高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识课件 理.ppt

14 1几何证明选讲 课时1相似三角形的进一步认识 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行线相交的 直线上截得的线段也 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必 2 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 相等 平分另一腰 平分第三边 成比例 成比例 知识梳理 1 答案 3 相似三角形的判定及性质 1 判定定理 2 性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 面积比等于 两角 两边 夹角 三边 相似比 相似比的平方 答案 4 直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该 斜边上的高的平方等于 直角边在斜边上的射影与 斜边的乘积 两条直角边在斜边上射影 的乘积 答案 1 如图 在四边形abcd中 abc bad 求证 ab cd 证明由 abc bad得 acb bda 故a b c d四点共圆 从而 cab cdb 由 abc bad得 cab dba 因此 dba cdb 所以ab cd 考点自测 2 解析答案 1 2 3 2 如图 bd ae c 90 ab 4 bc 2 ad 3 求ec的长度 依题意得 adb ace 解析答案 1 2 3 3 如图 在 abc中 d是ac的中点 e是bd的中点 ae交bc于点f 求的值 解如图 过点d作dg af 交bc于点g 易得fg gc 又在 bdg中 be de 即ef为 bdg的中位线 1 2 3 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1如图 在四边形abcd中 ac bd交于点o 过点o作ab的平行线 与ad bc分别交于点e f 与cd的延长线交于点k 求证 ko2 ke kf 题型一平行截割定理的应用 解析答案 思维升华 证明延长ck ba 设它们交于点h 因为ko hb 因为kf hb 即ko2 ke kf 思维升华 当条件中给出平行线时 应优先考虑平行线分线段成比例定理 在有关比例的计算与证明题中 常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题 作平行线常用的方法有利用中点作中位线 利用比例线段作平行线等 思维升华 1 如图 在梯形abcd中 ad bc bd与ac相交于点o 过点o的直线分别交ab cd于e f 且ef bc 若ad 12 bc 20 求ef的长度 解 ad bc ef oe of 15 跟踪训练1 解析答案 2 如图所示 在 abc中 de bc ef cd 若bc 3 de 2 df 1 求ab的长 解 de bc 解析答案 例2如图 在rt abc中 acb 90 cd ab e为ac的中点 ed cb延长线交于一点f 求证 fd2 fb fc 证明 e是rt acd斜边上的中点 ed ea a 1 1 2 2 a fdc cdb 2 90 2 fbd acb a 90 a fbd fdc f是公共角 fbd fdc 题型二相似三角形的判定与性质 解析答案 思维升华 1 判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点 灵活选择判定定理 在一个题目中 相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 也可间接证明线段相等 思维升华 1 如图 ab与cd相交于点e 过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p 已知 a c pd 2da 2 求pe的长 解 bc pe ped c a pde pea 又 pd 2da 2 pa pd da 3 跟踪训练2 解析答案 2 如图 四边形abcd中 df ab 垂足为f df 3 af 2fb 2 延长fb到e 使be fb 连结bd ec 若bd ec 求四边形abcd的面积 解如图 过点e作en db交db的延长线于点n 在rt dfb中 df 3 fb 1 所以en为 bcd底边bd上的高 解析答案 例3如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac的长 题型三射影定理的应用 解析答案 思维升华 解在 abc中 设ac为x ab ac af bc 又fc 1 根据射影定理 得ac2 fc bc 即bc x2 再由射影定理 得af2 bf fc bc fc fc 在 bdc中 过d作de bc于e 解析答案 在rt dec中 de2 ec2 dc2 思维升华 1 在使用直角三角形射影定理时 要学会将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例式 2 证题时 作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法 思维升华 1 如图所示 在rt abc中 acb 90 cd ab于d 且ad bd 9 4 求ac bc 解 ac2 ad ab bc2 bd ab ac2 bc2 ad bd 9 4 ac bc 3 2 跟踪训练3 解析答案 2 已知圆的直径ab 13 c为圆上一点 过c作cd ab于d ad bd 若cd 6 求ad的长 解如图 连结ac cb ab是 o的直径 acb 90 设ad x cd ab于d 由射影定理得cd2 ad db 即62 x 13 x x2 13x 36 0 解得x1 4 x2 9 ad bd ad 9 解析答案 返回 思想方法感悟提高 1 判定两个三角形相似的常规思路 1 先找两对对应角相等 2 若只能找到一对对应角相等 则判断相等的角的两夹边是否对应成比例 3 若找不到角相等 就判断三边是否对应成比例 否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的 传递性 2 直角三角形中常用的四个结论在rt abc中 acb 90 cd ab 如图 1 a bcd b acd 2 abc acd cbd 3 a2 pc b2 qc h2 pq ab ch 其中c p q 4 在a b p q h五个量中 知道两个量的值 就能求出其他三个量的值 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如图 oab是等腰三角形 p是底边ab延长线上一点 且po 3 pa pb 4 求腰长oa的长度 解如图 作od ap 垂足为d 则po2 pd2 ob2 bd2 所以po2 ob2 pd2 bd2 因为ad bd 所以pd2 bd2 pd2 ad2 pd ad pd ad pa pb 4 所以po2 ob2 4 所以ob2 9 4 5 解析答案 2 如图 b d ae bc acd 90 且ab 6 ac 4 ad 12 求ae的长 解由于 acd aeb 90 b d abe adc 又ac 4 ad 12 ab 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3 如图 rt abc中 bac 90 ad是斜边bc上的高 若ab ac 2 1 求ad bc bac 90 ad bc ac2 cd bc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 4 在 abc中 acb 90 cd ab于d ad bd 2 3 求 acd与 cbd的相似比 解如图所示 在rt acb中 cd ab 由射影定理得 cd2 ad bd 又 ad bd 2 3 令ad 2x 则bd 3x x 0 又 adc bdc 90 acd cbd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 证明 be是 abc的角平分线 在rt abc中 由射影定理知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 如图所示 在rt abc中 acb 90 m是bc的中点 cn am 垂足是n 求证 ab bm am bn 证明 cm2 mn am 又 m是bc的中点 又 bmn amb amb bmn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 7 如图所示 平行四边形abcd中 e是cd延长线上的一点 be与ad交于点f de cd 1 求证 abf ceb 证明 四边形abcd是平行四边形 a c ab cd abf ceb abf ceb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若 def的面积为2 求平行四边形abcd的面积 解 四边形abcd是平行四边形 ad bc ab cd def ceb def abf s def 2 s ceb 18 s abf 8 s四边形bcdf s ceb s def 16 s四边形abcd s四边形bcdf s abf 16 8 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8 如图 在平行四边形abcd中 过点b作be cd 垂足为e 连结ae f为ae上一点 且 bfe c 1 求证 abf ead 证明 ab cd baf aed 又 bfe c bfe bfa c ade bfa ade abf ead 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若 bae 30 ad 3 求bf的长 解 bae 30 aeb 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 9 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 1 求证 edm fbm 证明 e是ab的中点 ab 2eb ab 2cd cd eb 又 ab cd 四边形cbed是平行四边形 cb de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 若db 9 求bm f是bc的中点 de 2bf dm 2bm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 如图 在梯形abcd中 点e f分别在ab cd上 ef ad 假设e