、C三点的平面为，则平面与的交线必经过()A点AB点BC点C，不过点DD点C和点D解析：选D根据基本性质判定点C和点D既在平面内又在平面内4给出下列命题：若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a，b都平行其中正确的命题为()ABCD解析：选C错，c可与a，b都相交；错，因为a，c也可能相交或平行；正确，例如过异面直线a，b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件选C.5如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()解析：选D在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，所以P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQRS，所以P，Q，R，S共面如图，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中由异面直线判定定理，知PS与RQ为异面直线，所以四点不共面选D.6.(2014长沙调研)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与CD所成的角为60解析：选D将展开图还原成几何体，得如图正方体结合图形知AB、CD异面，故A、B错误；C错误；易知AB、CD所成角为60，故D正确选D.7平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：1或4如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个8给出下列四个命题：一条直线和一个点可以确定 一个平面；三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点；两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合；三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)解析：一条直线与不在这条直线上的一个点才能确定一个平面，故不正确；三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点，像三棱锥的三条侧棱，故正确；对于，两个平面有无数个公共点，这两个平面可能相交于一条直线，故不正确；三条直线两两相交但不交于同一点，可知其中两条直线的交点不在第三条直线上，由一条直线与不在这条直线上的一个点确定一个平面，可知这三条直线在同一平面内，故正确9设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：设ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面其中真命题的个数是_解析：0ab，bc，a与c可以相交、平行、异面，故错a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故错由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故错同理错，故真命题的个数为0.10(2011大纲全国高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析：取A1B1的中点F，连接EF，AF.在正方体ABCDA1B1C1D1中，EFB1C1，B1C1BC，EFBC，AEF即为异面直线AE与BC所成的角(或其补角)设正方体的棱长为a，则AF a，EFa.EF平面ABB1A1，EFAF，AEa.cosAEF.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.11如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线证明：MPQ，直线PQ面PQR，MBC，直线BC面BCD，M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上同理可证N、K也在l上M、N、K三点共线12如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥AEBC的体积(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为.A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线(2)解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，在AEF中，由余弦定理得cosAEF，异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(3)解：E是PC中点，E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC1.1对于直线m、n和平面，下列命题中的真命题是()A如果m，n，m，n是异面直线，那么nB如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m，n共面，那么mnD如果m，n，m，n共面，那么m与n相交解析：选C对于选项A，n可以与平面相交，对于选项B，n可以与平面平行，故A、B不正确；由直线与平面的性质可知，C正确；在选项D中，m与n平行选C.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60角的条数为()A1B2C3D4解析：选B连A1C1，A1B，则可知A1BC1为等边三角形，故A1C1、A1B与BC1所成的角为60，即满足条件的直线有2条选B.3使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是()Aa平面，b，a与b不平行Ba平面，b平面，a与b不相交Ca直线c，bcA，b与a不相交Da平面，b平面，l，a与b无公共点解析：选C对于选项A，a与b可能有交点；对于选项B，D，a与b可能平行，故选C.对于选项C，可用反证法，若b与a不异面，而且a与b不相交，则ab.又ac，从而bc，与bcA矛盾故选C.4若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中所有假命题的序号是_过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l，m都相交；是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l，m都异面，这无数条直线在过点P且与l，m都平行的平面上综上为假命题5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，如图所示(1)点D，B，F，E共面吗？(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置；(3)点P，Q，R共线吗？解：(1)共面证明：由于CC1和BF在同一平面内且不平行，故必相交设交点为O，则OC1C1C.同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O1，则O1C1C1C，故O1与O重合由此可知DEBFO，故D，B，F，E四点共面(2)设D，B，F，E四点确定的平面为，连接PQ，由于AA1CC1，所以A1，A，C，C1四点共面