数学系数形结合的毕业论文.doc

摘要：数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素. 数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。关键词：数形结合； 函数；方程；不等式;Abstract: The contradictions reunification of two major subjects in mathematics shape and number is the internal factor of the development of mathematics. Number shape union is the driving force of the development of mathematics. Number shape union should not merely be as a problem solving method, but should serve be as a basic and important mathematical idea to learn, study and master. By the raise of the number shape union ability, the substance of mathematical problems can be understood profoundly, the solid mathematical basis can be got and the quality of mathematics can be improved. And so can promote the development of mathematics. Key words: Number shape union; equation; geometric model; inequality; 目录1 数形结合在函数中的应用 （1）1.1 考点聚焦 （1）1.2 初中函数 （1） 1.2.1 一次函数 （1）1.2.2 一次函数与反函数 与平面几何的综合应用 （3）1.2.3 二次函数（5）1.3 高中函数（6）1.3.1 复合函数图像的考查（7）1.3.2 函数的性质（8） 2 方程与不等式中的数形结合 （10）2.1 方程（10）2.2 不等式（11）3 使用数形结合解题时应注意的问题 （12）参考文献 （13）致 谢 （14）谈数形结合思想对数学解题能力的提升数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并非是孤立的，而是有着密切的联系。就如拉格朗日说过：“只要代数同几何分道扬镳，他们的进程就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”在一维空间，实数与数轴的点建立了一一对应的关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图像，方程与曲线建立起一一对应的关系，使数量关系的研究可以转化为图像性质的研究，反之也可以使图形性质的研究转化为数量关系的研究。1. 数形结合在函数中的应用1.1 函数的考点聚焦无论是对于初中生还是高中生来说，函数始终是数学试卷里占着非常大的比例，像八年级的一次函数、反比例函数，九年级的二次函数；而到了高中，不仅开始研究函数的各种性质：例如单调性、对偶性、最值等等，还多接触了对数函数和指数函数。很多学生因为初中对函数掌握得不好，到了高中觉得更是吃力。函数问题的考察主要涉及函数的基本概念、函数的图像与性质、以函数为背景的方程、不等式问题，其中高中的函数还涉及导数的应用。函数问题中蕴含很多丰富的数学思想与方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想，而这些思想的基础就是是数形结合的思想了。1.2 初中函数1.2.1 一次函数一次函数现在是初二教学本里非常难的一章，应用最广泛，知识最丰富的数学课题。. 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中。这是学生开始真正接触函数，他们还不知道什么是解析式，什么是取值范围等等一系列有关函数的新名词，他们需要花一定的时间去消化这些。而这时候的课程大概已经进展到函数的应用或者是一些相对灵活的题了，所以有些学生开始觉得自己被函数搞晕了，不知道应该怎么解函数的题。我们都知道，解函数的题关键就是要懂得看图，接着是读图，然后学会自己画图。看图读图一般是出现在选择题里，而从填空题开始出现的函数题一般就是要自己画个草图来辅助自己整理思绪，理解题目的意思，以便解答问题。所以数形结合思想是贯穿函数的整个学习的。例1.2.1.1.（金考卷）一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是( C )A.摩托车比汽车晚到1 hB. A,B两地的路程为20 kmC.摩托车的速度为45 km/hD.汽车的速度为60 km/h （图1 例1.2.1.1图）例1.2.1.2（某中学单元试卷）设ba，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（B ） （图2 例1.2.1.2图） 这两道题是明显的看图得信息，例1.2.1.1相对比较简单，知道横坐标和纵坐标分别代表什么，这道理的答案就出来了；相对而言，第二道题就比较复杂了，需要考虑不同情况时a，b的取值对于函数的图像的改变。这是一次函数常考的类型，而更多的情况是借助一次函数的解析式来求与坐标轴的面积，或者是利用图像来求函数的解析式或是交点的坐标。例1.2.1.3. （金考卷）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则OAB为此函数的坐标三角形.（1）求函数yx3的坐标三角形的三条边长； AyOBx（2）若函数yxb（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积. （图3 例1.2.1.3图）解：(1) 直线yx3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3）， 函数yx3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. (2) 直线yxb与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b）， 当b0时,，得b =4，此时,坐标三角形面积为； 当b0时，得b =4，此时,坐标三角形面积为. 综上,当函数yxb的坐标三角形周长为16时,面积为 例1.2.1.4（金考卷）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为_ y=x+2； _，AOC的面积为_4_ (图4 例1.2.14图)1.2.2 一次函数、反函数与平面几何的综合八年级上学期学习了一次函数之后，在八年级下学期就开始接触了反函数，反函数是在一次函数的基础上进一步的了解函数的。