高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.7.1 利用空间向量证明空间中的位置关系课件 理.ppt

第七节立体几何中的向量方法第一课时利用空间向量证明空间中的位置关系 知识梳理 1 直线的方向向量与平面的法向量 1 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 或 则称此向量a为直线l的方向向量 平行 重合 2 平面的法向量 直线l 取直线l的 向量a 则向量a叫做平面 的法向量 方向 2 空间位置关系的向量表示 n1 n2 n1 n2 0 n m 0 n m n m n m 0 特别提醒 1 直线的方向向量的确定l是空间一直线 a b是l上任意两点 则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量 2 平面的法向量的确定设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 小题快练 链接教材练一练1 选修2 1p104练习t2改编 设 v分别是平面 的法向量 2 2 5 当v 3 2 2 时 与 的位置关系为 当v 4 4 10 时 与 的位置关系为 解析 当v 3 2 2 时 v 2 3 2 2 5 2 0 所以 当v 4 4 10 时 v 2 所以 答案 2 选修2 1p111练习t3改编 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1的中点 则直线on am的位置关系是 解析 以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设da 2 则a 2 0 0 m 0 0 1 o 1 1 0 n 2 1 2 所以 2 0 1 1 0 2 2 0 2 0 所以am on 答案 垂直 感悟考题试一试3 2016 广州模拟 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的一个法向量为n 2 0 4 则 a l b l c l d l与 相交 解析 选b 因为n 2a 所以n a 从而l 4 2016 洛阳模拟 若a b c是平面 内的三点 设平面 的一个法向量a x y z 则x y z a 2 3 4 b 1 1 1c 1 1d 3 2 4 解析 5 2016 桂林模拟 已知平面 内有一点m 1 1 2 平面 的一个法向量为n 6 3 6 则下列点p中 在平面 内的是 a p 2 3 3 b p 2 0 1 c p 4 4 0 d p 3 3 4 解析 选a 由题意知 点p在平面 内 只需 n 即 n 0即可 逐一验证知选a 变式训练 如图 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为1的菱形 abc oa 底面abcd oa 2 m为oa的中点 n为bc的中点 利用向量方法证明 直线mn 平面ocd 解题导引 以点a为坐标原点建立空间直角坐标系 求平面ocd的法向量及直线mn的方向向量 规范解答 作ap cd于点p 连接op 如图 分别以ab ap ao所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则o 0 0 2 m 0 0 1 设平面ocd的一个法向量为n x y z 则即 取z 解得n 0 4 因为且mn 平面ocd 所以mn 平面ocd 易错警示 解答本题有一点容易出错 只证明 n 而忽视mn 平面ocd的情况就下结论mn 平面ocd 而造成步骤不规范的失误 规律方法 用向量法证平行问题的类型及常用方法 易错提醒 用向量结论还原几何结论时 要注意书写规范 说明定理的条件 变式训练 如图 已知ac bd是圆o的两条互相垂直的直径 直角梯形abef所在平面与圆所在平面互相垂直 其中 fab eba 90 be 2 af 6 ac 4 点n为线段ef的中点 1 求证 直线no 平面ebc 2 若点m在线段ac上 且点m在平面cef上的射影为线段nc的中点 请求出线段am的长 解析 1 由题设知af ab 且由平面abef 平面abcd 可知af 平面abcd 又bd是圆的直径 则ab ad 因此以点a为原点可建立空间直角坐标系 如图 由于ac bd是圆o的两条互相垂直的直径 且ac 4 所以四 边形abcd是边长为4的正方形 则b 4 0 0 c 4 4 0 o 2 2 0 e 4 0 2 f 0 0 6 n 2 0 4 因为ab eb ab bc 所以 4 0 0 是平面ebc的一个法向量 因为 0 2 4 4 0 0 0 2 4 0 且no不在平面ebc内 所以直线no 平面ebc 2 点m在线段ac上 可设 4 4 0 4 4 0 nc的中点为q 3 2 2 3 4 2 4 2 由题设有mq 平面cef 因为 4 0 4 0 4 2 加固训练 1 如图在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是平行四边形 e f g分别是a1d1 d1d d1c1的中点 用向量方法证明平面efg 平面ab1c 证明 设可知因为无公共点 所以eg ac 因为ac 平面ab1c 所以eg 平面ab1c 所以eg 平面ab1c 又因为 a c 因为无公共点 所以fg ab1 因为ab1 平面ab1c 所以fg 平面ab1c 又因为fg eg g 所以平面efg 平面ab1c 2 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 证明 因为平面pad 平面abcd且abcd为正方形 所以ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 设即 2 0 2 s 0 1 0 t 1 1 1 所以解得s t 2 所以又因为与不共线 所以与共面 因为pb 平面efg 所以pb 平面efg 考向二利用空间向量证明垂直问题 典例2 2016 开封模拟 如图 已知ab 平面acd de 平面acd acd为等边三角形 ad de 2ab 求证 平面bce 平面cde 解题导引 以点a为坐标原点建立空间直角坐标系 分别求出平面bce与平面cde的法向量 根据法向量垂直来证明面面垂直 规范解答 设ad de 2ab 2a 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 c 2a 0 0 b 0 0 a d a a 0 e a a 2a 所以 a a a 2a 0 a a a 0 0 0 2a 