中考数学总复习 第二部分 热点专题突破 专题九 几何最值问题解题策略课件.ppt

专题九几何最值问题解题策略 最值问题是初中数学的重要内容 无论是代数问题还是几何问题都有最值问题 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论 如两点之间线段最短 三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 垂线段最短等 以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题 安徽中考在2015 2016年连续2年都出现几何问题的最值问题 考生得分率普遍不高 在复习时应引起关注 预计2017年安徽中考会出现几何最值问题的选择题或解答题 1 在求几何图形中的周长或线段长度最值时 解决此类问题的方法一般是先将要求线段 要求的量 用未知数x表示出来 建立函数模型 一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式 常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式 再用函数的增减性或最值来求解即可 2 利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题 解决此类问题的方法为 如图 要求直线l上一动点p到点a b距离之和的最小值 先作点a关于直线l的对称点a 连接a b 则a b与直线l的交点即为p点 根据对称性可知此时a b的长即为pa pb的最小值 求出a b的值即可 题型2 题型1 题型3 题型1三角形中最值问题典例1 2016 江苏淮安 如图 在rt abc中 c 90 ac 6 bc 8 点f在边ac上 并且cf 2 点e为边bc上的动点 将 cef沿直线ef翻折 点c落在点p处 则点p到边ab距离的最小值是 题型2 题型1 题型3 解析 本题考查与三角形有关的折叠的计算 由于fp的长度是不变的 于是p点在以点f为圆心 以2为半径的圆上运动 由此可确定点p在什么位置时到边ab的距离最小 如图 当点e在bc上运动时 pf的长固定不变 即pf cf 2 点p在以点f为圆心 以2为半径的圆上运动 过点f作fh ab交 f于p 垂足为h 此时ph最短 此时 afh abc 题型2 题型1 题型3 题型2四边形中最值问题典例2 2016 江苏常州 如图 apb中 ab 2 apb 90 在ab的同侧作正 abd 正 ape和正 bpc 则四边形pcde面积的最大值是 题型2 题型1 题型3 解析 本题考查等边三角形的性质 不等式 平行四边形的判定与性质 三角形全等的判定与性质等知识 根据题意建立不等式 转化不等式是解答此题的关键 apb中 因为ab 2 apb 90 所以ap2 pb2 ab2 4 因为 ap pb 2 0 所以ap2 pb2 2ap pb 所以2ap pb 4 ap pb 2 因为 abd ape和 bpc都是等边三角形 所以ap pe ae pb pc bc ab ad bd 所以pe pc 2 又 eap dab 60 所以 ead pab 又ap ae ad ab 所以 ead pab 所以ed pb 又pb pc 所以ed pc 同理ep dc 所以四边形pcde是平行四边形 所以ep dc 因为 epa cpb 60 apb 90 所以 epc 360 epa cpb apb 150 因为ep dc dcp epc 180 所以 dcp 180 epc 30 过点p作pq dc于点q 因为 pqc 90 所以pq 1 所以四边形pcde面积的最大值是1 答案 1 题型2 题型1 题型3 方法归纳 本题借助不等式 a2 b2 2ab 通过代换转化来求平行四边形面积的最值 体现了转化思想和整体思想的运用 题型2 题型1 题型3 题型3圆中最值问题典例3在 o中 直径ab 6 bc是弦 abc 30 点p在bc上 点q在 o上 且op pq 1 如图1 当pq ab时 求pq的长度 2 如图2 当点p在bc上移动时 求pq长的最大值 解析 本题考查解直角三角形与勾股定理等知识 1 连接oq 在rt opb中求出op的长 在rt opq中求出pq的长即可 2 由勾股定理可知pq2 oq2 op2 oq的长为定值 则op最小时 pq最大 此时op bc 即可求解 题型2 题型1 题型3 题型2 题型1 题型3 题型2 题型1 题型3 归纳总结 此题综合性强 解题方法很多 考查范围较广 与初中数学很多内容有关 如勾股定理 圆周角定理及推论 垂径定理 相似 三角函数 二次函数 垂线段的性质 二次根式的计算与化简等 考查了多种数学思想 如建模思想 化归思想等 此题难度中等 有一定的灵活性 考生不易拿满分 2 1 3 4 5 6 7 1 如图 正方形abcd的面积为16 abe是等边三角形 点e在正方形abcd内 在对角线ac上有一点p 使pd pe的和最小 则这个最小值为 c 解析 设be与ac交于点p 连接bd p d 点b与d关于ac对称 p d p b p d p e p b p e be 当点p位于点p 处时 pd pe最小 正方形abcd的面积为16 ab 4 又 abe是等边三角形 be ab 4 pd pe的最小值为4 2 1 3 4 5 6 7 2 如图 直线l与半径为4的 o相切于点a p是 o上的一个动点 不与点a重合 过点p作pb l 垂足为b 连接pa 设pa x pb y 则 x y 的最大值是2 解析 如图 作直径ac 连接cp 则 cpa 90 ab是切线 ca ab pb l ac pb cap apb apc pba 2 1 3 4 5 6 7 3 如图 在平面直角坐标系中 点a在抛物线y x2 2x 2上运动 过点a作ac x轴于点c 以ac为对角线作矩形abcd 连接bd 则对角线bd的最小值为1 解析 本题考查抛物线性质和矩形性质 由抛物线y x2 2x 2 x 1 2 1得抛物线的顶点坐标为 1 1 四边形abcd是矩形 bd ac 当bd最小时ac最小 点a在抛物线y x2 2x 2上 当点a是抛物线的最低点 即点a的坐标为 1 1 时 ac最小为1 bd的最小值为1 2 1 3 4 5 6 7 解析 本题考查直角坐标系中垂线段最短的问题 当pm ab时 pm最小 由此可得 bpm pba pba oab 90 bpm oab 对于直线y 2 1 3 4 5 6 7 5 2016 武汉 如图 aob 30 点m n分别在边oa ob上 且om 1 on 3 点p q分别在边ob oa上 则mp pq qn的最小值是 解析 如图 作点m关于on的对称点m 点n关于oa的对称点n 连接m n 分别交on oa于点p q 此时mp pq qn的值最小 由对称性质知 m p mp n q nq mp pq qn m n 连接on om 则 m op mop n oq 30 n om 90 又 on on 3 om om 1 m n 2 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 7 在rt abc中 a 90 ac ab 4 d e分别是ab ac的中点 若等腰rt ade绕点a逆时针旋转 得到等腰rt ad1e1 设旋转角为 0 180 记直线bd1与ce1的交点为p 1 如图1 当 90 时 线段bd1的长等于 线段ce1的长等于 直接填写结果 2 如图2 当 135 时 求证 bd1 ce1 且bd1 ce1 3 设bc的中点为m 则线段pm的长为 点p到ab所在直线的距离的最大值为 2 1 3 4 5 6 7 解 1 a 90 ac ab 4 d e分别是边ab ac的中点 ae ad 2 等腰rt ade绕点a逆时针旋转 得到等腰rt ad1e1 设旋转角为 0 180 当 90 时 ae1 2 e1ae 90 2 1 3 4 5 6 7 2 当 135 时 rt ad1e1是由rt ade绕点a逆时针旋转135 得到 ad1 ae1 d1ab e1ac 135 在 d1ab和 e1ac中 d1ab e1ac sas bd1 ce1 且 d1ba e1ca 记直