这时候学生已经知道了什么是解析式，什么是取值范围，而且在一定程度上知道要借助画图来解答问题了。那学习了反函数之后，将它与一次函数综合起来出题的情况很多，相对而言题型也会比较复杂了。例1.2.2.1（某中学单元试卷）已知反比例函数y=和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标。（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。解：（1）依题可得得k2反比例函数解析式为y（2）由得 经检验都是原方程组的解 （图5 例1.2.2.1图）A点在第一象限；A点坐标为（1，1）（3）OA，OA与x轴所夹锐角为45当OA为腰时，由OAOP，得P1（，0），P2（，0）；由OAOP，得P3（2，0）当OA为底时，得P4（1，0）这样的点有4个，分另是（，0），（，0），（2，0），（1，0） 这是一道需要分类谈论的题，符合的情况比较多，根据画图，我们可以很清楚的看到符合题干的各种情况，像第三小题，求在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？我们在（图5 例1.2.2.1图）中可以看到P点可以在x轴的正轴也可以在x轴的负轴，这样考虑问题就会比较全面了。 1.2.3 二次函数二次函数是在学习了一元二次方程的基础上进一步对函数和方程的综合应用。二次函数不止是初中的重要知识点，高一必修一的内容也与二次函数有着密切的关系，所以二次函数的学习有着重大的意义。例1.2.3.1 (威海市中考题)如图，二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴交点为Q过Q点的直线与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B若，求这个二次函数的解析式分析：本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b、c的方程组，求出b、c的值。解：（1）二次函数图象与y轴交点Q的坐标为（0，c） （图7 例1.2.3.1图） （2） （3）解(1)、(2)联立的方程组，可得但检验知，时，抛物线顶点在y轴左侧，不合题意，舍去这是一道典型的数形结合例题，先是以数助形，求出图象上关键点的坐标；再依形判数，利用函数图象，结合几何图形的性质，构建关于b、c的方程组最后数形结合，得出结论13 高中函数 “数形结合“作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有及其重要的地位。关于这一点，我们翻阅近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是”以形助数“，比较常见的是在解方程和不等式，求函数的最值问题，求复数和三角函数等问题中，巧妙运用”数形结合“思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。高中函数是初中函数更进一步的学习。在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。1.3.1 复合函数图像的考查例1.3.1.1（2000年江西理科）函数的部分图象是（D） （图9 例1.3.1.1图）例1.3.1.2（2010四川文）(2)函数y=log2x的图象大致是(A) (B) (C) (D) （图10例1.3.1.2图）答案 C例1.3.1.3（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ A ）OyxABCD （图11例1.3.1.3图） 通过上面五道例题我们可以看到，函数的图像在高考中占着很重要的角色，而且在这些函数中不是一般的二次函数，而是复合函数主导着整个场面。所以学生在学习复合函数时除了要学习它的一般性质还要学会熟练的画图，这样做起函数图像的选择题才会得心应手。1.3.2 函数的性质 高中的必修一基本上是围绕着函数展开的，学习了函数的奇偶性，函数的单调性，还有最值，极值等等，这些性质也是高考必考的内容。例1.3.2.1：(07重庆9)已知定义域为R的函数f(x)在(8，)上为减函数且函数y=f(x8)为偶函数，则( )Af(6)f(7) Bf(6)f(9) Cf(7)f(9) Df(7)f()解：y=f(x8)为偶函数 f(x8)=f(x8)即f(8x)=f(8x)所以函数图象，关于x=8对称，又x(8，)时，f(x)单调递减，则x(，8)，f(x)单调递增，作出示意图：（图14 例1.3.2.1图） f(7)f(10)选(D)例1.3.2.2 (06北京5)已知f(x)=上的减函数那么a的取值范围是(C)A(0，1) B(0，) C(，) D(，1)解：f(x)是R上的减函数 0a1如图所示：（图15 例1.3.2.2图）解出例1.3.2.3奇函数f(x)(x0)在(0，)上为增函数，且f(1)=0那么不等式f(x1)0的解集是解：据题意，画出如下图形。（图16 例1.3.2.3图）f(1)=0则f(1)=0f(x1)0为函数值小于零时，自变量的取值范围即，x11或0x11解得x0，1x2这是三道关于函数性质的题，很多学生见到这样的题干会觉得头晕，不知道如何下手。其实，根据题目中给我们的信息我们去画出函数的图像，会发现一切尽在掌握中。2方程与不等式中的数形结合2.1 方程高中的方程题其实就是零点的问题，学习了函数的单调性和奇偶性之后，我们就知道有时候一个函数是不止一个根的，也就是不止一个零点，但是用来解方程又很复杂，这时候学生就应该转变思想，不能够用解方程这样繁琐的方法了，而应该尝试着用数形结合这样的方法。例2.1.1方程的实根的个数为（ C ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 解析：画出在同一坐标系中的图象，即可。（图17 例2.1.1图）例2.1.2（08年高考湖北卷文13）方程的实数解的个数为 。解析：2 如图，在同一坐标系内分别画出和的图象 （图18 例2.1.2图）由图可知，两函数图象有两个交点，即方程有两个根。2.2 不等式不等式是中学数学的重要内容，也是学习高等数学的基础知识和重要工具，一直也是高考中的最后的重点和热点，在历年的高考中都占有想到的比重。像不等式的证明，解不等式，取值范围的问题等等。考查的不仅仅是不等式的基础知识，更是考查学生的举一反三和应变的能力。例2.2.1（08黄冈模拟）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（B ）ABCD. 提示：如图（图20 例2.2.1图）例2.2.2 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2D. 1，2解析：画出的图象，依题意，从而。（图21 例2.2.2图）例2.2.3(07全国6)不等