设平面bce的法向量为n1 x1 y1 z1 母题变式 1 若本例中条件不变 点f是ce的中点 证明df 平面bce 证明 2 若本例中条件不变 点m是cd的中点 证明am 平面bce 证明 规律方法 利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 变式训练 2016 承德模拟 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 若点m是线段ap上一点 且am 3 试证明平面amc 平面bmc 解析 如图所示 以o为坐标原点 以射线op为z轴的正半轴 以射线od为y轴正半轴建立空间直角坐标系 1 o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 于是 0 3 4 8 0 0 所以 0 3 4 8 0 0 0 所以 即ap bc 2 由 1 知ap 5 又am 3 且点m在线段ap上 又根据 1 的结论知ap bc bc bm b 所以ap 平面bmc 于是am 平面bmc 又am 平面amc 故平面amc 平面bcm 加固训练 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2bc e f e1分别是棱aa1 bb1 a1b1的中点 1 求证 ce 平面c1e1f 2 求证 平面c1e1f 平面cef 证明 以d为原点 da dc dd1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设bc 1 则c 0 1 0 e 1 0 1 c1 0 1 2 f 1 1 1 e1 1 设平面c1e1f的法向量为n x y z 因为 1 0 1 所以令x 1 得n 1 2 1 因为 1 1 1 n 1 2 1 0 所以 n 又因为ce 平面c1e1f 所以ce 平面c1e1f 即 2 设平面efc的法向量为m a b c 由 0 1 0 1 0 1 所以即令a 1 得m 1 0 1 因为m n 1 1 2 0 1 1 1 1 0 所以平面c1e1f 平面cef 考向三利用向量法解决与垂直 平行有关的探索性问题 考情快递 考题例析 命题方向1 线面平行的探索性问题 典例3 2016 昆明模拟 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 解题导引 建立空间直角坐标系 1 证明 0 2 假设存在点p 0 0 z0 根据dp 平面b1ae构建方程 求解并判断 规范解答 以a为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设ab a 1 a 0 0 0 d 0 1 0 d1 0 1 1 e b1 a 0 1 2 假设在棱aa1上存在一点p 0 0 z0 使得dp 平面b1ae 此时 0 1 z0 再设平面b1ae的一个法向量为n x y z 因为n 平面b1ae 所以n n 得 取x 1 则y z a 得平面b1ae的一个法向量n 要使dp 平面b1ae 只要n 有 az0 0 解得z0 又dp 平面b1ae 所以存在点p 满足dp 平面b1ae 此时ap 命题方向2 线面垂直的探索性问题 典例4 2016 怀化模拟 如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图 俯视图 在直观图中 点m是bd的中点 ae cd 侧视图是直角梯形 俯视图是等腰直角三角形 有关数据如图所示 1 求证 em 平面abc 2 求出该几何体的体积 3 试问在棱cd上是否存在一点n 使mn 平面bde 若存在 确定点n的位置 若不存在 请说明理由 解题导引 1 取bc的中点证明 2 先证明ab 平面acde 再求体积 3 建立空间直角坐标系 设出点n的坐标 利用nm db nm de求解 规范解答 1 因为m为db的中点 取bc中点g 连接mg ag 所以mg dc 且mg dc 所以mg ae且mg ae 所以四边形agme为平行四边形 所以em ag 又ag 平面abc me 平面abc 所以em 平面abc 2 由题意知 ea 平面abc dc 平面abc ae dc ae 2 dc 4 ab ac 且ab ac 2 因为ea 平面abc 所以ea ab 又ab ac ea ac a 所以ab 平面acde 所以四棱锥b acde的高h ab 2 梯形acde的面积s 6 所以vb acde sh 4 即所求几何体的体积为4 3 以a为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 0 2 0 c 2 0 0 d 2 0 4 e 0 0 2 m 1 1 2 假设在dc上存在一点n满足题意 技法感悟 向量法解决与垂直 平行有关的探索性问题的思维流程 1 根据题设条件中的垂直关系 建立适当的空间直角坐标系 将相关点 相关向量用坐标表示 2 假设所求的点或参数存在 并用相关参数表示相关点 根据线 面满足的垂直 平行关系 构建方程 组 求解 若能求出参数的值且符合该限定的范围 则存在 否则不存在 题组通关 1 2016 兰州模拟 如图所示 四棱锥s abcd的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 点p为侧棱sd上的点 1 求证 ac sd 2 若sd 平面pac 则侧棱sc上是否存在一点e 使得be 平面pac 若存在 求se ec的值 若不存在 试说明理由 解析 1 连接bd 设ac交bd于点o 则ac bd 连接so 由题意知so 平面abcd 以o为坐标原点 所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图 设底面边长为a 则高于是则故oc sd 从而ac sd 2 棱sc上存在一点e使be 平面pac 理由如下 由已知条件知是平面pac的一个法向量 且设 则 而 0t 即当se ec 2 1时 而be不在平面pac内 故be 平面pac 2 2016 开封模拟 如图 四棱锥p abcd中 pa 平面abcd pb与底面所成的角为45 底面abcd为直角梯形 abc bad 90 pa bc ad 1 1 求证 平面pac 平面pcd 2 在棱pd上是否存在一点e 使ce 平面pab 若存在 请确定e点的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 因为pa 平面abcd 所以pb与平面abcd所成的角为 pba 45 所以ab 1 由 abc bad 90 易得cd ac 由勾股定理